(共63张PPT)
2.3.4 圆与圆的位置关系
第二章 §2.3 圆及其方程
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用
上述方法判定两圆的位置关系.
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生，日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
随堂演练
课时对点练
一、两圆位置关系的判断
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
三、相交弦及圆系方程问题
内容索引
一、两圆位置关系的判断
知识梳理
(1)代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
(2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
?
?
?
?
?
d与r1，r2
的关系
_________
_________
_________
_________
_________
_________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；
解 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)相交；
解 当3<|C1C2|<5，即3(3)外离；
解 当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
解 当|C1C2|<3，即0(4)内含.
反思感悟 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1 (1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为
A.1或3 B.4 C.0 D.2
√
故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条.
(2)圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为______.
外切
解析 两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4，
所以两圆相外切.
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
例2 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋
＝0相切于点M(3，
)
的圆的方程.
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
①
②
③
延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，
)的圆的方程”，如何求？
解 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
跟踪训练2 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
解 因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝
，求圆O2的方程.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
三、相交弦及圆系方程问题
例3 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练3 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为______________________________
____________.
(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x
＋2y－6＝0)
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二 同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
课堂小结
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判定及应用.
(2)两圆的公共弦方程及公共弦长.
(3)圆系方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况.
随堂演练
1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1√
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2
3
4
解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，
圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y＋3＝0
B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0
D.4x－3y＋7＝0
√
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2
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解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，
把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
3.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为
√
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解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
4.圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点，则圆C的方程为_____________________.
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x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
解析 设圆C方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
解得λ＝－2.
故所求圆C的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
课时对点练
基础巩固
1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为
A.相交
B.外切
C.内切
D.外离
√
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解析 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，
则d＝|C1C2|＝2，
所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切.
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为
A.(1,0)和(0,1)
B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1)
D.(－1,0)和(0,1)
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所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1).
3.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
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解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
故两圆的公切线的条数为3.
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解析 由题意将圆C1和圆C2的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
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5.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为
A.2
B.－5
C.－2
D.5
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解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
6.(多选)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是
A.(x－4)2＋(y＋3)2＝16
B.(x－4)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－4)2＋(y＋3)2＝36
D.(x－4)2＋(y＋3)2＝9
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解析 设圆C的半径为r，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
7.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是___________.
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4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
整理得4a2＋b2＝1.
8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为
_____________________.
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解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，
9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0.
(1)求m的取值范围并求出半径最大时圆C2的方程；
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解 方法一 圆的一般方程
C2：x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0，化为圆的标准方程为
C2：(x－2)2＋(y＋m)2＝4－m2，
当m＝0时，rmax＝2，此时C2：(x－2)2＋y2＝4.
方法二 由圆的一般方程
x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0得
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当m＝0时，rmax＝2，此时C2：x2＋y2－4x＝0.
(2)讨论圆C1和圆C2的位置关系，并说明理由.
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解 C1：(x＋1)2＋y2＝1，
即圆C1是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆.
C2：(x－2)2＋(y＋m)2＝4－m2，
所以当m＝0时，|C1C2|＝r1＋r2，两圆外切；
当m∈(－2,0)∪(0,2)时，|C1C2|>r1＋r2，两圆外离.
10.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
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解 由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，
即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
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解 设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，
解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
综合运用
11.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则半径r满足的条件是
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解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
即1<|a|<3.
故－312.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为
，则实数a的取值范围是
A.(－3，－1)∪(1,3)
B.(－3，－3)
C.[－1,1]
D.(－3，－1]∪[1,3)
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解析 依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交.
13.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于
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解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
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解析 如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，因此OA⊥O1A，
又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
故|AB|＝2|AC|＝4.
14.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为_____.
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拓广探究
15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1
:
x2
＋y2＝8与圆C2
:
x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为___________________.
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解析 由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
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当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
16.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
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解 圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
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综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
解 依题意，设D(a，a＋2).
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
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本课结束2.3.4 圆与圆的位置关系
学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生，日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
一、两圆位置关系的判断
知识梳理
(1)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程，得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
(2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，
圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
解 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即0反思感悟 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系．
跟踪训练1 (1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A．1或3
B．4
C．0
D．2
答案 D
解析 对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，
则圆心距d＝|C1C2|＝＝，1－<<1＋，
故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条．
(2)圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为________．
答案 外切
解析 两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4，
所以|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，
所以两圆相外切．
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
例2 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－
)的圆的方程”，如何求？
解 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
跟踪训练2 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解 (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
所以圆心距|O1O2|＝＝2，
由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，
所以圆心O1到直线AB的距离为＝.
当圆心O2到直线AB的距离为时，圆O2的半径为＝2.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到直线AB的距离为3时，圆O2的半径为＝.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
三、相交弦及圆系方程问题
例3 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)方法一 解方程组
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
跟踪训练3 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．
答案 (x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析 方法一 由
解得
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．
由解得
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二 同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由
解得
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－x－y－6＝0，圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，解得λ＝－，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判定及应用．
(2)两圆的公共弦方程及公共弦长．
(3)圆系方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况．
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r12．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
3．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为( )
A．5
B．5
C．10
D．10
答案 D
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
r＝5.
∴圆心(5,5)到直线4x＋3y－10＝0的距离d＝＝5，
所求弦长为2＝2＝10.
4．圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点，则圆C的方程为________________．
答案 x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
解析 设圆C方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
圆心坐标为，
代入x＋y＝0有
－－＝0，
解得λ＝－2.
故所求圆C的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
课时对点练
1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．内切
D．外离
答案 C
解析 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1,0)和(0,1)
B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1)
D．(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得或
所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．
3．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案 C
解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.
4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为( )
A.
B.
C．5
D.
答案 A
解析 由题意将圆C1和圆C2的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
由已知条件知，r2－d2＝－＝(r为圆C3的半径)，
所以弦长为2×＝.
5．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2
B．－5
C．－2
D．5
答案 AB
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
依题意有＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
6．(多选)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是( )
A．(x－4)2＋(y＋3)2＝16
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋3)2＝36
D．(x－4)2＋(y＋3)2＝9
答案 AC
解析 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
7．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________．
答案 4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
答案 x2＋y2－x－y－＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
9．已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0.
(1)求m的取值范围并求出半径最大时圆C2的方程；
(2)讨论圆C1和圆C2的位置关系，并说明理由．
解 (1)方法一 圆的一般方程
C2：x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0，化为圆的标准方程为
C2：(x－2)2＋(y＋m)2＝4－m2，
所以4－m2>0?m∈(－2,2)，r＝≤2，
当m＝0时，rmax＝2，此时C2：(x－2)2＋y2＝4.
方法二 由圆的一般方程
x2＋y2－4x＋2my＋2m2＝0得
r＝＝＝≤2.
当m＝0时，rmax＝2，此时C2：x2＋y2－4x＝0.
(2)C1：(x＋1)2＋y2＝1，
即圆C1是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆．
C2：(x－2)2＋(y＋m)2＝4－m2，
即圆C2是以(2，－m)为圆心，为半径的圆，其中m∈(－2,2)．
因为|C1C2|＝≥3，r1＋r2＝1＋≤3，
所以当m＝0时，|C1C2|＝r1＋r2，两圆外切；
当m∈(－2,0)∪(0,2)时，|C1C2|>r1＋r2，两圆外离．
10．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解 (1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以2＋2＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
11．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则半径r满足的条件是( )
A．r<＋1
B．r>＋1
C．|r－|≤1
D．|r－|<1
答案 C
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，∴|r－1|≤
≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
12．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3，－3)
C．[－1,1]
D．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析 依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交．
又|CM|＝＝|a|，
2－<|a|<2＋，
即1<|a|<3.
故－313．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4
B．4
C．8
D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
答案 4
解析 如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，因此OA⊥O1A，
所以|OO1|＝＝5.
又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
所以|AC|＝＝＝2，
故|AB|＝2|AC|＝4.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1
:
x2
＋y2＝8与圆C2
:
x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为________________．
答案
解析 由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以d＝|AB|，即d＝，
所以d＝2，所以＝d＝2，
解得a＝8±2，
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
16．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解 (1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，
解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.