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第二章 平面解析几何
再练一课(范围：§2.1～§2.7)
一、单项选择题
1.直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是
A.垂直
B.平行
C.相交
D.重合
解析 ∵A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1，
∴l1∥l2.
√
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2.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形瓷盘，经测量得
到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为
√
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3.已知圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是
A.1B.－1C.m>3
D.－3√
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解得－3∵两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，
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4.已知抛物线C：y2＝8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是
A.2
B.4
C.6
D.8
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解析 如图.
根据抛物线第一定义，|PF|＝|PH|＝|PG|＋|GH|＝6
?|PG|＝6－|GH|＝6－2＝4，
则P到y轴的距离是4.
又y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，
解析 直线ax－y＋1＝0恒过定点C(0,1)，如图，
5.直线ax－y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是
√
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解析 由题意，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，B2(0，－b)，设C(x0，y0)，
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二、多项选择题
7.下列命题中正确的为
A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B.若两直线平行，则它们的斜率相等
C.若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1
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解析 当直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，
若k1＝k2，则l1∥l2；
若k1k2＝－1，则l1⊥l2，可知A，C正确；
当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知B错误；
当两条直线一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，可知D错误.
8.若双曲线
＝1的焦距为8，则m的值为
A.8
B.6
C.－10
D.－8
解析 依题意，得c2＝16，∴a2＋b2＝16，
①当焦点在x轴上时，m＋m＋4＝16，∴m＝6.
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√
√
∴－m－4－m＝16，∴m＝－10.
综上，m＝6或－10.
即x＋2y－5＝0.
三、填空题
9.过点A(－1,3)，且与向量n＝(1,2)垂直的直线方程是____________.(用一般式表示)
解析 因为直线与向量n＝(1,2)垂直，
x＋2y－5＝0
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又过点A(－1,3)，
10.若直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，则实数m的值为____.
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解析 因为直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，
所以m－3＝0，
解得m＝3.
11.如果直线ax－y＋3＝0被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长为
，那么a的值为________.
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解析 由x2＋y2－6x－8y＝0，
得(x－3)2＋(y－4)2＝25，
所以圆心为(3,4)，半径为r＝5.
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解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
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四、解答题
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13.已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
∴M(－2,1).
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1).
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(2)求反射光线所在的直线l3的方程.
解 由已知得l3经过点P与点N，
即x－3y－1＝0.
14.已知椭圆D：
＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相
同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
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解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
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所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为3，
(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)若椭圆C上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值.
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解 点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，
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本课结束再练一课(范围：§2.1～§2.7)
一、单项选择题
1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．相交
D．重合
答案 B
解析 ∵A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1，∴l1∥l2.
2.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A．8
cm
B．2
cm
C．4
cm
D．4
cm
答案 C
解析 a＝4，b＝2，故c＝2，所以焦距为4.
3．已知圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是( )
A．1B．－1C．m>3
D．－3答案 D
解析 由题意可得圆C1的圆心为(0，－m)，半径为，圆C2的圆心为(m,0)，半径为2，
∵两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，
∴<|C1C2|<3，
∵|C1C2|＝＝|m|，
∴<|m|<3，
解得－34．已知抛物线C：y2＝8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 B
解析 如图．
由y2＝8x?＝2，根据抛物线第一定义，|PF|＝|PH|＝|PG|＋|GH|＝6?|PG|＝6－|GH|＝6－2＝4，则P到y轴的距离是4.
5．直线ax－y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
B．[－1,3]
C.∪[1，＋∞)
D.
答案 C
解析 直线ax－y＋1＝0恒过定点C(0,1)，如图，
由于kAC＝＝1，kBC＝＝－，
又y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，
所以a∈∪[1，＋∞)．
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，点C在椭圆上，且＝3，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，B2(0，－b)，设C(x0，y0)，
因为＝3，则(－c，－b)＝3(x0＋c，y0)，
可得x0＝－c，y0＝－，即C，
因为C在椭圆上，所以＋＝1，
即＝，所以离心率为e＝＝.
二、多项选择题
7．下列命题中正确的为( )
A．若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B．若两直线平行，则它们的斜率相等
C．若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D．若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1
答案 AC
解析 当直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，若k1＝k2，则l1∥l2；若k1k2＝－1，则l1⊥l2，可知A，C正确；当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知B错误；当两条直线一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，可知D错误．
8．若双曲线－＝1的焦距为8，则m的值为( )
A．8
B．6
C．－10
D．－8
答案 BC
解析 依题意，得c2＝16，∴a2＋b2＝16，
①当焦点在x轴上时，m＋m＋4＝16，∴m＝6.
②当焦点在y轴上时，原方程可化为－＝1，
∴－m－4－m＝16，∴m＝－10.
综上，m＝6或－10.
三、填空题
9．过点A(－1,3)，且与向量n＝(1,2)垂直的直线方程是________．(用一般式表示)
答案 x＋2y－5＝0
解析 因为直线与向量n＝(1,2)垂直，
所以直线的斜率为k＝－，
又过点A(－1,3)，
所以所求直线方程为y－3＝－(x＋1)，
即x＋2y－5＝0.
10．若直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，则实数m的值为________．
答案 3
解析 因为直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，
所以m－3＝0，解得m＝3.
11．如果直线ax－y＋3＝0被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长为4，那么a的值为________．
答案 2或－
解析 由x2＋y2－6x－8y＝0，
得(x－3)2＋(y－4)2＝25，
所以圆心为(3,4)，半径为r＝5.
又圆心(3,4)到直线的距离d＝，
故弦长＝2＝4，
则25－＝20，
解得a＝2或a＝－.
12．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，
所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝＝＝＝.
四、解答题
13．已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程．
解 (1)由得∴M(－2,1)．
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1)．
(2)由已知得l3经过点P与点N，
∴l3的方程为＝，即x－3y－1＝0.
14．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为3，
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
15．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，且该椭圆过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值．
解 (1)由题意得，解得
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，
则有·＝0，且y0≠0，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
即·＝(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)＝x＋y－3＝0，①
而点M(x0，y0)在椭圆C上，则＋y＝1，②
取立①②消去x，得y＝，所以y0＝±.
