再练一课(范围：§2.1～§2.5)
一、单项选择题
1．在数轴上存在一点P，它到点A(9)的距离是它到点B(3)的距离的2倍，则P的坐标为( )
A．2
B．－3
C．5
D．－3或5
答案 D
解析 设所求点P的坐标为x，则|x－9|＝2|x－3|，
所以x＝－3或x＝5，所以P(－3)或P(5)．
2．直线x＋y＋m＝0(m∈R)的倾斜角是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 C
解析 设α为直线的倾斜角，
将已知直线方程化为斜截式y＝－x－m，
所以斜率k＝－＝tan
α，则α＝120°.
3．已知直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：3x＋y－8＝0的交点为P，则点P到直线l：y＝－2x＋的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 联立得P(2,2)，
∴点P(2,2)到直线l：y＝－2x＋的距离d＝＝.
4．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，则与点(5,8)重合的点是( )
A．(6,7)
B．(7,6)
C．(－5，－4)
D．(－4，－5)
答案 A
解析 由已知得折线为点(2,0)和(－2,4)的垂直平分线，两点(2,0)和(－2,4)连线段的中点为(0,2)，斜率为＝－1，
∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y＝x＋2，
设点(5,8)关于直线y＝x＋2的对称点为P(x0，y0)，
则解得
5．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 由圆心在x＋y＝0上，可排除C，D.再结合图像(图略)或验证选项A，B中圆心到两直线的距离是否等于半径即可．
6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∶＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
答案 B
解析 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
依题意，得|PF1|＋|PF2|＝x＋2x＝3x＝2a＝6，
∴x＝2,2x＝4，
即|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝2＝2，
∴2＋2＝2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝，
∴△PF1F2的面积为S＝|PF1||PF2|＝×2×4＝4.
二、多项选择题
7．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝8
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－2)2＋(y－2)2＝8
答案 AD
解析 由题意可设圆心C(a，a)，圆C的半径为r，如图，
则22＋a2＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
8．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的可能取值是( )
A．3
B．5
C．－2
D．6
答案 BD
解析 依题意
解得－6
3.
三、填空题
9．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于半长轴、半短轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝8，则b2＝________.
答案 2
解析 由题可知，蒙日圆x2＋y2＝8半径的平方为8，故有6＋b2＝8，故b2＝2.
10．已知直线l1：xcos2α＋y＋2＝0，若l1⊥l2，则l2倾斜角的取值范围是________．
答案
解析 当cos2α≠0时，∵l1：xcos2α＋y＋2＝0，
则＝－，
∵l1⊥l2，∴＝－1，∴＝，
∵0设l2的倾斜角为θ，θ∈，则tan
θ≥，
∴≤θ<，
当cos2α＝0时，直线l1的斜率为0，倾斜角为0，
∵l1⊥l2，∴l2的倾斜角为，
综上，θ∈.
11．已知直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 由题意，得圆心到直线l的距离d＝＝3，
∴|AB|＝2＝2.
又易知直线l的倾斜角为30°，
∴|CD|＝＝＝4.
12．在Rt△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率等于________．
答案 －
解析 根据题意建立如图所示的坐标系，
设Rt△ABC周长为4a，
∴4a＝1＋1＋＝2＋，则a＝，
设AB上另一个焦点为D，则|AD|＝2a－|AC|＝，
在Rt△ACD中，∠A＝90°，|AC|＝1，|AD|＝，
则2c＝|CD|＝＝，
∴c＝，
∴e＝＝＝－.
四、解答题
13．已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 (1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)．
半径为|OP|＝＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上，即AB为圆O与(1)中所求圆的公共弦．
由
两式相减得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
14．如图，OA，OB是两条公路(近似看成两条直线)，∠AOB＝，在∠AOB内有一纪念塔P(大小忽略不计)，已知P到直线OA，OB的距离分别为PD，PE，PD＝6千米，PE＝12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA，OB分别交于点M，N.
(1)求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
(2)若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．
解 (1)以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，
则直线OB的方程为y＝x，
又P到直线OA的距离|PD|＝6千米，设P，
所以＝12，
解得t＝10或t＝－6(舍)，
所以|OP|＝＝4.
(2)因为P为小路MN的中点，点M在x轴上，即yM＝0，所以yN＝12，
又点N在OB上，所以yN＝xN，所以xN＝4，
由(1)知P，所以xM＝16，
|MN|＝＝24.
15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)，x0∈，
则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．(共28张PPT)
第二章 平面解析几何
再练一课(范围：§2.1～§2.5)
一、单项选择题
1.在数轴上存在一点P，它到点A(9)的距离是它到点B(3)的距离的2倍，则P的坐标为
A.2
B.－3
C.5
D.－3或5
解析 设所求点P的坐标为x，则|x－9|＝2|x－3|，
所以x＝－3或x＝5，所以P(－3)或P(5).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
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15
2.直线
(m∈R)的倾斜角是
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
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解析 设α为直线的倾斜角，
3.已知直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：3x＋y－8＝0的交点为P，则点P到直线l：y＝－2x＋
的距离为
√
1
2
3
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15
4.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，则与点(5,8)重合的点是
A.(6,7)
B.(7,6)
C.(－5，－4)
D.(－4，－5)
√
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解析 由已知得折线为点(2,0)和(－2,4)的垂直平分线，两点(2,0)和(－2,4)
∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y＝x＋2，
设点(5,8)关于直线y＝x＋2的对称点为P(x0，y0)，
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5.已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
√
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解析 由圆心在x＋y＝0上，可排除C，D.
再结合图像(图略)或验证选项A，B中圆心到两直线的距离是否等于半径
即可.
6.设F1，F2是椭圆
＝2∶1，则△F1PF2的面积等于
A.5
B.4
C.3
D.1
√
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解析 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
依题意，得|PF1|＋|PF2|＝x＋2x＝3x＝2a＝6，
∴x＝2,2x＝4，
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二、多项选择题
7.设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是
A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝8
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x－2)2＋(y－2)2＝8
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√
√
解析 由题意可设圆心C(a，a)，圆C的半径为r，如图，
则22＋a2＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
8.如果方程
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的可能取值是
A.3
B.5
C.－2
D.6
解得－63.
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15
√
√
三、填空题
9.画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于半长轴、半短轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆
＝1的蒙日圆为x2＋y2＝8，则b2＝_____.
解析 由题可知，蒙日圆x2＋y2＝8半径的平方为8，
故有6＋b2＝8，
故b2＝2.
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10.已知直线l1：xcos2α＋
y＋2＝0，若l1⊥l2，则l2倾斜角的取值范围是
________.
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当cos2α＝0时，直线l1的斜率为0，倾斜角为0，
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11.已知直线l：y＝
与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝_____.
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又易知直线l的倾斜角为30°，
12.在Rt△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率等于________.
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解析 根据题意建立如图所示的坐标系，
设Rt△ABC周长为4a，
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13.已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
解 ∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3).
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
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(2)求直线AB的方程.
解 ∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上，
即AB为圆O与(1)中所求圆的公共弦.
两式相减得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
14.如图，OA，OB是两条公路(近似看成两条直线)，∠AOB＝
，在∠AOB内有一纪念塔P(大小忽略不计)，已知P到直线OA，OB的距离分别为PD，PE，PD＝6千米，PE＝12千米.现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA，OB分别交于点M，N.
(1)求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
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解 以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，
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解 因为P为小路MN的中点，点M在x轴上，即yM＝0，所以yN＝12，
(2)若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长.
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15.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0).
(1)求椭圆E的标准方程；
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(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
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∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
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