(共35张PPT)
第二章 平面解析几何
再练一课(范围：§2.1～§2.8)
一、单项选择题
1.过点P(3，－2)且倾斜角为
的直线方程是
A.x＝－2
B.x＝3
C.y＝－2
D.y＝3
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2.已知A(3，－2)，B(－1,2)，则线段AB中点的坐标为
√
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解析 由A(3，－2)，B(－1,2)，
得线段AB中点的坐标为(1,0).
3.过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得
(a，b∈R)，则以下说法正确的是
A.点P(a，b)一定在单位圆内
B.点P(a，b)一定在单位圆上
C.点P(a，b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
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4.已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解析 圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C1(3，－2)，半径r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16，圆心C2(7,1)，半径r2＝4，
所以两圆相外切，公切线条数是3.
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5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
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解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
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当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
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6.2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是
则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是
√
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则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2.
解析 如图，以运行轨道的中心为原点，
长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
令地心F2为椭圆的右焦点，
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二、多项选择题
7.已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是
A.直线l过定点(－1,0)
B.直线l一定不与坐标轴垂直
C.直线l与直线l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D.直线l与直线l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直
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解析 l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1,0)，故A正确；
当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误；
当m＝－1时，两直线重合，故C错误；
因为1×a＋1×(－a)＝0，
故直线l与直线l′一定垂直，故D正确.
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√
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对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，
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解析 直线y＝1的方向向量为m＝(1,0)，
三、填空题
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10.已知直线x－
y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为________.
解析 设圆心为O(0,0)，
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取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
11.已知F为双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______.
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解析 如图，A(a,0).
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去).故e＝2.
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12.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为________.
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y＝±x
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x.
解析 由已知|OA|＝a，|AF|＝c，
得x2＝2a2，
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解得p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
四、解答题
13.已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且
(1)求抛物线C的方程；
解 根据抛物线的定义得
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(2)已知过点Q(2,1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程.
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得直线l的斜率为1，
则直线l的方程为x－y－1＝0.
解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是线段MN的中点，
∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，
于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)，
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14.在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2)，
(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
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解 ∵点A，B到l的距离相等，
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB，
直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝2；
即3x＋2y－6＝0，
综上，l的方程为x＝2或3x＋2y－6＝0.
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(2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程.
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解 ∵直线m为∠C的平分线，
∴点A关于直线m的对称点A′(a，b)在直线BC上，
即x－2y－7＝0.
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15.已知A，B分别为椭圆E：
＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，
＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
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解 依据题意作图，如图所示，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
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(2)证明：直线CD过定点.
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证明 设P(6，y0)，
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本课结束再练一课(范围：§2.1～§2.8)
一、单项选择题
1．过点P(3，－2)且倾斜角为的直线方程是( )
A．x＝－2
B．x＝3 C．y＝－2
D．y＝3
答案 B
解析 倾斜角为，直线垂直于x轴，直线方程为x＝3.
2．已知A(3，－2)，B(－1,2)，则线段AB中点的坐标为( )
A．(1,2)
B．(2,0) C.
D．(1,0)
答案 D
解析 由A(3，－2)，B(－1,2)，
得线段AB中点的坐标为(1,0)．
3．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
答案 B
解析 ∵2＝(a＋b)2，且⊥，∴a2＋b2＋2ab·＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
4．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C1(3，－2)，半径r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16，圆心C2(7,1)，半径r2＝4，
圆心距d＝＝5，d＝r1＋r2，
所以两圆相外切，公切线条数是3.
5．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
6．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星．第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，R，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 如图，以运行轨道的中心为原点，
长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
令地心F2为椭圆的右焦点，
设标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2.
由题意，得a－c＝R＋R，a＋c＝R＋R，
解得2a＝R,2c＝R，所以e＝＝.
二、多项选择题
7．已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A．直线l过定点(－1,0)
B．直线l一定不与坐标轴垂直
C．直线l与直线l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D．直线l与直线l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直
答案 AD
解析 l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1,0)，故A正确；当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误；当m＝－1时，两直线重合，故C错误；因为1×a＋1×(－a)＝0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确．
8．下列判断正确的是( )
A．抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0仅有一个公共点
B．双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点
C．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则D．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
答案 BD
解析 对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－＝0联立，消去x，可得y2＋y－＝0，Δ＝1＋4>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0有两个公共点，故A错误；
对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，解得1对于D，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则解得t>4，故D正确．
三、填空题
9．直线y＝1与直线y＝x＋3的夹角是________．
答案
解析 直线y＝1的方向向量为m＝(1,0)，直线y＝x＋3的方向向量为n＝(1，)，
cos〈m，n〉＝＝，
可得〈m，n〉＝，
所以直线y＝1与直线y＝x＋3的夹角是.
10．已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
答案 5
解析 设圆心为O(0,0)，
圆心到直线的距离d＝＝4.
取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝＝5.
11．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
答案 2
解析 如图，A(a,0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为______．
答案 y＝±x
解析 由已知|OA|＝a，|AF|＝c，
得|OF|＝＝b，
把y＝－＝－b代入双曲线方程－＝1，得x2＝2a2，
所以直线y＝－被双曲线截得的线段长为2a，
从而2a＝2c，c＝a，
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x.
四、解答题
13．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且|AF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知过点Q(2,1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程．
解 (1)根据抛物线的定义得
|AF|＝xA＋＝1＋＝，
解得p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是线段MN的中点，
∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，
∴
于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)，
即＝＝＝1，
得直线l的斜率为1，
则直线l的方程为x－y－1＝0.
14．在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2)，
(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程．
解 (1)∵点A，B到l的距离相等，
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB，
①当直线l过线段AB的中点N时，直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝2；
②当l∥AB时，则斜率kl＝kAB＝＝－，
则l的方程为y－0＝－(x－2)，即3x＋2y－6＝0，
综上，l的方程为x＝2或3x＋2y－6＝0.
(2)∵直线m为∠C的平分线，
∴点A关于直线m的对称点A′(a，b)在直线BC上，
则有解得即A′(5，－1)，
∴直线BC的斜率kBC＝＝，
∴直线BC的方程为y＋1＝(x－5)，即x－2y－7＝0.
15．已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
(1)解 依据题意作图，如图所示，
由椭圆方程E：＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴＝(a,1)，＝(a，－1)，
∴·＝a2－1＝8，∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设P(6，y0)，
则直线AP的方程为y＝(x＋3)，
即y＝(x＋3)，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得
整理得(y＋9)x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得x＝－3或x＝，
将x＝代入直线y＝(x＋3)可得
y＝，
∴点C的坐标为.
同理可得点D的坐标为，
∴直线CD的方程为
y－＝，
整理可得y＋＝
＝，
整理得y＝x＋＝，
故直线CD过定点.
