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再练一课(范围：§2.1～2.2.2)
第二章 平面解析几何
一、单项选择题
1.点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为
A.2
B.1
C.
D.5
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√
解析 根据对称性知道点N(－1，2)，
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3.在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是
A.3x－y－1＝0
B.x＋2＝0
C.3x＋2y－6＝0
D.2x－y＋1＝0
√
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解析 直线的倾斜角为钝角，则斜率k<0，只有选项C符合.
4.经过两点(3,9)，(－1,1)的直线在x轴上的截距为
√
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则该直线的方程为y＝2(x－3)＋9＝2x＋3，
5.已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则
A.b>0，d<0，a
B.b>0，d<0，a>c
C.b<0，d>0，a>c
D.b<0，d>0，a√
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故c0，故选C.
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6.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为
A.2x－y＋4＝0
B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0
D.x－2y＋4＝0
√
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解析 由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，
则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，
二、多项选择题
7.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标可能是
A.(－3,1) B.(2,7) C.(7,1) D.(2，－3)
√
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√
解析 ∵AB∥x轴，∴设B(a，1)，
又|AB|＝5＝|a－2|，∴a＝－3或7.
8.下列说法正确的有
A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B.任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C.过点(2，－1)，斜率为
的点斜式方程为y＋1＝
(x－2)
D.直线的斜率越大，倾斜角越大
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√
在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项D错误.
解析 对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，
则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确；
对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，
如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；
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三、填空题
9.若倾斜角为
的直线过点(1,3)和(2，m)，则m＝___.
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10.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_____________.
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2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1，3)，
即2x－y＋1＝0.
11.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的一般式方程是_______________________.
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x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析 当y轴上的截距b＝0时，设直线方程为y＝kx，
即x＋2y－9＝0.
12.已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则
的最大值
是______.
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又点P(x，y)在线段AB上，由图知，
四、解答题
13.已知直线y＝
＋5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，且直线l分别满足下列条件：(结果化成一般式)
(1)若过点P(3，－4)，求直线l的方程；
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故所求直线l的倾斜角为30°，
若所求直线过点P(3，－4)，
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(2)若在x轴上截距为－2，求直线l的方程；
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解 若所求直线在x轴截距为－2，
则直线l过点(－2,0)，
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(3)若在y轴上截距为3，求直线l的方程.
14.已知直线m的方向向量v＝(1,2).
(1)求过点A(0，－3)且倾斜角是直线m倾斜角2倍的直线l1的斜截式方程；
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解 设直线m的倾斜角为α，则由题意可得tan
α＝2，
因为直线l1过点A(0，－3)，
(2)求过点B(2,3)且以直线m的方向向量v＝(1,2)为法向量的直线l2的一般式方程.
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解 因为直线l2的法向量为v＝(1,2)，
因为直线l2过点B(2,3)，
所以直线l2的一般式方程为x＋2y－8＝0.
15.已知直线l过定点P(－2,1)，且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点.
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(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；
即x－2y＋4＝0.
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当且仅当a＝－3，b＝3时取等号，
所以直线l的方程为x－y＋3＝0.
(2)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程.
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解 因为A，P，B三点共线，
＝(－2－a,1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5
本课结束再练一课(范围：§2.1～2.2.2)
一、单项选择题
1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A．2
B．1
C.
D．5
答案 C
解析 根据对称性知道点N(－1,2)，由两点间距离公式得到|ON|＝＝.
2．经过A(0,2)，B(－，3)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 D
解析 由题意＝，解得k＝－.
3．在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是( )
A．3x－y－1＝0
B．x＋2＝0
C．3x＋2y－6＝0
D．2x－y＋1＝0
答案 C
解析 直线的倾斜角为钝角，则斜率k<0，只有选项C符合．
4．经过两点(3,9)，(－1,1)的直线在x轴上的截距为( )
A．－
B．－
C.
D．2
答案 A
解析 经过两点(3,9)、(－1,1)的直线的斜率为k＝＝2，
则该直线的方程为y＝2(x－3)＋9＝2x＋3，
令y＝0，则x＝－，
即该直线在x轴上的截距为－.
5.已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b>0，d<0，aB．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c
D．b<0，d>0，a答案 C
解析 l1：x＋ay＋b＝0可化为y＝－x－，
l2：x＋cy＋d＝0可化为y＝－x－，
由图知
故c0，故选C.
6．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为( )
A．2x－y＋4＝0
B．x＋2y＋4＝0
C．2x＋y－4＝0
D．x－2y＋4＝0
答案 D
解析 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0.
二、多项选择题
7．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标可能是( )
A．(－3,1)
B．(2,7)
C．(7,1)
D．(2，－3)
答案 AC
解析 ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，
又|AB|＝5＝|a－2|，∴a＝－3或7.
8．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C．过点(2，－1)，斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．直线的斜率越大，倾斜角越大
答案 AC
解析 对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确；对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；对于C，由点斜式方程知，过点(2，－1)，斜率为
－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以选项C正确；对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在内，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项D错误．
三、填空题
9．若倾斜角为的直线过点(1,3)和(2，m)，则m＝________.
答案 2
解析 因为直线的倾斜角为，故斜率为tan
＝－1.故＝－1，解得m＝2.
10．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程，可得＝，
即2x－y＋1＝0.
11．过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的一般式方程是________．
答案 x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析 当y轴上的截距b＝0时，设直线方程为y＝kx，将点(5,2)代入方程，得y＝x，即2x－5y＝0.当b≠0时，设直线的方程为＋＝1，将点(5,2)代入方程，解得b＝，即直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.
12．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是________．
答案 －
解析 的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，
又点P(x，y)在线段AB上，由图知，
当点P与点B重合时，有最大值，
又kBQ＝＝－，
因此的最大值为－.
四、解答题
13．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，且直线l分别满足下列条件：(结果化成一般式)
(1)若过点P(3，－4)，求直线l的方程；
(2)若在x轴上截距为－2，求直线l的方程；
(3)若在y轴上截距为3，求直线l的方程．
解 由题意直线y＝－x＋5的倾斜角为150°，
又直线y＝－x＋5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，
故所求直线l的倾斜角为30°，
其斜率为k1＝tan
30°＝.
(1)若所求直线过点P(3，－4)，
由点斜式方程得y＋4＝(x－3)，
整理得x－3y－3－12＝0.
(2)若所求直线在x轴截距为－2，
则直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得y－0＝(x＋2)，
整理得x－3y＋2＝0.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3，
整理得x－3y＋9＝0.
14．已知直线m的方向向量v＝(1,2)．
(1)求过点A(0，－3)且倾斜角是直线m倾斜角2倍的直线l1的斜截式方程；
(2)求过点B(2,3)且以直线m的方向向量v＝(1,2)为法向量的直线l2的一般式方程．
解 (1)设直线m的倾斜角为α，则由题意可得tan
α＝2，
设直线l1的斜率为k，则k＝tan
2α＝＝＝－，
因为直线l1过点A(0，－3)，
所以直线l1的斜截式方程为y＝－x－3.
(2)因为直线l2的法向量为v＝(1,2)，
所以直线l2的斜率为－，
因为直线l2过点B(2,3)，
所以直线l2为y－3＝－(x－2)，即x＋2y－8＝0，
所以直线l2的一般式方程为x＋2y－8＝0.
15．已知直线l过定点P(－2,1)，且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．
解 设l：＋＝1，
因为过点P(－2,1)，所以－＋＝1.
(1)S△AOB＝(－ab)＝4，
由解得
所以直线l的方程为－＋＝1，
即x－2y＋4＝0.
(2)因为A，P，B三点共线，
所以|PA|·|PB|＝·
＝(－2－a,1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5
＝(－2a＋b)－5
＝－－＋4＋1－5
＝－－≥4，
当且仅当a＝－3，b＝3时取等号，
所以直线l的方程为x－y＋3＝0.