第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
学习目标 1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围.2.了解椭圆在实际生活中的应用．
一、椭圆中的焦点三角形
例1 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
延伸探究
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝.
所以△F1PF2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝，
即△F1PF2的面积是.
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)焦点三角形面积公式：＝b2tan
.
跟踪训练1 设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24
B．12
C．8
D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，
＝|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，∴＝，
∴△GPF1的面积为8.
二、椭圆中的最值
问题 若P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？
提示 |PF1|＝
＝
＝
＝，
因为－a≤x0≤a，所以a－c≤≤a＋c，
故有|PF1|＝a＋ex0，
同理|PF2|＝a－ex0.
知识梳理
|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为a＋c，最小值为a－c.
例2 (1)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为( )
A．3,1
B．2＋，2－
C．2,1
D.＋1，－1
答案 A
解析 由题知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
所以距离的最大值为a＋c＝3，
距离的最小值为a－c＝1.
(2)椭圆C：＋＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2,2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________．
答案 10＋ 10－
解析 椭圆C：＋＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，
∴F1(－3,0)，F2(3,0)．
如图所示，点Q在椭圆内部，
∵点P为椭圆上的点，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|＝10－|PF2|，
∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，
又||PQ|－|PF2||≤|QF2|＝，
∴－≤|PQ|－|PF2|≤，
即|PF1|＋|PQ|∈[10－，10＋]．
反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练2 (1)椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2
B．5,4
C．5,1
D．9,1
答案 D
解析 依题意a＝5，b＝3，c＝4，所以P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是a＋c＝9，a－c＝1.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为bc，则椭圆的离心率为________．
答案
解析 设椭圆的右焦点为E(如图所示)．
由椭圆的定义得△FAB的周长为
|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)
＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.
因为|AE|＋|BE|≥|AB|，
所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当且仅当AB过点E时取等号；
所以△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，
所以△FAB的周长的最大值是4a；
此时△FAB的面积为S△FAB＝×2c×＝＝bc，
整理得a＝2b.
所以e＝＝＝＝.
三、实际生活中的椭圆问题
例3 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C.<
D.>
答案 BD
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，
即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确．
反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
跟踪训练3 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8
米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
答案 32
解析 设椭圆方程为＋＝1，
当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
1.知识清单：
(1)焦点三角形．
(2)椭圆中的最值问题．
(3)生活中的椭圆问题．
2．方法归纳：转化法、数形结合．
3．常见误区：容易忽略实际问题中的取值范围．
1．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长等于( )
A．20
B．10
C．16
D．8
答案 A
解析 因为椭圆的方程为＋＝1，所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
2．椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 D
解析 由题意可得a＝4，c＝＝2，
则|PF|≤a＋c＝6.所以|PF|的最大值是6.
3．椭圆＋＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
答案 D
解析 由椭圆＋＝1可得a＝5，b＝4，
所以c＝＝＝3，
令x＝0可得y＝±4，所以P(0，±4)，
所以△PF1F2的面积为×|yP|×|F1F2|＝×4×6＝12.
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40
cm，短轴长为20
cm，小椭圆的短轴长为10
cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
答案 20
解析 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以＝，
即＝.
所以＝，
解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20
cm.
课时对点练
1．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2
答案 C
解析 设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取得最小值2.故选C.
2．已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为( )
A．ce－c
B．2ce－2c
C.－c
D.－2c
答案 C
解析 因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e，
所以由e＝，得a＝，
而太阳在这个椭圆的一个焦点上，
所以地球到太阳的最小距离为a－c＝－c.
3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案 C
解析 根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．64
B．16
C.
D.
答案 C
解析 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
5．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m
km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n
km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R
km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
答案 ABD
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得
∴(
)．故A，B正确；
由(
)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(
)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝，故D正确．
6．(多选)P为椭圆C上任一点，且焦点为F1，F2，若P到焦点F1的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 BC
解析 依题意得解得a＝2，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16，
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
7．椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴端点，若△BF1F2为钝角三角形，则e的取值范围是__________．
答案
解析 如图所示，
△BF1F2为钝角三角形，
则∠F1BF2>90°，
所以∠OBF2>45°，
即c>b，所以c2>b2＝a2－c2，
所以>，又0
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由e＝，知＝，
故＝.
∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9．椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
解 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵＝＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋
＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
令f(y)＝－32＋4b2＋3.
①当－b≤－，即b≥时，
d＝f?＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
②当－<－b，即0解得b＝－>，与b<矛盾．
综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.
10．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解 (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
解得y0＝±.
又＋y＝1，
所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
11.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个外星人发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R
B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R
D．d1＋d2
答案 D
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得＝cos
60°，即a＝2b，
所以e＝＝＝.
13．点P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是( )
A．(8,24)
B．[8,24] C．[5,21]
D．(5,21)
答案 B
解析 由题意，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2，
又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，
则||＝1，
在椭圆＋＝1中，有a－c≤||≤a＋c，
即3≤||≤5，
所以8≤||2－1≤24，
故·＝||2－1的取值范围为[8,24]．
14．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
答案 120°
解析 由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )
A.
B. C.
D.
答案 B
解析 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，
易知b＝1，所以则e＝＝，
则离心率的取值范围是.
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的方程＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得＝3，
∴
解得或
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．(共72张PPT)
第二章 2.5.2 椭圆的几何性质
第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
学习目标
1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围.
2.了解椭圆在实际生活中的应用.
随堂演练
课时对点练
一、椭圆中的焦点三角形
二、椭圆中的最值
三、实际生活中的椭圆问题
内容索引
一、椭圆中的焦点三角形
例1 已知P为椭圆
＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，
∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.
②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
所以△F1PF2的面积
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)焦点三角形面积公式：
＝
跟踪训练1 设P为椭圆C：
＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为
A.24
B.12
C.8
D.6
√
∵△PF1F2的重心为点G，∴
＝
，
∴△GPF1的面积为8.
解析 ∵P为椭圆C：
＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
∴易知△PF1F2是直角三角形，
二、椭圆中的最值
问题 若P(x0，y0)是椭圆
＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？
故有|PF1|＝a＋ex0，
同理|PF2|＝a－ex0.
知识梳理
|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为
，最小值为
.
a＋c
a－c
例2 (1)若椭圆C：
＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为
√
所以距离的最大值为a＋c＝3，
距离的最小值为a－c＝1.
(2)椭圆C：
＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2,2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________.
∴a＝5，b＝4，c＝3，
∴F1(－3,0)，F2(3,0).
如图所示，点Q在椭圆内部，
∵点P为椭圆上的点，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|＝10－|PF2|，
∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，
反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练2 (1)椭圆
＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是
A.8,2
B.5,4
C.5,1
D.9,1
√
解析 依题意a＝5，b＝3，c＝4，
所以P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是a＋c＝9，a－c＝1.
(2)椭圆
＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为bc，则椭圆的离心率为______.
解析 设椭圆的右焦点为E(如图所示).
由椭圆的定义得△FAB的周长为
|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)
＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.
因为|AE|＋|BE|≥|AB|，
所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当且仅当AB过点E时取等号；
所以△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，
所以△FAB的周长的最大值是4a；
整理得a＝2b.
三、实际生活中的椭圆问题
例3 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F
为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二
次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用
2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别
表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
√
√
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，
所以a1＋c1>a2＋c2，
所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
跟踪训练3 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为
，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是______米.
32
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米.
课堂小结
1.知识清单：
(1)焦点三角形.
(2)椭圆中的最值问题.
(3)生活中的椭圆问题.
2.方法归纳：转化法、数形结合.
3.常见误区：容易忽略实际问题中的取值范围.
随堂演练
1.已知椭圆
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长等于
A.20
B.10
C.16
D.8
√
1
2
3
4
所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
2.椭圆C：
＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是
A.2
B.3
C.4
D.6
√
1
2
3
4
则|PF|≤a＋c＝6.
所以|PF|的最大值是6.
令x＝0可得y＝±4，所以P(0，±4)，
√
3.椭圆
＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面
积为
A.6
B.8
C.10
D.12
1
2
3
4
1
2
3
4
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40
cm，短轴长为20
cm，小椭圆的短轴长为10
cm，则小椭圆的长轴长为____cm.
20
解析 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20
cm.
1
2
3
4
课时对点练
1.已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么
的最小值是
A.0
B.1
C.2
D.
√
基础巩固
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2.已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为
解析 因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e，
√
而太阳在这个椭圆的一个焦点上，
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解析 根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
3.已知F1，F2是椭圆
＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于
A.9
B.10
C.11
D.12
√
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4.若椭圆
＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
√
解析 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.
由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
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5.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m
km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n
km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R
km，设该椭圆的长轴长、
短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则
A.a－c＝m＋R
B.a＋c＝n＋R
C.2a＝m＋n
D.b＝
√
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由(
)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(
)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
√
√
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∴b2＝a2－c2＝16，
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7.椭圆
＝1(a>b>0)，F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴端点，若△BF1F2为钝角三角形，则e的取值范围是__________.
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解析 如图所示，
△BF1F2为钝角三角形，
则∠F1BF2>90°，
所以∠OBF2>45°，
即c>b，所以c2>b2＝a2－c2，
8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，
离心率为
.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么
椭圆C的方程为___________.
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∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
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(1)求椭圆M的标准方程；
解 由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
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(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
解 由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
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11.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个外星人发射某
种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能
接收到，则传送神秘信号的最短距离为
A.d1＋d2＋R
B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R
D.d1＋d2
综合运用
√
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则2a＝d1＋d2＋2R，
故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”
所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为
√
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解析 椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
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13.点P为椭圆
＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则
的取值范围是
A.(8,24)
B.[8,24]
C.[5,21]
D.(5,21)
√
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又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，
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又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
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14.已知椭圆
＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
120°
拓广探究
15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱
侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭
圆，则τ的的离心率的取值范围是
√
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解析 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，
因此离心率可以充分接近0.
当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值.
如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，
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解 由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
又2c＝4，则c＝2，a＝4，
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16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发
现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距
A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所
在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角
坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
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(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3).
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解 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，
本课结束2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知识梳理
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0,0)
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示 利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0知识梳理
e＝，e∈(0,1)．
当e越趋近于1时，椭圆越扁．
当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆．
注意点：e＝＝.
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其半长轴长为10，半短轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝.
二、由几何性质求标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0)．
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)依题意得a＝3b，
若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1，
若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9，
椭圆的方程为＋＝1，
综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(3)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2.
解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
同理可求出当焦点在y轴上时，
椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＋＝1，
焦点坐标为(0，±)，即c＝，
又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6，
故所求的椭圆方程为x2＋＝1.
三、椭圆的离心率
例3 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案
解析 方法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>，又0∴C的离心率的取值范围为.
反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3)
B.
C．(0,3)∪
D．(0,2)
答案 C
解析 当k>4时，c2＝k－4，
由条件知<<1，解得k>；
当0由条件知<<1，解得01.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程．
(3)椭圆的离心率．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：焦点位置不确定时应讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况．
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7,2，
B．14,4，
C．7,2，
D．14,4，
答案 B
解析 将椭圆方程化为标准形式＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
所以长轴长、短轴长、离心率依次为14,4，.
2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 A
解析 由题意知c＝3，＝，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos
60°＝＝，
即椭圆的离心率e＝.
4．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________．
答案 2
解析 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，
则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2.
课时对点练
1．椭圆＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 a2＝16，b2＝8，c2＝8，从而e＝＝.
2．焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 A
解析 依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.∴椭圆的方程为＋＝1.
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
答案 B
解析 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(04．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A.
B．2
C.
D．4
答案 C
解析 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1.
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
所以＝2，所以m＝.
5．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为
B．焦距为
C．焦点坐标为
D．离心率为
答案 CD
解析 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，
所以a＝，b＝，c＝，
所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.
6．(多选)若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A.
B．－3 C．3
D.
答案 AB
解析 若焦点在x轴上，则＝1－2＝，
∴k＝；
若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
7．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案 (0，±)
解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0答案 (2,4]
解析 ∵e＝，b＝1,0∴≤，
则1即长轴长的取值范围是(2,4]．
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
10.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
设B(x，y)，由＝2，
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 AD
解析 由题意可知，
解得a＝3，b＝2，c＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
12．椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
则|PF1|＝，|PF2|＝，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴≤2c，e≥.
又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是.
13．把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|等于( )
A．21
B．28
C．35
D．42
答案 C
解析 设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，
由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.
同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10.
又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.
14．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，
＝a.
解得＝，则离心率e＝＝.
15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，
∴椭圆离心率e＝＝，
∴e∈.
16．椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)为焦点，离心率为e.
证明：椭圆上任一点P到F1的距离与到直线x＝－的距离之比为离心率e.
证明 设P(x0，y0)为椭圆上任一点，则＋＝1，
F1(－c,0)，直线x＝－，
所以点P到直线x＝－的距离d＝，
故＝＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝e，
即证原命题成立．(共71张PPT)
第二章 2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的几何性质
二、由几何性质求标准方程
三、椭圆的离心率
内容索引
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆
(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？
它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
___________________
___________________
图形
?
?
焦点
_________________
____________________
知识梳理
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝___
对称性
对称轴：
_
，对称中心：_____
范围
x∈
，y∈________
x∈________，y∈________
顶点
_____________________
_____________________
______________________
____________________
轴长
长轴长|A1A2|＝
，短轴长|B1B2|＝___
2c
x轴和y轴
(0,0)
[－a，a]
[－b，b]
[－b，b]
[－a，a]
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
2a
2b
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
则0e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆.
知识梳理
当e越趋近于1时，椭圆越
.
当e越趋近于0时，椭圆越接近于
.
(0,1)
扁
圆
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为
，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
跟踪训练1 已知椭圆C1：
＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
二、由几何性质求标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
解 由题意知，2c＝8，c＝4，
从而b2＝a2－c2＝48，
(3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0).
解 依题意得a＝3b，
若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1，
若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9，
反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
同理可求出当焦点在y轴上时，
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(3)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2.
又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6，
三、椭圆的离心率
例3 设椭圆C：
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________.
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
延伸探究
1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.
解 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝
求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝
求解.
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
解析 当k>4时，c2＝k－4，
√
当0课堂小结
1.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质.
(2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程.
(3)椭圆的离心率.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：焦点位置不确定时应讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况.
随堂演练
1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
√
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
1
2
3
4
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.
依题意可知，△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
1
2
3
4
1
2
3
4
4.若椭圆C：
＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为____.
解析 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
课时对点练
基础巩固
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 a2＝16，b2＝8，c2＝8，
2.焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为
，则椭圆的
方程为
又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
√
1
2
3
4
5
6
7
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16
表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同.
A.有相等的焦距，相同的焦点
B.有相等的焦距，不同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点
D.以上都不对
√
1
2
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5
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4.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为
√
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
1
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5.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是
√
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7
8
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√
1
2
3
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5
6
7
8
9
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∴k＝－3.
√
√
1
2
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4
5
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7.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是
(－10,0)，则焦点坐标为___________.
解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0，则长轴长的取值范围为______.
1
2
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(2,4]
则1即长轴长的取值范围是(2,4].
9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝
，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
1
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∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
1
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10.如图，已知椭圆
＝1(a>b>0)，F1，F2分别为
椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交
椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
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解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
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11.(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为
，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为
综合运用
√
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12.椭圆
＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是
√
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解析 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
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∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
13.把椭圆
＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|等于
A.21
B.28
C.35
D.42
√
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解析 设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，
由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.
同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10.
又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.
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解析 如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，
拓广探究
15.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是
√
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解析 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，
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即为6厘米，
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即证原命题成立.
本课结束