再练一课(范围：§1.1)
一、单项选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
答案 A
解析 对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等，故选A.
2．空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是( )
A．(－3，2，5)
B．(3，－2，5)
C．(3，2，－5)
D．(－3，－2，－5)
答案 C
解析 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，
因为点Q与点P关于zOx平面对称，
所以点Q的坐标是(3，2，－5)．
3．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为M，A，B，C共面，
所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cos
θ＝，则该四面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，
则A(0，1，0)，B(0，0，0)，E，D(0，0，a)，
＝(0，－1，a)，＝，
cos
θ＝＝＝，
解得a＝2，
该四面体的体积为××1×1×2＝.
5．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，则当||取最小值时，x的值等于( )
A．19
B．－
C.
D.
答案 C
解析 ∵＝(1－x，2x－3，3－3x)，
∴||＝＝.
故当x＝时，||有最小值．
6．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5
B.
C．4
D．2
答案 A
解析 设＝λ，
又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．
又∵＝(4，－5，0)，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
由·＝0，得λ＝－，
∴＝，∴||＝5.
二、多项选择题
7．已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为( )
A．(2，5，0)
B．(－4，－1，－6) C．(3，4，1)
D．(－3，－2，－5)
答案 AB
解析 设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1，1，1)，
∴
解得或
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0)．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为B1D1上一点且·＝1，则等于( )
A.
B.
C.
D．1
答案 BD
解析 如图所示建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，设点P(a，a，1)，
∴＝(a－1，a，1)，＝(a－1，a－1，1)，
∴·＝(a－1)2＋a(a－1)＋1＝1，
解得a＝1或a＝.
a＝1时，点P在B1处，∴＝1，
a＝时，P为D1B1的中点，∴＝.
三、填空题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
答案 a－b＋c
解析 由E为PD的中点知，
＝(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋
＝－＋(－)＋(－)＝－＋＋＝a－b＋c.
10．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为________．
答案
解析 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，
则E(0，0，6)，F(6，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，A(6，0，0)，
所以||＝＝，
即线段OM的长为.
11．已知a＝(5，3，1)，b＝.若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________．
答案 ∪
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.
由a·b<0，得3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb，
即(5，3，1)＝λ，
所以解得t＝－.
所以t的取值范围是∪.
12．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
答案
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)，F(2，1，0)，
＝(－1，1，2)，＝(2，1，0)，
cos〈，〉＝＝＝－，
又异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为.
四、解答题
13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
(1)证明 因为＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)解 因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
14．已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)．
(1)求·的值；
(2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值．
解 (1)因为A(2，1，0)，B(2，2，1)，
所以＝(0，1，1)．
又C(0，1，2)，
所以＝(－2，0，2)，
所以·＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.
(2)由(1)可知＝(0，1，1)，＝(－2，0，2)，
所以＋k＝(－2k，1，2k＋1)，＋＝(－2，1，3)．
因为(＋k)⊥(＋)，
所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，
解得k＝－.
15．已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直．
(1)求向量b的坐标；
(2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值．
解 (1)设b＝(x，y，z)，则由题意可知解得或
∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2)．
(2)∵向量b与向量d＝共线，
∴b＝(2，－1，2)．
又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，
∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)，
∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32，且|a－b|＝2，|2b＋3c|＝3，
∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为
cos〈a－b，2b＋3c〉＝＝－.(共25张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
再练一课(范围：§1.1)
一、单项选择题
1.下列命题中为真命题的是
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
解析 对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段；
对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是
A.(－3，2，5) B.(3，－2，5)
C.(3，2，－5) D.(－3，－2，－5)
√
解析 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，
因为点Q与点P关于zOx平面对称，
所以点Q的坐标是(3，2，－5).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 因为M，A，B，C共面，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，
解得a＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
二、多项选择题
A.(2，5，0) B.(－4，－1，－6)
C.(3，4，1) D.(－3，－2，－5)
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 设Q(x，y，z)，
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 如图所示建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，设点P(a，a，1)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
三、填空题
解析 由E为PD的中点知，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，
则E(0，0，6)，F(6，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，A(6，0，0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦
值是______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直.以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，
则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)，F(2，1，0)，
又异面直线所成的角为锐角或直角，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
四、解答题
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
所以A，E，C1，F四点共面.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2).
解 因为A(2，1，0)，B(2，2，1)，
又C(0，1，2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15.已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直.
(1)求向量b的坐标；
∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∴b＝(2，－1，2).
又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，
∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)，
∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
本课结束
