河南省商周联盟2020-2021学年高二下学期期末联考数学理科试题 Word版含解析

商周联盟2020~2021学年高二期末联考
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：选修2-2，选修2-3，选修4-4，选修4-5．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数false满足false（false为虚数单位），则在复平面内false所对应的点为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．某产品的宣传费用false（单位：万元）与销售额false（单位：万元）的统计数据如表所示：
false
4
5
6
7
7
false
60
80
90
100
120
根据上表可得回归直线方程false，则宣传费用为9万元时，销售额约为（ ）
A．123万元 B．128万元 C．132万元 D．138万元
3．已知false，则对false，false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．在四张卡片上写上甲、乙、丙、丁四位同学的名字，再随机地发给这四位同学，在甲得到写有自己名字的卡片的情况下，其他人得到的都不是写有自己名字的卡片的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．若false，则false（ ）
A．120 B．24 C．-24 D．-120
6．已知复数false，false，则下列结论：①若false，则false；②若false，则false；③false；④false；⑤false正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．false（ ）
A．false B．false C．false D．9
8．false，false，false三人参加单位组织的安全生产知识（闭卷）竞赛，三人向组织人员询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：
①false不是第一名；②false不是第三名；③false是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（ ）
A．false、false、false B．false、false、false C．false、false、false D．false、false、false
9．已知false，若false，false，false ，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
11．从集合false中任取3个元素组成一个集合false，记false中所有元素之和被3除余数为false的概率为false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．定义函数false，其中false表示不超过false的最大整数，例如，false，false，false，当false时，false的值域为false，记集合false中元素的个数为false，数列false的前false项和为false，则false（ ）
A．false B．2 C．false D．false
二、填空题：本题共4小题， 每小题5分，共20分．
13．false______．
14．某校2000名学生的某次数学考试成绩false，则成绩位于区间false的人数大约是______人（注：若false，则false，false，falsefalse）
15．30030能被______个不同正偶数整除．
16．一几何体是由圆柱及其上的半球组合而成，球的半径等于圆柱底面半径，若该组合体的体积为false，当圆柱的半径为______时，该组合体的表面积最小．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
某餐厅为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该餐厅的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
合计
男顾客
48


女顾客

24

合计



（1）完成上述列联表，并判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异？
（2）该餐厅为了进一步提高服务水平，改善顾客的用餐体验，在不满意的顾客中利用分层抽样的方法抽取6人听取他们的意见，并从这6人中抽取3人作为监督员，设false为抽取的3人中男顾客人数，求false的分布列及数学期望．
附：false，false．
false
0.050
0.010
0.001
false
3.841
6.635
10.828
18．（本小题满分12分）
用两种方法证明：false能被49整除．
19．（本小题满分12分）
2021年五--期间，某大型超市举办了一次回馈消费者的有奖促销活动，消费者消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，并获得用相应的奖励（抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种）．抽奖方法及奖励如下：
方案一：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球1个，白球2个，黑球7个）的抽奖盒中，一次摸出3个球，奖励规则为：若摸出1个红球和2个白球，享受免单优惠；若摸出2个白球和1个黑球则打4折；若摸出1个红球2个黑球，则打6折；若摸出1个白球2个黑球则打9折，其余情况不打折．
方案二：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费了1000元，试从数学期望角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
20．（本小题满分12分）
（1）已知false，且false，用分析法证明：false；
（2）已知函数false，证明：false在false上单调递增．
21．（本小题满分12分）
已知函数false（false为常数）．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若函数false恰好有2个零点，求false的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数），以false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线false的极坐标方程为false．
（1）求曲线false的普通方程及直线false的直角坐标方程；
（2）若直线false与曲线false的交点为false，false，与false轴的交点为false，．求false的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知false．
（1）若false，求不等式false的解集；
（2）若对任意false，关于false的不等式false恒成立，求false的取值范围．

商周联盟2020~2021学年高二期末联考·数学试卷（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．D 由题意，得false，所以false．所以在复平面内false对应的点为false．故选D．
2．C 由表格数据知：false，false，由回归直线方程的性质，得false，所以false，故false，所以当false万元时，false万元．故选C．
3．A false
false．故选A．
4．A 设事件false为“甲得到写有自己名字的卡片”，事件false为“其他三人得到的卡片都不是写有自己名字的卡片”，则false，false，故false．故选A．
5．D 令false，则false，所以false，所以false．故选D．
6．A ①错误，例如false，false满足false，但false，false；②错误，例如false，false，满足条件．但二者是虚数，不能比较大小；③错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；④正确；⑤错误，类似于③．故选A．
7．C false，由定积分的几何意义知false表示曲线false（单位圆的上半部分）与直线false，false及坐标轴所围成的图形的面积，所以false．所以false．故选C．
8．B 由题意知若③对，则②也对，不合题意，故③一定错误，则false为第一名，或为第二名，若false为第一名，则①正确，那么②错误，故false为第三名，符合题意；若false为第二名，此时①②同真，或同假，不合题意．故选B．
9．B false，令false，则false，易知false在false上单调递增，在false上单调递减，所以false，所以false，又false的定义域为false，所以false在false，false上单调递减，又false，false，false，false，所以false．故选B．
10．C 根据题意，设false只会划左桨的3人false，false只会划右桨的3人false，false既会划左桨又会划右桨的2人false，据此分3种情况讨论：
①从false中选3人划左桨，划右桨的在（false）中剩下的人中选取，有false种选法，
②从false中选2人划左桨，false中选1人划左桨，划右桨的在（false）中选取，有false种选法，
③从false中选1人划左桨，false中2人划左桨，false中3人划右桨，有false种选法，
则有false种不同的选法．故选C．
11．B 记false为false中被3除余数为false的数所组成的集合，则在false，false，false中各有11个元素，在false中任取3个元素，其和被3除余数为0，在false，false，false各取一个元素，其和被3除余数为0，所以false，同理可得false，false，很明显false，所以false．故选B．
12．D 当false时，false，false，false，所以false的取值为0，所以false，所以false；
当false时．false，若false时，false，故false，若false时，false，false，故false，所以false，所以false；
当false时，false，若false时，false，故false；若false时． false，故false；若false时，false，故false，5，所以false，所以false；
当false时，false，若false时false，故false；若false时，false，故false；若false时，false，故false，5，若false时．false，故false，10，11，所以false．所以false；
以此类推，可以归纳，得false，所以false，所以false，所以falsefalse．故选D．
13．false false
false．
14．43 false，其中false，false，所以false，false，所以falsefalse，所以成绩在false的人数估计约为false人．
15．32 先把30030分解成质因数的形式：false；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为false个．
16．3 法一：设圆柱的半径为false，高为false，则false，即false，所以false，所以该组合体的表面积falsefalse，当且仅当false，即false时等号成立．
法二：设圆柱的半径为false，高为false，则false，即false，所以false，所以该组合体的表面积false，所以falsefalse，令false，得false，易知当false时，false取得最小值．
17．解：（1）

满意
不满意
合计
男顾客
48
12
60
女顾客
36
24
60
合计
84
36
120
所以false，
所以能有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异．
（2）由题意知，抽取的6人中男顾客，女顾客的人数分别为2人，4人，
所以false的取值为0，1，2，
false，false，
false，
所以其分布列为
false
0
1
2
false
false
false
false
所以其数学期望false．
18．证明：方法一：false
false
false
false
因为false为整数，
所以false能被49整除．
方法二：（1）当false时，false，能被49整除．
（2）假设当false，false能被49整除，
那么，当false，false．
因为false能被49整除，false也能被49整除，
所以false能被49整除，即当false时命题成立，
由（1）（2）知，false能被49整除．
19．解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出1个红球，2个白球，
设顾客享受到免单优惠为事件false，则false，
所以两位顾客均享受到免单的概率为false．
（2）若选择方案一：设付款金额为false元，则false可能的取值为0、400、600、900、1000．
false，false，
false，false，
false，
故false的分布列为
false
0
400
600
900
1000
false
false
false
false
false
false
所以false．
若选择方案二：设摸到红球的个数为false，付款金额为false，则false，
由已知可得false，故false，
所以false（元）．
因为false，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
20．证明：（1）因为false，且false，所以false，false，false，
要证false，只需证false即可，
只要证false，即证false，
只要证false，
因为false，false，false，所以false，false，
所以false成立．命题得证．
（2）任取false，false，且false，
因为false，所以false，
由false，得false，所以false，
所以false，所以false，
所以false，
即false．
所以false在false上单调递增．
21．解：（1）函数false的定义域为false，
false，
当false时，由false，得false，由false，得false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增；
当false时，false的两根是false，2．
①当false，即false时，由false，得false或false，由false，得false，所以false在false上单调递减，在false，false上单调递增；
②当false，即false时，false在false上恒成立，所以false在false上单调递增；
③当false，即false时，由false，得false或false，由false，得false，所以false在false上单调递减，在false，false上单调递增；
（2）问题可以转化为关于false的方程false有两个不相等的实数根，
因为false（由false易得），所以false，
令false，则
falsefalse．
令false，则false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，所以当false时，false，
当false时，false，所以false在false上单调递增，在false上单调递减，
所以false，又当false时，false，
所以false，所以false，即false的取值范围为false．
22．解：（1）由false，得false，消去参数，得false，
即曲线false的普通方程为false；
由false，得false，
即false．
又false，false，所以false，
所以直线false的直角坐标方程为false．
（2）因为直线false的方程为false，所以直线false的参数方程为false（false为参数），
将其代入曲线false的方程，得false．
所以false，设false，false两点对应的参数分别为false，false，则
false，false．
所以false
false．
23．解：（1）false时，false，
所以，当false时，不等式变为false，解得false；
当false时，不等式变为false，不等式无解；
当false时，不等式变为false， 解得false．
所以原不等式的解集为false．
（2）因为false，当且仅当false时等号成立，
所以false．
由题意知false，
所以false，或false，
所以false，或false．
所以false的取值范围为false．