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第二章 平面解析几何
章末复习课
内容索引
一、直线的方程
二、直线与圆
三、圆锥曲线的性质
四、直线与圆锥曲线的关系
知识网络
随堂演练
知识网络
一、直线的方程
1.直线有五种方程：重点是点斜式、斜截式和一般式方程，直线是平面解析几何的核心内容，求直线的方程一般用公式法和待定系数法，注意五种方程的各自特点和优缺点，在利用待定系数法求直线方程时，选择哪种方程，注意讨论斜率是否存在，截距是否存在，是否为0等特殊情况，以免漏解.
2.掌握直线方程的五种形式，会求直线的方程，重点提升数学运算和逻辑推理素养.
例1 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R).
(1)若直线l1与直线l2平行，求实数a的值；
解 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R).
(2)若直线l1与直线l2垂直，求直线l1与l2的交点坐标.
解得a＝3，
两直线即直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：3x－y＋4＝0，
反思感悟 求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方法，常用以下两种方法求解
(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果.
(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程.
跟踪训练1 已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点；
证明 直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以直线l恒过定点(－1，－2).
(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程.
解 设定点为P(－1，－2)，
当m变化，PQ⊥直线l时，
点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
此时直线l过点P(－1，－2)且与PQ垂直，
故直线l的方程为2x＋3y＋8＝0.
二、直线与圆
1.直线与圆在考试中是常考、必考题型，主要考查直线与圆的三种位置关系以及直线与圆相切求方程、直线与圆相交求弦长等问题.
2.掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法：代数法和几何法，会求直线与圆相交的弦长，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2 已知直线l：kx－y－4k＋3＝0(k∈R)，圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程.
解 直线l：kx－y－4k＋3＝0可化为(x－4)k－y＋3＝0，
所以直线l过定点M(4,3).
由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，
因为直线MC的斜率为－1，
所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x－y－1＝0.
反思感悟 直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法，而不用代数法.因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单.
跟踪训练2 已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为________.
解析 由圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相减可得，
公共弦的方程为x－2y＋4＝0，
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质是圆锥曲线的核心内容.主要考查由性质求方程，由基本量求离心率、渐近线等，其中离心率是重点，也是难点内容.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质并会简单应用，提升逻辑推理与数学运算素养.
√
所以∠PF1F2为锐角，
因为△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形，
但∠PF1F2<∠PF2F1，故∠PF2F1＝120°，
所以|PF2|＝|F2F1|＝2c，
反思感悟 常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围.
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围.
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.
√
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
不妨取其中一条渐近线y＝bx，即bx－y＝0，
四、直线与圆锥曲线的关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系是常考查题型，也是易错题型，特别是直线与双曲线，直线与抛物线相交问题，直线与圆锥曲线相交，求相交弦的弦长是重点内容，圆锥曲线的综合应用是考查的难点.
2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会求相交弦的弦长并能简单的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
例4 已知椭圆C：
(1)求C的方程；
(2)设直线l的倾斜角为
，且与C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.
则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0，
解得－8设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则△AOB的面积
反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.
跟踪训练4 (1)点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_______________.
2x－y－15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0，
即直线方程为2x－y－15＝0.
解析 ∵y2＝4x，
∴焦点F(1,0)，
以F为圆心的圆与抛物线准线相切，
由抛物线定义及对称性知AB为抛物线通径.
∴|AB|＝2p＝4.
(2)已知以抛物线E：y2＝4x的焦点为圆心，与E的准线相切的圆交E于A，B两点，则|AB|等于
A.2
B.4
C.2
D.6
√
随堂演练
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
1.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若
＝1，则点C的轨迹为
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
设点P的坐标为(x0，y0)，
所以△PF1F2的面积为
1
2
3
4
3.已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于
A.2
B.3
C.6
D.9
√
1
2
3
4
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
4.已知椭圆C：
＝1，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P，Q两点(点P在第二象限)，若Q关于x轴对称的点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，则直线l的方程为____________.
y＝－x＋1
解析 由条件可知△FQQ′是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角是135°，
所以直线l的斜率是tan
135°＝－1，且过点F(1,0)，
得到直线l的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋1.
1
2
3
4
本课结束章末复习课
一、直线的方程
1．直线有五种方程：重点是点斜式、斜截式和一般式方程，直线是平面解析几何的核心内容，求直线的方程一般用公式法和待定系数法，注意五种方程的各自特点和优缺点，在利用待定系数法求直线方程时，选择哪种方程，注意讨论斜率是否存在，截距是否存在，是否为0等特殊情况，以免漏解．
2．掌握直线方程的五种形式，会求直线的方程，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
例1 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R)．
(1)若直线l1与直线l2平行，求实数a的值；
(2)若直线l1与直线l2垂直，求直线l1与l2的交点坐标．
解 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R)．
(1)若直线l1与直线l2平行，则有＝≠，
解得a＝－.
(2)若直线l1与直线l2垂直，则有－·a＝－1，
解得a＝3，
两直线即直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：3x－y＋4＝0，
由解得
∴直线l1与l2的交点坐标为.
反思感悟 求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方法，常用以下两种方法求解
(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果．
(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．
跟踪训练1 已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程．
(1)证明 直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以解得
所以直线l恒过定点(－1，－2)．
(2)解 设定点为P(－1，－2)，
当m变化，PQ⊥直线l时，
点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即＝2，
此时直线l过点P(－1，－2)且与PQ垂直，
所以－·＝－1，解得m＝.
故直线l的方程为2x＋3y＋8＝0.
二、直线与圆
1．直线与圆在考试中是常考、必考题型，主要考查直线与圆的三种位置关系以及直线与圆相切求方程、直线与圆相交求弦长等问题．
2．掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法：代数法和几何法，会求直线与圆相交的弦长，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 已知直线l：kx－y－4k＋3＝0(k∈R)，圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．
解 直线l：kx－y－4k＋3＝0可化为(x－4)k－y＋3＝0，
可得?
所以直线l过定点M(4,3)．
由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，
因为直线MC的斜率为－1，
所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x－y－1＝0.
反思感悟 直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法．一般常用几何法，而不用代数法．因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．
跟踪训练2 已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为________．
答案 2
解析 由圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相减可得，
公共弦的方程为x－2y＋4＝0，
又圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为5，
可得C1到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，
则|AB|＝2＝2.
三、圆锥曲线的性质
1．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质是圆锥曲线的核心内容．主要考查由性质求方程，由基本量求离心率、渐近线等，其中离心率是重点，也是难点内容．
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质并会简单应用，提升逻辑推理与数学运算素养．
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)在第一象限上的一点P与椭圆的左、右焦点F1，F2恰好构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为点P是椭圆＋＝1(a>b>0)上位于第一象限的点，|PF1|>|PF2|，
所以∠PF1F2为锐角，
因为△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形，
但∠PF1F2<∠PF2F1，故∠PF2F1＝120°，
所以|PF2|＝|F2F1|＝2c，
由余弦定理可得
|PF1|＝
＝2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，
故＝＝.
反思感悟 常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围．
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围．
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练3 已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1
B．x2－＝1
C．x2－＝1
D．x2－＝1
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx，
不妨取其中一条渐近线y＝bx，即bx－y＝0，
所以＝，解得b2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
四、直线与圆锥曲线的关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系是常考查题型，也是易错题型，特别是直线与双曲线，直线与抛物线相交问题，直线与圆锥曲线相交，求相交弦的弦长是重点内容，圆锥曲线的综合应用是考查的难点．
2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会求相交弦的弦长并能简单的应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且焦距为8.
(1)求C的方程；
(2)设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
解 (1)依题意可知，
解得
故C的方程为＋＝1.
(2)依题意可设直线l的方程为y＝x＋m，
联立
整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0，
则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0，
解得－8设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AB|＝·
＝2
＝，
原点到直线l的距离d＝＝，
则△AOB的面积
S＝d·|AB|＝×·＝，
当且仅当m2＝32，即m＝±4时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2.
反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．
跟踪训练4 (1)点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为________．
答案 2x－y－15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
所以＝＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0，
即直线方程为2x－y－15＝0.
(2)已知以抛物线E：y2＝4x的焦点为圆心，与E的准线相切的圆交E于A，B两点，则|AB|等于( )
A．2
B．4
C．2
D．6
答案 B
解析 ∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)，
以F为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知AB为抛物线通径．
∴|AB|＝2p＝4.
1．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则点C的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，
所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
2．设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.
B．3
C.
D．2
答案 B
解析 方法一 由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.
方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
且|F1F2|＝2＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则解得|y0|＝.
所以△PF1F2的面积为
|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.
3．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2
B．3
C．6
D．9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.
4．已知椭圆C：＋＝1，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P，Q两点(点P在第二象限)，若Q关于x轴对称的点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，则直线l的方程为________．
答案 y＝－x＋1
解析 由条件可知△FQQ′是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角是135°，
所以直线l的斜率是tan
135°＝－1，且过点F(1,0)，
得到直线l的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋1.(共60张PPT)
第二章 平面解析几何
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1.已知A(4,8)，B(2,4)，C(3，y)三点共线，则y的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
√
解析 由于A(4,8)，B(2,4)，C(3，y)三点共线，
解得y＝6.
2.已知圆的方程是x2＋y2－2x－1＝0，则它的半径是
A.1
B.
C.2
D.4
解析 圆的方程可化简为(x－1)2＋y2＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
3.直线l1：ax－4y＋2＝0与直线l2：x－ay－1＝0平行，则a的值为
A.±2
B.2
C.－2
D.－1
√
解析 a＝0时，显然两直线不平行，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解得a＝2.
4.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为
A.(－19，－62)
B.(19，－62)
C.(－19,62)
D.(19,62)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解析 ∵H为△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，BH⊥AC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
∴直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5，
5.直线y＝2x＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是
A.相切
B.相离
C.相交
D.随a的变化而变化
√
解析 ∵直线y＝2x＋1过定点(0,1)，
圆x2＋y2－2x－3＝0，点(0,1)在圆内，
∴直线y＝2x＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0相交.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，所以2a＝8，a＝4，
1
2
3
4
5
6
7
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7.设双曲线C的方程为
＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为
√
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解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
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∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
8.设双曲线C：
P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于
A.1
B.2
C.4
D.8
√
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∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，
∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2.
不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a.
∵△PF1F2的面积为4，
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即|F1P||F2P|＝8.
∴(|F1P|－|F2P|)2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|，
即4a2＝20a2－2×8，解得a＝1.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的是
B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝2
C.方程(x2－1)2＋(y2－4)2＝0表示四个点
√
√
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即x－y－2＝0(x≠2)，表示直线x－y－2＝0去掉一点(2,0)，故A错误；
对B，根据题意可知，满足要求的轨迹方程为y＝±2，故B错误；
对C，∵(x2－1)2＋(y2－4)2＝0，
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即51
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10.已知动圆Р与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是
B.轨迹方程C的焦距为3
C.轨迹方程C的长轴长为10
D.轨迹方程C的离心率为
√
√
√
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解析 圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3,0)，半径r2＝9，
设点P(x，y)，动圆的半径为r(r>0)，
则由题意得|PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，
所以|PC1|＋|PC2|＝10，
即动点P到两个定点C1(－3,0)，C2(3,0)的距离之和为10.
又因为10＝|PC1|＋|PC2|>|C1C2|＝6，
所以点P在以两定点C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，10为长轴长的椭圆上.
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由a＝5，c＝3，则b2＝a2－c2＝16，
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因此椭圆C的焦距为2c＝4，故正确；
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12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于顶点的两个动点A，B，以AB为直径的圆过原点，则下列说法正确的是
A.直线AB过定点(0,1)
B.△AOB的重心的轨迹为抛物线
C.△AOB的面积的最小值为1
D.若OM⊥AB于点M，则M点的轨迹为椭圆
√
√
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解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m，
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所以x1x2＝－m，x1＋x2＝k，
故直线AB：y＝kx＋1，过定点P(0,1)，A项正确；
设△AOB的重心为G(x0，y0)，
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因此G点的轨迹为抛物线，B项正确；
当且仅当k＝0时等号成立，C项正确；
若OM⊥AB于点M，则OM⊥MP，
故M点的轨迹为圆，D项错误.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则∠A的平分线所在直线的一般式方程是_______________.
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7x＋y－29＝0
即7x＋y－29＝0.
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综上，m∈[－1,3].
易知直线l：3x－my－m＝0过定点P(0，－1)，
而线段AB上点的横坐标x满足－1≤x≤2，
14.已知两点A(－1,2)，B(2,1)，直线l：3x－my－m＝0与线段AB相交，则m的取值范围是________.
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[－1,3]
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16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S，圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.
若直线l截圆L，圆S，圆Q所得弦长均等于d，则d＝_____.
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解析 由题意，得圆L与圆S关于原点对称，
设S(a,0)(a>0)，
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即S(4,0)，∴L(－4,0).
设方程为y＝kx(k≠0)，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，
(1)求反射光线所在的直线方程；
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整理得7x－3y＋11＝0.
解 设A(－4,1)关于直线l1：x－y＋3＝0的对称点为D(x1，y1)，
∴D(－2，－1)，依题意知D在反射光线上.
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(2)求入射光线l所在的直线方程.
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∴C(3,4)，依题意知C在入射光线上.
又A(－4,1)也在入射光线上，
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解 设B(1,6)关于直线l1：x－y＋3＝0的对称点为C(x0，y0)，
整理得3x－7y＋19＝0.
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18.(12分)已知圆E经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个：
①过点C(2,0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切.
(1)求圆E的方程；
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解 选①，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
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则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
选②，直线mx－y－m＝0恒过(1,0)，
而圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，
所以mx－y－m＝0恒过圆心，
所以圆心为(1,0)，可设圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝r2，
则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.
由圆E经过点A(0,0)，得r2＝1，
则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.
选③，设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
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(2)过点P(3,0)的直线l与圆E相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
解 因为M为AB的中点，E为圆心，
根据垂径定理，得EM⊥AB，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为(x－2)2＋y2＝1.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
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由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
∴故△ABF2的周长为8.
19.(12分)椭圆
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点.
(1)求△ABF2的周长；
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(2)若l的倾斜角为
，求弦长AB.
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解 由(1)可知F1(－1,0)，
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则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1.
整理得7y2－6y－9＝0，
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20.(12分)如果实数x，y满足(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)
的最大值与最小值；
解 实数x，y满足(x－3)2＋(y－3)2＝6，
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(2)x2＋y2的最大值和最小值.
解 由于x2＋y2表示的是原点(0,0)到圆上的任意点的距离的平方，
最大距离为圆心(3,3)到原点的距离与半径的和，
最小距离为圆心(3,3)到原点的距离与半径的差，
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21.(12分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点.
(1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
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解 抛物线为y2＝4x，
所以焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－1，
则直线AB的方程为y＝－x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x1＋x2＝6，
又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2，
所以|AB|＝8.
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(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点.
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证明 设直线AB的方程为x＝my＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝16m2＋16n>0，
所以y1y2＝－4n，
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即x1x2＋y1y2＝0，
所以n2－4n＝0，解得n＝0，或n＝4，
当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；
当n＝4时，直线AB过点(4,0)，
故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4,0).
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22.(12分)已知椭圆
＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.
(1)求椭圆的方程；
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解 由已知可得b＝3，记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
(2)已知点C满足
，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
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解 因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在.
设直线AB的方程为y＝kx－3.
消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
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因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
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即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
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本课结束章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知A(4,8)，B(2,4)，C(3，y)三点共线，则y的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 C
解析 由于A(4,8)，B(2,4)，C(3，y)三点共线，
则kAB＝kBC，即＝，
解得y＝6.
2．已知圆的方程是x2＋y2－2x－1＝0，则它的半径是( )
A．1
B.
C．2
D．4
答案 B
解析 圆的方程可化简为(x－1)2＋y2＝2，
则它的半径是.
3．直线l1：ax－4y＋2＝0与直线l2：x－ay－1＝0平行，则a的值为( )
A．±2
B．2
C．－2
D．－1
答案 B
解析 a＝0时，显然两直线不平行，
a≠0时，由两直线平行得＝≠，
解得a＝2.
4．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为( )
A．(－19，－62)
B．(19，－62)
C．(－19,62)
D．(19,62)
答案 A
解析 ∵H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，
又kBC＝＝－，kBH＝＝－，
∴直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5，
设A(x，y)，则
解得∴A(－19，－62)．
5．直线y＝2x＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．相交
D．随a的变化而变化
答案 C
解析 ∵直线y＝2x＋1过定点(0,1)，
圆x2＋y2－2x－3＝0，点(0,1)在圆内，
∴直线y＝2x＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0相交．
6．设P(x，y)，若＋＝8，则点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 由题意可知，点P(x，y)到点F1(0,2)的距离与到点F2(0，－2)的距离之和为定值8，并且8>4＝|F1F2|，
所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，所以2a＝8，a＝4，
因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－12＝4，
所以点P的轨迹方程为＋＝1.
7．设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1
B．x2－＝1
C.－y2＝1
D．x2－y2＝1
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
∴直线l的斜率kl＝＝－b＝－，解得a＝1.
又∵·(－b)＝－1，∴b＝a＝1，
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
8．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 A
解析 由题意得解得
∴|F1F2|＝2c＝2a.
∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，
∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2.
不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a.
∵△PF1F2的面积为4，
∴|F1P||F2P|＝4，
即|F1P||F2P|＝8.
∴(|F1P|－|F2P|)2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|，
即4a2＝20a2－2×8，解得a＝1.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．方程＝1表示一条直线
B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝2
C．方程(x2－1)2＋(y2－4)2＝0表示四个点
D．“5答案 CD
解析 对A，∵＝1，
即x－y－2＝0(x≠2)，表示直线x－y－2＝0去掉一点(2,0)，故A错误；
对B，根据题意可知，满足要求的轨迹方程为y＝±2，故B错误；
对C，∵(x2－1)2＋(y2－4)2＝0，
即即表示(1,2)，(1，－2)，(－1,2)，(－1，－2)四个点，故C正确；
对D，若＋＝1表示椭圆，则
即5∴“510．已知动圆Р与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是( )
A．轨迹方程C为＋＝1
B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴长为10
D．轨迹方程C的离心率为
答案 ACD
解析 圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3,0)，半径r2＝9，
设点P(x，y)，动圆的半径为r(r>0)，则由题意得|PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，
所以|PC1|＋|PC2|＝10，即动点P到两个定点C1(－3,0)，C2(3,0)的距离之和为10.
又因为10＝|PC1|＋|PC2|>|C1C2|＝6，
所以点P在以两定点C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，10为长轴长的椭圆上．
所以设此椭圆的方程为C：＋＝1，
由a＝5，c＝3，则b2＝a2－c2＝16，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为＋＝1.
所以轨迹方程C的焦距为6，轨迹方程C的长轴长为10，轨迹方程C的离心率为.
11．已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是( )
A．C的焦距为4
B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为y＝±x
D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 A项，由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因此椭圆C的焦距为2c＝4，故正确；
B项，离心率为＝＝，故不正确；
C项，渐近线方程为y＝±x，故正确；
D项，将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，故不正确．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于顶点的两个动点A，B，以AB为直径的圆过原点，则下列说法正确的是( )
A．直线AB过定点(0,1)
B．△AOB的重心的轨迹为抛物线
C．△AOB的面积的最小值为1
D．若OM⊥AB于点M，则M点的轨迹为椭圆
答案 ABC
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m，
联立得x2－kx－m＝0，
所以x1x2＝－m，x1＋x2＝k，
由题知OA⊥OB，则·＝x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋xx＝0，所以x1x2＝－1，即m＝1，
故直线AB：y＝kx＋1，过定点P(0,1)，A项正确；
设△AOB的重心为G(x0，y0)，
则即
所以y0＝3x＋，
因此G点的轨迹为抛物线，B项正确；
|AB|＝＝·，
O到AB的距离d＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝≥1，
当且仅当k＝0时等号成立，C项正确；
若OM⊥AB于点M，则OM⊥MP，
设OP的中点为Q，则|MQ|＝|OP|＝，
故M点的轨迹为圆，D项错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则∠A的平分线所在直线的一般式方程是____________．
答案 7x＋y－29＝0
解析 向量＝(3,4)，＝(－8,6)，
故∠A的平分线的一个方向向量为＋＝＋＝，
故∠A的平分线所在直线的方程可设为x＋y＋m＝0，
将A(4,1)代入方程得m＝－，
故直线方程为x＋y－＝0，即7x＋y－29＝0.
14．已知两点A(－1,2)，B(2,1)，直线l：3x－my－m＝0与线段AB相交，则m的取值范围是________．
答案 [－1,3]
解析 m＝0时，直线l与线段AB相交，m≠0时，直线l的斜率为k＝，
易知直线l：3x－my－m＝0过定点P(0，－1)，
又kPA＝＝－3，kPB＝＝1，
而线段AB上点的横坐标x满足－1≤x≤2，
∴≤－3或≥1，解得－1≤m<0或0综上，m∈[－1,3]．
15．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
答案
解析 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则b＝a.
∴双曲线的离心率e＝＝＝.
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S，圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L，圆S，圆Q所得弦长均等于d，则d＝________.
答案
解析 由题意，得圆L与圆S关于原点对称，设S(a,0)(a>0)，则＝2＋3，a＝4，
即S(4,0)，∴L(－4,0)．
设方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为d1＝，d2＝，d3＝，
则d2＝4(4－d)＝4(4－d)＝4(9－d)，
即有4－2＝4－2
＝9－2，解得k2＝，
则d2＝4＝，即d＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求入射光线l所在的直线方程．
解 (1)设A(－4,1)关于直线l1：x－y＋3＝0的对称点为D(x1，y1)，
则解得
∴D(－2，－1)，依题意知D在反射光线上．
又B(1,6)也在反射光线上，∴kBD＝＝，
故所求方程为y－6＝(x－1)，
整理得7x－3y＋11＝0.
(2)设B(1,6)关于直线l1：x－y＋3＝0的对称点为C(x0，y0)，
则
解得
∴C(3,4)，依题意知C在入射光线上．
又A(－4,1)也在入射光线上，
∴kAC＝＝，
故所求方程为y－4＝(x－3)，
整理得3x－7y＋19＝0.
18．(12分)已知圆E经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个：
①过点C(2,0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切．
(1)求圆E的方程；
(2)过点P(3,0)的直线l与圆E相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
解 (1)选①，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
选②，直线mx－y－m＝0恒过(1,0)，
而圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，
所以mx－y－m＝0恒过圆心，
所以圆心为(1,0)，可设圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝r2，
由圆E经过点A(0,0)，得r2＝1，
则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.
选③，设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得
解得
则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)因为M为AB的中点，E为圆心，
根据垂径定理，得EM⊥AB，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为(x－2)2＋y2＝1.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得x＝，
所以M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
19．(12分)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为，求弦长AB.
解 (1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
∴故△ABF2的周长为8.
(2)由(1)可知F1(－1,0)，
∵AB的倾斜角为，
则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1.
联立方程
整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系可知y1＋y2＝，y1·y2＝－，
则由弦长公式得|AB|＝·＝·＝，
故弦长|AB|＝.
20．(12分)如果实数x，y满足(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)实数x，y满足(x－3)2＋(y－3)2＝6，
则设＝k，整理得y＝kx，
所以圆心(3,3)到直线的距离d＝≤，
整理得k2－6k＋1≤0，即3－2≤k≤3＋2，
所以的最大值为3＋2，最小值为3－2.
(2)由于x2＋y2表示的是原点(0,0)到圆上的任意点的距离的平方，
最大距离为圆心(3,3)到原点的距离与半径的和，即＋＝3＋，
故最大值为24＋12，
最小距离为圆心(3,3)到原点的距离与半径的差，
即－＝3－，
故最小值为24－12.
21．(12分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
(1)解 抛物线为y2＝4x，
所以焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－1，
则直线AB的方程为y＝－x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－6x＋1＝0，
可得x1＋x2＝6，
又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2，
所以|AB|＝8.
(2)证明 设直线AB的方程为x＝my＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4n＝0，
Δ＝16m2＋16n>0，
所以y1y2＝－4n，
x1x2＝·＝＝n2，
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
所以n2－4n＝0，解得n＝0，或n＝4，
当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；
当n＝4时，直线AB过点(4,0)，
故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4,0)．
22．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
解 (1)由已知可得b＝3，记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立方程组
消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为.
由3＝，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3，
即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
