(共23张PPT)
再练一课(范围：§2.1～§2.3)
第二章 平面解析几何
一、单项选择题
1.已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，
)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是
√
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2.直线l1：x＋ay＋3＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为
A.－1 B.3 C.3或－1 D.－3
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解析 ∵直线l1：x＋ay＋3＝0和l2：(a－2)x＋3y＋a＝0，
由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在，
由于两条直线互相平行，故k1＝k2，
又∵a＝3时，两条直线重合，∴a＝－1.
3.方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
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解析 该圆的圆心为(－a，a)在直线x＋y＝0上，
故该圆关于x＋y＝0对称，故选D.
4.给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为
A.4x－y＝0
B.4x＋y＝0
C.x－4y＝0
D.x＋4y＝0
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解析 圆心为(2，－8)，原点为(0,0)，
故所求的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
5.若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为
A.x－y＋1＝0
B.x＋y－1＝0
C.2x－2y＋1＝0
D.2x＋y－2＝0
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因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB的中点且直线l和AB垂直，
即x－y＋1＝0.
6.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为
√
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解析 由圆C1与圆C2外切，
二、多项选择题
7.已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是
A.不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直
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√
解析 存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误.
直线l1：x－y－1＝0过定点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)
?k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故B是正确的.
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即x－y－1＝0，l1与l2重合，选项C错误；
两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，
故对任意的k，l1与l2都不垂直，选项D正确.
8.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则点P到直线y＝x的距离可能为
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√
√
令点P到直线x－y＝0的距离为d2，
则d1－r≤d2≤d1＋r(r为圆C的半径)，
三、填空题
9.已知直线l1：y＝ax－1，直线l2：y＝x－3，若l1⊥l2，则a＝_____.
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－1
解析 l1⊥l2
，则k1·k2＝－1，
即a×1＝－1，a＝－1.
10.直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的方程是____________
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x－2y＋1＝0
解析 在对称直线上任取点(x0，y0)，则关于x＝1对称的点为(2－x0，y0)，
此点在直线x＋2y－3＝0上，
所以2－x0＋2y0－3＝0，
所以直线方程为2y0－x0－1＝0，
即x－2y＋1＝0.
11.已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是__________.
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解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
12.已知过点(0,1)的直线l：xtan
α－y－3tan
β＝0的一个法向量为(2，－1)，则tan(α＋β)＝____.
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解析 ∵过点(0，1)的直线l：xtan
α－y－3tan
β＝0的一个法向量为(2,－1)，
∴－1－3tan
β＝0，tan
α＝2，
四、解答题
13.已知点A(0，－4)，B(2,0)，C(4,4)，D(－5,1).
(1)判断A，B，C，D四点能否围成四边形，并说明理由；
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即kAB＝kBC，
所以A，B，C三点共线，故A，B，C，D四点不能围成四边形.
(2)求△ACD的面积.
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解 由(1)可知kAC＝2，所以直线AC的方程为y＝2x－4，
即2x－y－4＝0，
14.已知直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
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证明 直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R，
即m(x－y－3)＋2x－y－7＝0，
可得直线l恒过定点P(4,1).
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程.
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解 直线l在x轴，y轴上的截距相等，
15.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
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解 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
且61－m>0，即m<61.
当两圆外切时，
(2)m取何值时两圆内切？
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(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
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解 两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
本课结束再练一课(范围：§2.1～§2.3)
一、单项选择题
1．已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 A
解析 依题意，得kOA＝＝，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线m的倾斜角为，
所以直线m的斜率为tan
＝－.
2．直线l1：x＋ay＋3＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为( )
A．－1
B．3
C．3或－1
D．－3
答案 A
解析 ∵直线l1：x＋ay＋3＝0和l2：x＋3y＋a＝0，
由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在，
∴k1＝－，k2＝，
由于两条直线互相平行，故k1＝k2，
即－＝，解得a＝3或a＝－1，
又∵a＝3时，两条直线重合，∴a＝－1.
3．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称
D．关于直线x＋y＝0对称
答案 D
解析 该圆的圆心为(－a，a)在直线x＋y＝0上，
故该圆关于x＋y＝0对称，故选D.
4．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0
B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0
D．x＋4y＝0
答案 B
解析 圆心为(2，－8)，原点为(0,0)，
故所求的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
5．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．2x－2y＋1＝0
D．2x＋y－2＝0
答案 A
解析 由题意可知AB的中点坐标是，
kAB＝＝－1，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB的中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为kl＝＝1，
所以直线l的方程为y－＝x－，
即x－y＋1＝0.
6．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为( )
A.
B.
C.
D．2
答案 C
解析 由圆C1与圆C2外切，
可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.
根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
二、多项选择题
7．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是( )
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
答案 AC
解析 存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误．
直线l1：x－y－1＝0过定点，直线l2：x＋ky＋k＝0?k＋x＝0过定点，故B是正确的．
当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，选项C错误；
两直线垂直，则1×＋×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，选项D正确．
8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则点P到直线y＝x的距离可能为( )
A．4
B．2＋1
C．2
D．2－1
答案 BCD
解析 圆心C(3，－1)到直线x－y＝0的距离d1＝＝2，
令点P到直线x－y＝0的距离为d2，
则d1－r≤d2≤d1＋r(r为圆C的半径)，
则2－1≤d2≤2＋1.故选BCD.
三、填空题
9．已知直线l1：y＝ax－1，直线l2：y＝x－3，若l1⊥l2，则a＝________.
答案 －1
解析 l1⊥l2
，则k1·k2＝－1，即a×1＝－1，a＝－1.
10．直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的方程是__________
答案 x－2y＋1＝0
解析 在对称直线上任取点(x0，y0)，则关于x＝1对称的点为(2－x0，y0)，此点在直线x＋2y－3＝0上，所以2－x0＋2y0－3＝0，所以直线方程为2y0－x0－1＝0，即x－2y＋1＝0.
11．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．
答案 30－10
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
∴原点到圆心的距离为，
则a2＋b2的最小值为(5－)2＝30－10.
12．已知过点(0,1)的直线l：xtan
α－y－3tan
β＝0的一个法向量为(2，－1)，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵过点的直线l：xtan
α－y－3tan
β＝0的一个法向量为，
∴－1－3tan
β＝0，tan
α＝2，
∴tan
β＝－，tan
α＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
四、解答题
13．已知点A(0，－4)，B(2,0)，C(4,4)，D(－5,1)．
(1)判断A，B，C，D四点能否围成四边形，并说明理由；
(2)求△ACD的面积．
解 (1)因为kAB＝＝2，kBC＝＝2，
即kAB＝kBC，
所以A，B，C三点共线，故A，B，C，D四点不能围成四边形．
(2)由(1)可知kAC＝2，所以直线AC的方程为y＝2x－4，
即2x－y－4＝0，
点D(－5,1)到直线AC的距离d＝＝3，
又|AC|＝＝4，
所以△ACD的面积为|AC|d＝×4×3＝30.
14．已知直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋2x－y－7＝0，
联立解得
可得直线l恒过定点P(4,1)．
(2)解 直线l在x轴，y轴上的截距相等，
令x＝0，解得y＝－；
令y＝0，解得x＝，
∴－＝(m≠－1且m≠－2)，
解得m＝－或m＝－，
∴直线l的方程为x＋y－＝0或－x＋y＝0，即x＋y－5＝0或x－4y＝0.
15．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
且61－m>0，即m<61.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2
＝2.
