(共73张PPT)
第二章 §2.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
学习目标
1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
随堂演练
课时对点练
一、双曲线的简单几何性质
二、由简单几何性质求标准方程
三、双曲线的离心率
内容索引
一、双曲线的简单几何性质
问题1 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线
＝1(a>0，b>0)
的几何性质.
提示 1.范围
所以x≥a
或x≤－a；y∈R.
2.对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，
又称为双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点
.
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个.
(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长
为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的
虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长.
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
方程为x2－y2＝m(m≠0).
4.渐近线
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
5.离心率
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，
标准方程
?
?
图形
?
?
知识梳理
性质
焦点
________________
____________________
焦距
_________
范围
____________________
___________________
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
_________________
____________________
轴长
实轴长＝
，虚轴长＝___
离心率
_________?
渐近线
?_________
_________?
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
x轴、y轴
坐标原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
2b
注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)等轴双曲线的离心率为
，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)画双曲线时，先画两条渐近线.
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
延伸探究
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
√
解析 双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，
所以x±y＝0，
二、由简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
解 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，则λ＝3，
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线
＝1共焦点的双曲线方程可设为
＝1(λ≠0，
－b2<λ
②与双曲线
＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为
λ(λ≠0).
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
∴a2＝3b2.
①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
三、双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线
＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
√
即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝
得解.
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
跟踪训练3 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
√
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.
因为△PF1F2是等腰直角三角形，
所以只能是∠PF2F1＝90°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，
所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，
得e2－2e－1＝0.
课堂小结
1.知识清单：
(1)双曲线的几何性质.
(2)等轴双曲线.
(3)双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
随堂演练
1.
(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
A.实轴长为
B.虚轴长为4
C.焦距为6
D.离心率为
√
1
2
3
4
√
√
2.双曲线
＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于
A.6
B.8
C.9
D.10
√
1
2
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4
解析 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是
A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
√
1
2
3
4
解析 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________.
1
2
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4
由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，
且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
可得e4－6e2＋1＝0，
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课时对点练
基础巩固
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√
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，
设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
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4.设双曲线
＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
A.4
B.3
C.2
D.1
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5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝
，则下列结论正确的是
A.C的方程为
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
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|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
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6.(多选)已知曲线C：
＝1，下列说法不正确的是
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
√
√
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即6m2＋m－2＝0，
解析 由题意知，若曲线C为双曲线，
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
∵m2>0，故C正确；
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8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为___________.
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a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
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9.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切.
(1)求双曲线的离心率；
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解 设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.
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解 由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
所以a＝3，b＝4，
10.设双曲线
＝1(01
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于是双曲线的离心率为2.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
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11.已知双曲线C：
＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为
综合运用
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又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
12.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
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解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
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因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
13.已知P为双曲线
－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为
A.4
B.5
C.
D.与点P的位置有关
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14.双曲线
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝
的距离之比为______.
2
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
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拓广探究
15.已知椭圆
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为_____.
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2
解析 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况.
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为
P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，
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所以离心率为2.
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16.双曲线
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
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(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－
，求双曲线的离心率.
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所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
所以3b4－2a2b2－a4＝0，
本课结束2.6.2 双曲线的几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题．
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、双曲线的简单几何性质
问题1 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质．
提示 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，
所以x≥a
或x≤－a；y∈R.
2．对称性
－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点
.
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长．
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．
方程为x2－y2＝m(m≠0)．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，
它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
5．离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
知识梳理
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴、y轴，对称中心：坐标原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)画双曲线时，先画两条渐近线．
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.
延伸探究
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长a＝，
半虚轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±?x，即y＝±x.
反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案 B
解析 双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，所以x±y＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝＝.
二、由简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(3)过点(2,1)的等轴双曲线．
解 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，则λ＝3，
∴所求双曲线方程为－＝1.
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，
∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
三、双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到渐近线的距离为d＝＝，
则＝2，可得e＝＝.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.＋1
B.＋1 C．2
D．2
答案 B
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，
所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，
得e2－2e－1＝0.
因为e>1，所以e＝＋1.
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1.
(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2．双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A．6
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
答案 A
解析 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________．
答案 ＋1
解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
代入双曲线方程得－＝1，
即－＝1.
可得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3＋2，
所以e＝＋1.
课时对点练
1．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A.
B. C.
D.
答案 C
解析 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
3．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案 B
解析 ∵e＝，∴＝，即＝3，
∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x.
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 C
解析 由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是
( )
A．C的方程为－＝1
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
答案 AD
解析 双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；
离心率为e＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
6．(多选)已知曲线C：＋＝1，下列说法不正确的是( )
A．m<2时该曲线为双曲线
B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
D．若该曲线的离心率为，则m＝或m＝－
答案 AB
解析 由题意知，若曲线C为双曲线，则即m<2且m≠0，故A不正确；
若该曲线为等轴双曲线，方程可化为－＝1，
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
∵m2>0，故C正确；
D中，e＝，∴＝7，
即6m2＋m－2＝0，
解得m＝或m＝－，故D正确．
7．双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
答案
解析 双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，
因此焦点到渐近线的距离d＝＝.
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案 －＝1
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为－＝1.
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则＝4，解得k＝.
若双曲线焦点在x轴上，则＝，e＝；
若双曲线焦点在y轴上，则＝，e＝，
故所求双曲线的离心率为e＝或e＝.
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得·＝0.
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1(0解 直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 A
解析 由题意，点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为－＝1.
12.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3
B．2
C.
D.
答案 B
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
＋＝1(a>b>0)，
－＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以＝＝＝2.
13．已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为( )
A．4
B．5
C.
D．与点P的位置有关
答案 C
解析 设点P(x0，y0)，则有－x＝1，
所以y－4x＝4.
易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，
所以|PA|·|PB|＝·＝＝.
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝的距离之比为________．
答案 2
解析 离心率e＝2，则＝2，
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
∴b＝a，
∴右焦点F2(2a,0)，直线x＝＝＝，
设点P(x0，y0)，∴－＝1，即－＝1，
∴点P到F2的距离与点P到直线x＝的距离之比为＝
＝＝＝2.
15．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 －1 2
解析 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况．
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，
由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为，
所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，离心率为＝－1.
双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan
60°＝，
e2＝＝1＋＝4，
所以离心率为2.
16．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解 (1)由题意，知＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，
所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝，
从而n＝m，
又m2＋n2＝c2，所以m＝c，n＝，
所以A，
将点A代入双曲线方程－＝1得，
－＝1，所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，
所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
所以3b4－2a2b2－a4＝0，
所以34－22－1＝0，
所以＝1，从而e2＝1＋＝2，又e>1，所以e＝.