新教材2021-2022学年高中人教B版数学必修第四册 第十章　复数 单元测试 Word版含解析

第十章　章末质量检测 　复数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
2.＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
3．设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
4．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
5．已知复数z＝，则其共轭复数的虚部为(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
6．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z(　　)
A．在实轴上 B．在虚轴上
C．在第一象限 D．在第二象限
7．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
9．已知x∈R，复数z1＝1＋xi，z2＝2－i，若为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．2 B．－
C．2或－ D．1
10．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；④若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限，其中正确命题的个数是(　　)
A．1B．2
C．3D．4
11．已知a是实数，是纯虚数，则a等于(　　)
A．－B．－1
C.D．1
12．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则|z·＋|的值为(　　)
A．3B．2
C．2D．4
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知(x＋i)(1－i)＝y(其中x、y∈R)，则x＋y＝________.
14．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
15．若复数ω＝(i为虚数单位)，则ω2＋ω＋1＝________.
16．已知复数z1＝cosx＋2f(x)i，z2＝(sinx＋cosx)＋i(x∈R，i为虚数单位)，在复平面上，设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第二象限．
18．(本小题满分12分)若复数z满足方程：|z|2＋(z＋)i＝1－i(i为虚数单位)，求复数z.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)设虚数z满足|2z＋5|＝|z＋10|.
(1)求|z|的值；
(2)若(1－2i)z在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z.
21．(本小题满分12分)设复数z满足4z＋＝5＋3i，ω＝sinθ＋cosθi(θ∈R)．
(1)求z的值；
(2)设复数z和ω在复平面上对应的点分别是Z和W，求|ZW|的取值范围．
22．(本小题满分12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围．
(2)设u＝，求证：u为纯虚数；
(3)求ω－u2的最小值．
第十章　章末质量检测(二)　复数
1．解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.故选B.
答案：B
2．解析：∵＝＝，故选D.
答案：D
3．解析：因为z＝，所以z＝＝－i，所以|z|＝＝，故选C.
答案：C
4．答案：A
解析：因为＝i，所以，＝i(1－i)＝1＋i，所以，z＝1－i.故选A.
答案：A
5．解析：依题意z＝＝＝＝2－i，故＝2＋i，其虚部为1.故选B.
答案：B
6．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，
化简得x＝0.∴z＝yi，复数z对应的点在虚轴上，故选B.
答案：B
7．解析：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限，故选D.
答案：D
8．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i?R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠2，故p3不正确；
对于p4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B.
答案：B
9．解析：根据复数除法运算，化简
＝＝
＝＋i
因为为纯虚数
所以，解得x＝2
故选A.
答案：A
10．解析：命题①：当z＝i时，显然i2＝－1<0，因此本说法不正确；
命题②：当a＝－1时， (a＋1)i＝0∈R，因此本说法不正确；
命题③：只有当两个复数都是实数时才能比较大小，因此由a>b，推不出a＋i>b＋i，因此本说法不正确；
命题④：因为z＝＝＝－i，所以z3＋1＝(－i)3＋1＝－i3＋1＝1＋i，故z3＋1对应的点在复平面内的第一象限，因此本命题是正确的．故选A.
答案：A
11．解析：由题意可知：＝＝，
为纯虚数，则：，解得a＝1.故选D.
答案：D
12．解析：∵z＝1－i，＝1＋i，
∴z·＝1－2i2＝3，
∴z·＋＝4＋i，
∴|4＋i|＝＝3，故选A.
答案：A
13．解析：(x＋i)(1－i)＝y?(x＋1)＋(1－x)i＝y???x＋y＝3..
答案：3
14．解析：∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i的实部为0，
∴a－2＝0得a＝2.
答案：2
15．解析：由题意，复数ω＝，可得ω2＝2＝，所以ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0.
故答案为0.
答案：0
16．解析：z1＝cosx＋2f(x)i，z2＝(sinx＋cosx)＋i，∠Z1OZ2＝90°，
则(sinx＋cosx)cosx＋2f(x)＝0，∴f(x)＝－(sinx＋cosx)cosx
f(x)＝－sinxcosx－cos2x＝－sin2x－cos2x－＝－sin－
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π
故答案为π.
答案：π
17．解析：(1)当z是实数时，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，
∴所求的m值为2或－1；
(2)当z是纯虚数时，，解得m＝－3，
∴所求的m值为－3；
(3)当z对应的点在第二象限时，
，解得－3∴实数m的取值范围是(－3，－1)．
18．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由|z|2＋(z＋)i＝1－i，得：a2＋b2＋2ai＝1－i
∴，即，或
故z＝－－i或z＝－＋i.
19．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知可得：，即，
解得或.∴z＝1＋i或z＝－1－i；
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
故△ABC的面积S＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
故△ABC的面积S＝×2×1＝1.
∴△ABC的面积为1.
20．解析：(1)设z＝x＋yi(x、y∈R，i为虚数单位)，
则2z＋5＝(2x＋5)＋2yi，z＋10＝(x＋10)＋yi，
由|2z＋5|＝|z＋10|得＝，化简得x2＋y2＝25，
因此，|z|＝＝5；
(2)∵(1－2i)z＝(1－2i)(x＋yi)＝(x＋2y)＋(y－2x)i，
由于复数(1－2i)z在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则x＋2y＝y－2x，
所以，解得或.
因此，z＝－i或z＝－＋i.
21．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入4z＋＝5＋3i化简得5a＋3bi＝5＋3i，
∴由复数相等可得解得∴z＝＋i；
(2)由z＝＋i和ω＝sinθ＋cosθi在复平面内对应的点为Z(，1)和W(sinθ，cosθ)，
∴|ZW|2＝(－sinθ)2＋(1－cosθ)2＝－2sinθ－2cosθ＋5＝－4sin＋5
∵sin∈[－1,1], ∴－4sin＋5∈[1,9]
∴|ZW|∈[1,3]．
22．解析：(1)因为z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i
可得?x2＋y2＝1?|z|＝1，
此时，ω＝2x，由－1＜ω＜2，得－(2)∵u＝＝＝＝，
因为y≠0，所以u为纯虚数；
(3)ω－u2＝2x－2，然后化简和计算得到
ω－u2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1.
当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，故ω－u2的最小值为1.