2.3.2 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
导语
同学们，上节课我们学习了圆的标准方程，我们知道圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程，今天我们要探究的是对于任意的二元二次方程是否都是圆的方程．
一、圆的一般方程的理解
问题1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
问题2 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.
知识梳理
1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
圆心坐标为(－m,1)，半径为.
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．2,4,4
B．－2,4,4
C．2，－4,4
D．2，－4，－4
答案 B
解析 依题意
解得
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，
解得a＝2或a＝6.
延伸探究 若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
解 ∵kAB＝＝，AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝－3.
联立方程得
即圆心C的坐标为，
r＝
＝
，
∴圆C的方程为2＋2＝.
反思感悟 求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程．
(2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点P，Q的坐标分别代入上式，得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知，得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④，解得或
故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径r＝|CP|＝.①
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，
解得a＝1或a＝5，∴r＝或r＝.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
三、圆的一般方程的综合应用
问题3 轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．
例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解 (1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究
1．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
解 设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
·＝0.即x(x－1)＋y(y－1)＝0，
整理得x2＋y2－x－y＝0.
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
解 设点E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1,1)，∴
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.
反思感悟 求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)．
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1.知识清单：
(1)圆的一般方程的定义及其理解．
(2)求圆的一般方程．
(3)圆的一般方程的综合应用．
2．方法归纳：公式法、数形结合法．
3．常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0.
1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
所以m>－.
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为( )
A．4，－6
B．－4，－6
C．－4,6
D．4,6
答案 A
解析 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴－＝－2，－＝3，
∴D＝4，E＝－6.
3．经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋x－3y－2＝0
B．x2＋y2＋3x＋y－2＝0
C．x2＋y2＋x＋3y＝0
D．x2＋y2－x－3y＝0
答案 D
解析 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入A，B，C三点有
解得
故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0.
4．已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
答案 (x－8)2＋y2＝36(y≠0)
解析 设C(x，y)(y≠0)，
则D.
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴2＋2＝9，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．
课时对点练
1．若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( )
A．(1,1)，
B．(1,2)，
C．(－3,0)，3
D．(－3,0)，
答案 D
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π
B．4π
C．2π
D．π
答案 C
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝，
∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
3．若a∈{－2,0,1,3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0可化为
2＋2＝1－a，
∴1－a>0，∴a<1，
又a∈{－2,0,1,3}，故a＝－2,0.
4．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则△ABC外接圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－2y－20＝0
B．x2＋y2＋4x－2y－20＝0
C．x2＋y2－4x＋2y－20＝0
D．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0
答案 A
解析 设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入A，B，C三点有
解得
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
5．(多选)已知C：2x2＋2y2＋ax－4y－3＝0的直径为，则圆C的圆心坐标可以是( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(－3,2)
答案 AB
解析 原方程可化为x2＋y2＋x－2y－＝0，
即2＋(y－1)2＝＋，
圆心为，r2＝＋＝，
解得a＝±6，∴圆心为.
6．(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有( )
A．m>0
B．－
C．－D．0答案 BD
解析 方程x2＋y2－x＋y＋m2＝0可化为2＋2＝－m2，
∴－m2>0，即－又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0，
即m2>0，∴m≠0，
综上有－7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A′仍在该圆上，则a＝________.
答案
解析 依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上，
圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为(－1,2)代入x－ay＋2＝0，得a＝.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________________．
答案 x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得＝，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解 圆心C的坐标为，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，－>0，即D>0，E<0，
所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围；
(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值．
解 (1)∵方程表示圆，
∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)
＝－28m2＋24m＋4>0，
即7m2－6m－1<0，
即－(2)r＝＝
＝.
又m∈，∴当m＝时，rmax＝，
∴0(3)圆心纵坐标y＝4m2－1，
∵m∈，∴当m＝0时，ymin＝－1，
∴该圆圆心的纵坐标最小值为－1.
11．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4故该圆的圆心在第四象限．
12．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则
解得故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
13．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
14．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是______________．
答案 3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝(x－1)，即3x－2y－3＝0.
15．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
16．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0)．若动点C满足|AC|＝|BC|，求△ABC的面积的最大值．
解 设点C(x，y)，
∵|AC|＝|BC|，
∴＝·，
即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，
化简整理有(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.
∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上点外的任一点，
∴S＝|AB|·|yC|＝|yC|≤2，
∴△ABC的面积最大为2.(共67张PPT)
2.3.2 圆的一般方程
第二章 §2.3 圆及其方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置
和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
导语
同学们，上节课我们学习了圆的标准方程，我们知道圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程，今天我们要探究的是对于任意的二元二次方程是否都是圆的方程.
随堂演练
课时对点练
一、圆的一般方程的理解
二、求圆的一般方程
三、圆的一般方程的综合应用
内容索引
一、圆的一般方程的理解
问题1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
问题2 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
知识梳理
1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________
_______称为圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以__________为圆心，以____________为半径的圆
注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1 (1)已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为
A.2，4，4
B.－2，4，4
C.2，－4，4
D.2，－4，－4
√
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为____.
9π
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
解 设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解 由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，
解得a＝2或a＝6.
延伸探究 若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
反思感悟 求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.
(2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为
，求圆的方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点P，Q的坐标分别代入上式，得
①
②
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
③
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.
④
故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1).
①
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
三、圆的一般方程的综合应用
问题3 轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
解 设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解 设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究
1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解 设T(x，y).
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
整理得x2＋y2－x－y＝0.
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
解 设点E(x，y)，P(x0，y0).
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
反思感悟 求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
①
②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
课堂小结
1.知识清单：
(1)圆的一般方程的定义及其理解.
(2)求圆的一般方程.
(3)圆的一般方程的综合应用.
2.方法归纳：公式法、数形结合法.
3.常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0.
随堂演练
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
1
2
3
4
√
解析 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为
A.4，－6
B.－4，－6
C.－4，6
D.4，6
√
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2
3
4
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴D＝4，E＝－6.
3.经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为
A.x2＋y2＋x－3y－2＝0
B.x2＋y2＋3x＋y－2＝0
C.x2＋y2＋x＋3y＝0
D.x2＋y2－x－3y＝0
√
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2
3
4
解析 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入A，B，C三点有
故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0.
4.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是____________________.
1
2
3
4
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
解析 设C(x，y)(y≠0)，
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
课时对点练
基础巩固
1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是
√
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2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为
A.8π B.4π C.2π D.π
√
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解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
3.若a∈{－2,0,1,3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋
＋a－1＝0表示的圆的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
√
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∴1－a>0，∴a<1，
又a∈{－2,0,1,3}，故a＝－2,0.
4.△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则△ABC外接圆的方程为
A.x2＋y2－4x－2y－20＝0
B.x2＋y2＋4x－2y－20＝0
C.x2＋y2－4x＋2y－20＝0
D.x2＋y2＋4x＋2y－20＝0
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解析 设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入A，B，C三点有
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故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
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√
6.(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有
√
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√
又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0，
即m2>0，∴m≠0，
7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点
A′仍在该圆上，则a＝____.
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解析 依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上，
圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，
)在圆C上，且圆心到直线
2x－y＝0的距离为
，则圆C的一般方程为_________________.
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x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为
，求圆的一般方程.
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所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
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①
②
10.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
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解 ∵方程表示圆，
∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)
＝－28m2＋24m＋4>0，
即7m2－6m－1<0，
(2)求该圆半径r的取值范围；
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(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.
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解 圆心纵坐标y＝4m2－1，
∴该圆圆心的纵坐标最小值为－1.
综合运用
11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
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故该圆的圆心在第四象限.
12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
√
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解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1).
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
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∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
13.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线
y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
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√
所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，
14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_____________.
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3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，
圆心坐标为(1,0)，
即3x－2y－3＝0.
拓广探究
15.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是
A.(x＋3)2＋y2＝4
B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1
D.(2x＋3)2＋4y2＝1
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解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
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16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝
，
求△ABC的面积的最大值.
解 设点C(x，y)，
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即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，
化简整理有(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.
∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上点外的任一点，
本课结束