§2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
第1课时 椭圆的标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
导语
同学们，椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，比如大家的水杯，稍微倾斜一点时，水面是椭圆形的，比如大家所熟知的嫦娥系列探测器，它们是按照椭圆形的运行轨迹绕月飞行，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础，就让我们开始今天的探究之旅．
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆．
反思感悟 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
答案 ②
解析 ①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．射线
答案 B
解析 连接EA，∵CD垂直平分AB，
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
二、椭圆的标准方程的推导
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2
－4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0
，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示 ＋＝1(a>b>0)．
知识梳理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
a，b，c的关系
a>b>0，a>c>0，a2＝b2＋c2
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
三、求简单的椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
所以
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可得解得
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 依题意，c＝4，且焦点在y轴上，
又∵2a＝10，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
1.知识清单：
(1)椭圆的定义．
(2)椭圆的标准方程．
(3)椭圆定义及标准方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：
(1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视；
(2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋x2＝1
答案 A
解析 c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故04．动点P(x，y)的坐标满足＋＝8，则点P的轨迹为________________．
答案 椭圆
解析 设A(2,0)，B(－2,0)，则表示|PA|，
表示|PB|，又|AB|＝4，
所以|PA|＋|PB|＝8>4，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
课时对点练
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
答案 C
解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)．
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为( )
A．－1
B．1
C.
D．－
答案 B
解析 原方程可化简为x2＋＝1，
由c2＝－1＝4，得k＝1.
3．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
答案 D
解析 依题意2c＝6,2a＝10，
即a＝5，c＝3，b＝4，
但该椭圆的焦点位置不明确，
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
4．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案 AC
解析 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．
6．(多选)使方程＋＝1表示椭圆的m的值可以是( )
A．2
B．3
C．4
D．0
答案 BCD
解析 ∵方程＋＝1表示椭圆，
则解得－17．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
答案 ＋x2＝1
解析 由已知2a＝8,2c＝2，得a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
答案 9
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|PF1|·|PF2|≤＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号．
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，
且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
11．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±
B．±
C．±
D．±
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，
即y2＝，∴y＝±.
∴点M的纵坐标为±.
12．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
答案 C
解析 化为标准方程为＋＝1，
因为m－n>0.
所以焦点在y轴上，且c＝＝.
所以焦点坐标是(0，±)．
13．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由·＝0，得MF1⊥MF2，
可设||＝m，||＝n，
在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，
得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，
所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
所以＝·mn＝1，
设点M到x轴的距离为h，则×|F1F2|×h＝1，
又|F1F2|＝2，故h＝.
14．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
15．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于B(0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
所以·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4，
所以解得a2＝8，b2＝4，c2＝4.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
16．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，
∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(共66张PPT)
第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题
第二章 2.5.1 椭圆的标准方程
学习目标
1.熟练掌握椭圆的定义和椭圆标准方程的特点.
2.会用代入法求曲线的轨迹方程.
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的方程的设法
二、椭圆定义的应用
三、相关点代入法求点的轨迹方程
内容索引
一、椭圆的方程的设法
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点P
.
解得k＝5(k＝21舍去)，
解 设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)，
反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆标准方程：
解 设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
二、椭圆定义的应用
例2 椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为
√
解析 已知两个焦点的坐标分别是F1(－8,0)，F2(8,0)，
可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8，
由椭圆的定义可得2a＝20，即a＝10，
延伸探究
1.若P是方程
上的任意一点，F1(－8,0)，F2(8,0)，若|PF1|＝5，
则|PF2|＝_____.
15
解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
故|PF2|＝15.
2.1中若|PF1|∶|PF2|＝3，求|PF1|，|PF2|的值.
解 由|PF1|＋|PF2|＝20和|PF1|＝3|PF2|，
可知|PF1|＝15，|PF2|＝5.
3.1中△PF1F2的周长是多少？是否与P的位置有关？
解 周长l＝2a＋2c＝36，与P的位置无关.
反思感悟 如果平面内一点的轨迹满足椭圆的定义，首先要明确焦点的位置，然后利用定义解决问题，其好处是“设而不求”.
跟踪训练2 已知椭圆
上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，
到另一个焦点的距离为7，则m等于
A.5
B.10
C.15
D.25
√
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.
三、相关点代入法求点的轨迹方程
例3 点B是椭圆
上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，
则由M为线段AB的中点，可得
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y).
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简方程得所求方程.
跟踪训练3 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足
，则动点M的轨迹方程是
A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1
B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9
D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9
√
解析 设动点M(x，y)，Q(m，n)，
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
课堂小结
1.知识清单：
(1)椭圆的方程的设法.
(2)椭圆的定义的应用.
(3)相关点代入法求轨迹方程.
2.方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论.
3.常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点.
随堂演练
1.已知椭圆
上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M
到另一个焦点的距离等于
A.1
B.3
C.6
D.10
√
1
2
3
4
解析 由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，
由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.“m＝4”是“椭圆
的焦距为6”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
解析 由当m<5时，焦点在x轴上，
焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝a2－c2＝16，
则m＝±4，
当m>5时，焦点在y轴上，由焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝b2＋c2＝34，
1
2
3
4
4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，
.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是__________.
1
2
3
4
解析 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
∵点P在x2＋y2＝4上，
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1.椭圆
的焦距是2，则m等于
A.3
B.5
C.3或5
D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题意得2c＝2，得c＝1，
当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，
因为a2＝b2＋c2，所以m＝4＋1＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
因为a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1，解得m＝3，
综上，m＝3或m＝5.
2.已知椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，则椭圆C的标准方程为
√
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解析 因为椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，
所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上，
√
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则F(2,0)，左焦点为F1(－2,0)，
圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4，
可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，
又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，
根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4，
所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
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4.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是
√
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解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，
所以a＝6，c＝4.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，
所以x≠0，
√
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所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1,0)，
设P(x0，y0)，
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6.(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为
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√
解析 依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，
且△PF2F1为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，
∴|F1F2|＝4，∴c＝2，
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，
∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
又椭圆的焦点位置不明确，
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8.已知椭圆
上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的
中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是_____.
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解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝
，焦点在y轴上；
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∵焦点在y轴上，
(2)a＝
，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上；
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(3)经过点(0,2)，且焦距为2.
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解 由题意得c＝1，
10.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
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若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
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解 设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
综合运用
11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(
，0)为C的左焦点，P为C
上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为
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因为|OP|＝|OF|，
所以|OP|＝|OF1|，
所以PF⊥PF1，
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所以2a＝|PF|＋|PF1|＝12，即a＝6，
所以b2＝a2－c2＝16，
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P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|－|PF2|＝a，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，
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整理得a2－4a＋4＝0，
解得a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
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解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
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解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
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∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
拓广探究
15.已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.
若|AF2|＝
|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________.
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解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
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16.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.
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解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
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因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0).|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
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本课结束第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题
学习目标 1.熟练掌握椭圆的定义和椭圆标准方程的特点.2.会用代入法求曲线的轨迹方程．
一、椭圆的方程的设法
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点P.
(2)求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程；
(3)已知椭圆的中心在原点，过点(，－2)，和(0,2)，求椭圆的标准方程．
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，焦距为2c0.
由题意有c0＝1，|PF1|＝＝，
|PF2|＝＝，
有m＝＝＝，
n＝＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)代入，可得＋＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)，
椭圆过点(，－2)，和(0,2)，
则解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(2)经过A，B两点．
解 (1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1,0)，
∵椭圆过点，
∴2a＝＋＝4，
∴a＝2，b＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
把A，B两点代入，
得解得m＝，n＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
二、椭圆定义的应用
例2 椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析 已知两个焦点的坐标分别是F1(－8,0)，F2(8,0)，
可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8，
由椭圆的定义可得2a＝20，即a＝10，
由a，b，c的关系解得b＝＝6，
∴椭圆方程是＋＝1.
延伸探究
1．若P是方程＋＝1上的任意一点，F1(－8,0)，F2(8,0)，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________.
答案 15
解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
故|PF2|＝15.
2．1中若|PF1|∶|PF2|＝3，求|PF1|，|PF2|的值．
解 由|PF1|＋|PF2|＝20和|PF1|＝3|PF2|，可知|PF1|＝15，|PF2|＝5.
3．1中△PF1F2的周长是多少？是否与P的位置有关？
解 周长l＝2a＋2c＝36，与P的位置无关．
反思感悟 如果平面内一点的轨迹满足椭圆的定义，首先要明确焦点的位置，然后利用定义解决问题，其好处是“设而不求”．
跟踪训练2 已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m等于( )
A．5
B．10
C．15
D．25
答案 D
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
由椭圆＋＝1可知，椭圆的焦点在x轴上，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.
三、相关点代入法求点的轨迹方程
例3 点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
?
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，从而有＋＝1.
整理得动点M的轨迹方程为＋＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练3 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足＝，则动点M的轨迹方程是( )
A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1
B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9
D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9
答案 B
解析 设动点M(x，y)，Q(m，n)，
∵＝，
∴化简得
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
1.知识清单：
(1)椭圆的方程的设法．
(2)椭圆的定义的应用．
(3)相关点代入法求轨迹方程．
2．方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点．
1．已知椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于( )
A．1
B．3
C．6
D．10
答案 C
解析 由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上均不正确
答案 A
解析 设经过点P和点Q的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则解得m＝1，n＝，
∴所求椭圆方程为＋x2＝1.
3．“m＝4”是“椭圆＋＝1的焦距为6”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由当m<5时，焦点在x轴上，
焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝a2－c2＝16，
则m＝±4，
当m>5时，焦点在y轴上，由焦距2c＝6，则c＝3，
由m2＝b2＋c2＝34，
则m＝±，
故m＝±4或m＝±，
所以“m＝4”是“椭圆＋＝1的焦距为6”的充分不必要条件．
4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________．
答案 ＋＝1
解析 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
∵＝，
∴∴
∵点P在x2＋y2＝4上，
∴x＋y＝4，
∴x2＋2＝4，
∴点M的轨迹方程是＋＝1.
课时对点练
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m等于( )
A．3
B．5
C．3或5
D．2
答案 C
解析 由题意得2c＝2，得c＝1，
当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，
因为a2＝b2＋c2，所以m＝4＋1＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
因为a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1，解得m＝3，
综上，m＝3或m＝5.
2．已知椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析 因为椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，
所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上，
所以椭圆的方程为＋＝1.
3．已知点F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则|PF|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．2
答案 A
解析 由题意，点F为椭圆C：＋＝1的右焦点，
则F(2,0)，左焦点为F1(－2,0)，
圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4，
可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，
又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，
根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4，
所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
答案 B
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，
所以a＝6，c＝4.
所以b2＝36－16＝20，方程为＋＝1.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，
所以x≠0，
故点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
5．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点P在椭圆上，若|PF|＝，则点P的横坐标为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 D
解析 因为椭圆C：＋＝1，
所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1,0)，
设P(x0，y0)，
则|PF|＝＝，
又＋＝1，解得x0＝或x0＝，
而－≤x0≤，所以x0＝.
6．(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 AD
解析 依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，
且△PF2F1为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，
∴|F1F2|＝4，∴c＝2，
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，
∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
又椭圆的焦点位置不明确，
故所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 由题意知4a＝4，即a＝，
又因为＝，所以c＝1，
所以b＝＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
8．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝，焦点在y轴上；
(2)a＝2，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上；
(3)经过点(0,2)，且焦距为2.
解 (1)由a＝4，c＝，得b2＝a2－c2＝1，
∵焦点在y轴上，
∴其标准方程为＋x2＝1.
(2)根据条件设所求椭圆的标准方程为＋＝1(0由A(－3，－1)在椭圆上，则＋＝1，解得b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)由题意得c＝1，
若焦点在x轴上，则b＝2，∴a＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
若焦点在y轴上，则a＝2，∴b＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴?
又P是＋＝1上的动点，
∴＋＝1，
即Q点的轨迹方程是＋＝1.
11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 由题意可得该椭圆的半焦距c＝2，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
取椭圆的右焦点F1(2，0)，连接PF1，如图，
因为|OP|＝|OF|，
所以|OP|＝|OF1|，
所以PF⊥PF1，
又|PF|＝4，|FF1|＝4，
所以|PF1|＝＝8，
所以2a＝|PF|＋|PF1|＝12，即a＝6，
所以b2＝a2－c2＝16，
所以椭圆方程为＋＝1.
12．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P是C上一点，若|PF1|－|PF2|＝a，且sin∠PF1F2＝，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 D
解析 因为|F1F2|＝2，所以c＝
，
P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|－|PF2|＝a，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，
又sin∠PF1F2＝，则cos∠PF1F2＝，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，
即2＝2＋8－2××2×，
整理得a2－4a＋4＝0，
解得a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
13．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 A
解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由＝＋，
可得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，
则解得
因为|AB|＝5，所以2＋2＝25，
即＋＝1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
答案
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知＝＝＝.
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________．
答案 ＋＝1
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由＝，得B，
又点B在椭圆上，故＋＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
16．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(共59张PPT)
第1课时 椭圆的标准方程
第二章 2.5.1 椭圆的标准方程
学习目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆
标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
导语
同学们，椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，比如大家的水杯，稍微倾斜一点时，水面是椭圆形的，比如大家所熟知的嫦娥系列探测器，它们是按照椭圆形的运行轨迹绕月飞行，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础，就让我们开始今天的探究之旅.
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程的推导
三、求简单的椭圆的标准方程
内容索引
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
知识梳理
如果F1，F2是平面内的两个_____，a是一个常数，且2a____|F1F2|，则平面内满足_________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的_____，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的_____.
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
|PF1|＋|PF2|＝2a
定点
>
焦点
焦距
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆.
反思感悟 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是____.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝
的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
②
②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；
③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.射线
√
解析 连接EA，∵CD垂直平分AB，
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
二、椭圆的标准方程的推导
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0).
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
①
②
对方程②两边平方，得
③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，
④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0
，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
⑤
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
⑥
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
知识梳理
?
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
________________
_________________
图形
?
?
焦点坐标
______________
_______________
焦距
_____
a，b，c的关系
a>b>0，a>c>0，a2＝_______
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
b2＋c2
2c
注意点：(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
三、求简单的椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点
；
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
由椭圆的定义知，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
解 方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
√
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距
离之和为10，则椭圆的标准方程为___________.
解析 依题意，c＝4，且焦点在y轴上，
又∵2a＝10，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9，
课堂小结
1.知识清单：
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
(3)椭圆定义及标准方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
(1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视；
(2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况.
随堂演练
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段.
√
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2.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
√
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2
3
4
解析 c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，＋∞)
B.(0,2)
C.(1，＋∞)
D.(0,1)
√
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4
4.动点P(x，y)的坐标满足
，则点P的轨迹为______.
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2
3
4
椭圆
所以|PA|＋|PB|＝8>4，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
课时对点练
基础巩固
1.椭圆
的焦点坐标是
A.(±5,0)
B.(0，±5)
C.(0，±12)
D.(±12,0)
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解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为
√
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3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
√
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解析 依题意2c＝6,2a＝10，
即a＝5，c＝3，b＝4，
但该椭圆的焦点位置不明确，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
4.P是椭圆
上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·
|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
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∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
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解析 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
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6.(多选)使方程
表示椭圆的m的值可以是
A.2
B.3
C.4
D.0
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√
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距
为
，则此椭圆的标准方程为__________.
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所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
8.设P为椭圆
上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·
|PF2|的最大值是_____.
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解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
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解 由焦距是4可得c＝2，
且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
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解 由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
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解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，
综合运用
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解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
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12.椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m√
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因为m－n>0.
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在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，
得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，
所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
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14.已知P为椭圆
上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆
(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为____.
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解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，
且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
拓广探究
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解析 由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
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16.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，
求此椭圆的方程.
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解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
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