再练一课(范围：§1.1～§1.2)
一、单项选择题
1．若a，b，c构成空间的一个基底，则( )
A．b＋c，b－c，a不共面
B．b＋c，b－c，2b不共面
C．b＋c，a，a＋b＋c不共面
D．a＋c，a－2c，3c不共面
答案 A
解析 ∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c，2b共面，排除B；a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，排除C；∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c，3c共面，排除D.
2．设直线l的方向向量为u＝(－2，2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
答案 B
解析 由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4.
3．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝，则C的坐标为( )
A.
B. C.
D.
答案 D
解析 因为C为线段AB上一点，所以＝t，
又因为||＝||，所以t＝，
设点O为坐标原点，
所以＝＋t＝(4，1，3)＋(－2，－6，－2)＝.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为( )
A.，－
B.－，－ C.－，
D.，
答案 A
解析 由题意知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
5．若点A(2，3，2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2，1，4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于( )
A.
B．3
C．5
D.
答案 C
解析 ∵点A(2，3，2)关于zOx平面的对称点为A′，
∴A′(2，－3，2)，
∵点B(－2，1，4)关于y轴的对称点为B′，
∴B′(2，1，－4)，
∵点M为线段A′B′的中点，
∴M(2，－1，－1)，
∴|MA|＝＝5.
6．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.
B. C.
D.
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，M?，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，
∴＝，＝(a，a，0)，DA1＝(a，0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)．
∴点A1到平面MBD的距离d＝＝＝a.
二、多项选择题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C．＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
答案 AC
解析 对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立.
对B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为2，则＝(－2，－2，－2)，＝(0，1，－2)．故·＝0－2＋4＝2≠0.故，不互相垂直．又CF?平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．
对C，＝(1，－2，2)，＋－＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)．故＝＋－成立．
对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1的中点O在平面CEF上．连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1的中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A．B1G⊥BC
B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1
C．A1H∥平面AEF
D．平面EAF与平面AFC的夹角为
答案 BC
解析 由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确；
连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标如下：A(2，0，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，H(2，2，1)，F(1，2，0)，＝(0，2，－1)，＝(－1，2，0)，＝(1，0，－1)，＝(0，0，2)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的一个法向量为n＝(2，1，2)，所以·n＝0，所以A1H∥平面AEF，则C选项正确；
由图可知，AA1⊥平面AFC，所以是平面AFC的法向量，则cos〈，n〉＝＝.平面EAF与平面AFC的夹角的大小不是，所以D不正确.
三、填空题
9．棱长为1的正方体ABCD－EFGH如图所示，P，Q分别为直线AF，BG上的动点，则线段PQ长度的最小值为________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(1，y0，1－y0)，Q(x0，1，x0)，当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短，
则＝(x0－1，1－y0，x0＋y0－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，0，1)，
由
所以x0＝y0＝，
所以P，Q，
所以|PQ|min＝＝.
10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________．
答案
解析 因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，
所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离．
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)．
设平面GHDB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨取y＝－2，则n＝(2，－2，1)，
所以点F到平面GHDB的距离d＝＝＝，
即平面EFD1B1和平面GHDB的距离是.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1
，则异面直线BA1与AC1所成的角的大小为________．
答案 60°
解析 ∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，
∴以点A
为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
设AB＝AC＝AA1＝1，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，0，1)，
∵＝(0，－1，1)，＝(1，0，1)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60°
.
12．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C、C1D与底面所成的角分别为60°和45°，AC＝2，点P为线段B1C上一点，则·的最小值为________．
答案
解析 如图．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设DD1＝x，则C1D1＝x，CC1＝x，C1B1＝x，D1A1＝x，
因为AC＝2，所以A1C1＝2，
所以D1C＋D1A＝A1C，
即x2＋2＝22，解得x＝，
所以CC1＝，C1B1＝1，B1C＝2，
所以·＝·(＋)＝·＋2＝2，
当C1P⊥B1C时，C1P取最小值，最小值为＝＝，
所以2的最小值为，即·的最小值为.
四、解答题
13．如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，2＝，＝2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解 连接AN(图略)，则＝＋，
由已知四边形ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，
又2＝，故＝－＝－(a＋b)．
又＝2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)．
于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)．
14．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E.
(1)＝，＝(a，a，0)．
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝，
因为·n＝(a，0，－b)·＝0，所以⊥n，
又PC?平面EBD，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的法向量为＝(0，a，0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a，0，－b)，
设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，所以m＝，
因为·m＝(0，a，0)·＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
15．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值．
(1)证明 由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1，
则DO＝，CO＝BO＝AE＝，
所以PO＝DO＝，
PC＝＝，PB＝＝，
又△ABC为等边三角形，则＝2OA，
所以BA＝，PA＝＝，
PA2＋PB2＝＝AB2，则∠APB＝90°，
所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，
又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.
(2)解 过O作ON∥BC交AB于点N，
因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E?，P，B，C?，
＝，＝，＝，
设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝，得z1＝－1，y1＝0，所以n＝(，0，－1)，
设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，
由得
令x2＝1，得z2＝－，y2＝，所以m＝，
故cos〈m，n〉＝＝＝，
所以二面角B－PC－E的余弦值为.(共39张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
再练一课(范围：§1.1～§1.2)
一、单项选择题
1.若a，b，c构成空间的一个基底，则
A.b＋c，b－c，a不共面
B.b＋c，b－c，2b不共面
C.b＋c，a，a＋b＋c不共面
D.a＋c，a－2c，3c不共面
解析 ∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c，2b共面，排除B；
a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，排除C；
∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c，3c共面，排除D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.设直线l的方向向量为u＝(－2，2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于
A.4 B.－4 C.2 D.－2
√
解析 由题意得，u∥v，
1
2
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5
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√
设点O为坐标原点，
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√
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15
5.若点A(2，3，2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2，1，4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于
√
解析 ∵点A(2，3，2)关于zOx平面的对称点为A′，
∴A′(2，－3，2)，
∵点B(－2，1，4)关于y轴的对称点为B′，
∴B′(2，1，－4)，
∵点M为线段A′B′的中点，∴M(2，－1，－1)，
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6.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
√
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8
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2).
1
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15
二、多项选择题
7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是
A.A1C1∥平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
√
√
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解析 对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，
故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立.
对B，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为2，
又CF?平面CEF.
故B1D⊥平面CEF不成立.
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对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，
则点D与点B1的中点O在平面CEF上.
连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.
又点D与点B1的中点O在A1ACC1上，
故点O不在平面CEF上.
故D不成立.
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8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是
A.B1G⊥BC
B.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1
C.A1H∥平面AEF
√
√
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解析 由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确；
连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，
BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，
则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝1，
得x＝2，z＝2，
得平面AEF的一个法向量为n＝(2，1，2)，
所以A1H∥平面AEF，则C选项正确；
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由图可知，AA1⊥平面AFC，
所以D不正确.
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三、填空题
9.棱长为1的正方体ABCD－EFGH如图所示，P，Q分别为直线AF，BG上
的动点，则线段PQ长度的最小值为____.
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(1，y0，1－y0)，Q(x0，1，x0)，
当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短，
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10.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是___.
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解析 因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，
所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设平面GHDB的法向量为n＝(x，y，z)，
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不妨取y＝－2，则n＝(2，－2，1)，
所以点F到平面GHDB的距离
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11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1
，则异面直线BA1与AC1所成的角的大小为_____.
60°
解析 ∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，
∴以点A
为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
设AB＝AC＝AA1＝1，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，0，1)，
∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60°
.
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解析 如图.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设DD1＝x，
因为AC＝2，所以A1C1＝2，
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当C1P⊥B1C时，C1P取最小值，
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四、解答题
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由已知四边形ABCD是平行四边形，
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14.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
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证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设DC＝a，PD＝b，
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，
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又PC?平面EBD，
故PC∥平面EBD.
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(2)平面PBC⊥平面PCD.
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设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
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(1)证明：PA⊥平面PBC；
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证明 由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1，
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所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，
又PC∩PB＝P，
所以PA⊥平面PBC.
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(2)求二面角B－PC－E的余弦值.
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解 过O作ON∥BC交AB于点N，
因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
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设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，
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本课结束
