习题课 对称问题
学习目标 1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题．
导语
同学们，生活中，我们身边有很多和对称有关的事物，比如书桌、水杯、火车、楼房等，包括我们身体的某些器官也是对称的，眼睛的对称，使我们的视觉更加准确、全面，耳朵的对称，使声音有较强的立体感，对称不仅是自然界中的一种生物现象，在数学领域也发挥着巨大的作用，今天我们就直观感受一下直线的对称美．
一、几种常见的对称问题
问题1 写出点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的中点坐标．
提示 中点坐标为.
例1 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即
解得
∴点P′的坐标为(－2,7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则
解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
则有解得
R
.
(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
又点P关于直线l的对称点为R，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
解 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立解得
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2
B．6
C．3
D．2
答案 A
解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.
三、利用对称解决最值问题
例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．
解 (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，
则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为.
故点P的坐标为.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，
即AC′与l的交点坐标为.
故点Q的坐标为.
反思感悟 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案 A
解析 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，
|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10.
1．知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题．
(2)反射问题．
(3)利用对称解决有关最值问题．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆．
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是( )
A．(－1，－3)
B．(17，－9)
C．(－1,3)
D．(－17,9)
答案 A
解析 设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
则由
解得
所以该点的坐标为(－1，－3)．
2．直线x－2y＋1＝0
关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 在直线
x－2y＋1＝0上任取两点，如：(1,1)，，
这两点关于直线x＝1对称的点分别为
(1,1)，，
两对称点所在直线的方程为
y－1＝－(x－1)，
即
x＋2y－3＝0.
3．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则( )
A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3
D．a＝5，b＝2
答案 D
解析 由解得
4．一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为__________．
答案 －2
解析 如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，
所以点A′在直线MB上．
由对称性可知A′(3，－2)，
所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.
课时对点练
1．已知点A(x,1)关于点(3，y)的对称点为(2,3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4
B.
C.
D．2
答案 D
解析 根据中点坐标公式得解得
所以点P的坐标为(4,2)，则点P(x，y)到原点的距离
d＝＝2.
2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为( )
A．(6，－3)
B．(3，－6)
C．(－6，－3)
D．(－6,3)
答案 C
解析 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
则解得
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)．
3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0
B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0
D．3x－2y－12＝0
答案 C
解析 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴＝，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6
或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或
2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
4．直线m：2x＋y－4＝0关于直线n：3x＋4y－1＝0对称直线l的方程是( )
A．2x＋11y＋16＝0
B．2x－11y＋16＝0
C．11x－2y＋16＝0
D．11x＋2y＋16＝0
答案 A
解析 方法一 设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0，4－2x0)，且P，Q两点关于直线n：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0.
方法二 由直线m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)为直线m上的点，设A，B关于直线n的对称点为A′(a，b)，B′(a′，b′)，则有
解得即A′.
解得即B′.
∴kl＝＝－，
∴所求直线l的方程为y＋＝－，
即2x＋11y＋16＝0.
5．过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＝0
D．x＋2y－4＝0
答案 C
解析 过点(2,1)与点(1,3)的直线的斜率为＝－2，
故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，故所求直线的斜率为，
故其方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
6．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0
B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0
D．2x－3y＋5＝0
答案 B
解析 设A(a，b)，则
解得所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又－＝－＝，
所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
7．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为________．
答案 (1,0)
解析 如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，
则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为＝，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0)．
8．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．
答案 x－y＋1＝0
解析 线段PQ的垂直平分线就是直线l，
则kl·kPQ＝kl·＝－1，得kl＝1，
又PQ的中点坐标为(2,3)，
∴直线l的方程为y－3＝x－2，
即x－y＋1＝0.
9．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离．
解 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，
则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．
由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离
d＝＝，
即点P到直线l3的距离为.
10．平行四边形的两邻边的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程．
解 建立如图所示的直角坐标系，
根据
得顶点A.
因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，
所以顶点C的坐标为.
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，
由点斜式，得y－＝－，即x＋y－13＝0.
因为kAD＝3，所以kBC＝3，
由点斜式，得y－＝3，即3x－y－16＝0.
所以另外两边的方程分别为
x＋y－13＝0,3x－y－16＝0.
11．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于( )
A．－1
B．1
C．2
D．0
答案 A
解析 ∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为( )
A．2
B．5
C．4
D．8
答案 B
解析 ∵f(x)＝＋
＝＋，
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，
即f(x)＝＋的最小值为5.
13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为( )
A.
B.
C．2
D．10
答案 C
解析 如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
由题意可得解得即C(7,4)，
在直线x＋y＝3上取点P，
由对称性可得|PB|＝|PC|，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为2.
14．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
所以解得
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
15．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取得最小值，则点P的坐标是( )
A．(1，－1)
B．(－1,1)
C.
D．(－2,2)
答案 C
解析 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组，解得所以点P.
16．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得
故所求的点P的坐标为(12,10)．(共63张PPT)
习题课 对称问题
第二章 平面解析几何
学习目标
1.学会点点、点线、线线对称问题.
2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.
导语
同学们，生活中，我们身边有很多和对称有关的事物，比如书桌、水杯、火车、楼房等，包括我们身体的某些器官也是对称的，眼睛的对称，使我们的视觉更加准确、全面，耳朵的对称，使声音有较强的立体感，对称不仅是自然界中的一种生物现象，在数学领域也发挥着巨大的作用，今天我们就直观感受一下直线的对称美.
随堂演练
课时对点练
一、几种常见的对称问题
二、光的反射问题
三、利用对称解决最值问题
内容索引
一、几种常见的对称问题
问题1 写出点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的中点坐标.
例1 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
∴点P′的坐标为(－2,7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
解 在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).
因为点E′，F′在所求直线上，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y).
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
解 因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.
解 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是
√
解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，
三、利用对称解决最值问题
例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
解 如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，
∴a＋b－4＝0，
①
②
∴点B′的坐标为(5，－1).
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大.
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.
解 如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.
反思感悟 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是
A.10
B.11
C.12
D.13
√
解析 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10.
课堂小结
1.知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题.
(2)反射问题.
(3)利用对称解决有关最值问题.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.
随堂演练
1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
A.(－1，－3) B.(17，－9) C.(－1，3) D.(－17，9)
所以该点的坐标为(－1，－3).
√
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2
3
4
解析 设点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
2.直线x－2y＋1＝0
关于直线x＝1对称的直线方程是
A.x＋2y－1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0
D.x＋2y－3＝0
√
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2
3
4
即x＋2y－3＝0.
3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则
A.a＝1，b＝－2
B.a＝2，b＝－1
C.a＝4，b＝3
D.a＝5，b＝2
√
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2
3
4
4.一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为_____.
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3
4
－2
解析 如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，
所以点A′在直线MB上.
由对称性可知A′(3，－2)，
故反射光线所在直线的斜率为－2.
课时对点练
基础巩固
1.已知点A(x,1)关于点(3，y)的对称点为(2,3)，则点P(x，y)到原点的距离是
√
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所以点P的坐标为(4,2)，
2.点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为
A.(6，－3)
B.(3，－6)
C.(－6，－3)
D.(－6，3)
√
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解析 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).
3.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.2x＋3y＋7＝0
B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0
D.3x－2y－12＝0
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解析 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
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化简得|c－1|＝7，解得c＝－6
或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或
2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
4.直线m：2x＋y－4＝0关于直线n：3x＋4y－1＝0对称直线l的方程是
A.2x＋11y＋16＝0
B.2x－11y＋16＝0
C.11x－2y＋16＝0
D.11x＋2y＋16＝0
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解析 方法一 设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0，4－2x0)，且P，Q两点关于直线n：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0.
方法二 由直线m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)为直线m上的点，设A，B关于直线n的对称点为A′(a，b)，B′(a′，b′)，
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即2x＋11y＋16＝0.
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5.过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是
A.2x－y－3＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x－2y＝0
D.x＋2y－4＝0
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故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，
6.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为
A.2x＋3y＋5＝0
B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0
D.2x－3y＋5＝0
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设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
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7.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为________.
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(1，0)
解析 如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，
则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.
即2x－y－2＝0.
令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0).
8.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________.
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x－y＋1＝0
解析 线段PQ的垂直平分线就是直线l，
又PQ的中点坐标为(2，3)，
∴直线l的方程为y－3＝x－2，
即x－y＋1＝0.
9.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.
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解 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，
则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.
由题意知l1与l2关于x轴对称，
故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，
故l3的方程为y＝2x＋3.
10.平行四边形的两邻边的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3，3)，求另外两边的方程.
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解 建立如图所示的直角坐标系，
因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，
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即x＋y－13＝0.
因为kAD＝3，所以kBC＝3，
即3x－y－16＝0.
所以另外两边的方程分别为x＋y－13＝0,3x－y－16＝0.
综合运用
11.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于
A.－1
B.1
C.2
D.0
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解析 ∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，
∴点P(a，b)在直线l上，
∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
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∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4).
要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
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13.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为
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解析 如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
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在直线x＋y＝3上取点P，
由对称性可得|PB|＝|PC|，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
又反射光线经过点N(2，6)，
14.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.
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6x－y－6＝0
拓广探究
15.已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取得最小值，则点P的坐标是
A.(1，－1) B.(－1,1) C.
D.(－2,2)
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解析 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，
16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
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故所求的点P的坐标为(－2,3).
解 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
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故A′(－2，8).因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
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解 A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
故所求的点P的坐标为(12,10).
本课结束
