(共30张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
第13章 全等三角形
3．角平分线
答案显示
1
2
3
4
A
B
3
B
5
B
新知笔记
1
2
相等
平分线
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
D
120°
B
10
B
11
12
13
14
B
见习题
见习题
见习题
15
见习题
1．角平分线上的点到角两边的距离________．
相等
2．角的内部到角两边距离相等的点在角的________上．因此，判定角平分线需要满足两个条件：“垂直”和“相等”．其一般思路是“作垂直，证相等”．
平分线
1．【2020·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若BD＝3，则DE的长为( )
A
A．15
B．30
C．45
D．60
B
3．【中考·南昌】如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．
3
4．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与∠AOB的平分线的交点
C．CD与过点O所作的CD的垂线的交点
D．以上均不对
B
5．如图，△ABC的两外角的平分线CF，BF相交于点F，连结AF，则下列结论正确的是( )
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
6．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要求凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭的位置应选在( )
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条高所在直线的交点
C．△ABC三条边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
D
7．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
D
8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC＝________．
【答案】120°
【点拨】∵点O到三边的距离相等，
∴BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝60°，∴∠BOC＝180°－60°＝120°.
9．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
B
10．【2020·鄂州】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连结AC，BD交于点M，连结OM.下列结论：
①∠AMB＝36°；②AC＝BD；
③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.
其中正确的结论有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确．
如图，设AM与OB交于点E，
∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB.
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确．
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，
∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH.∴MO平分∠AMD，故④正确．
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM.
∴△AMO≌△DMO.∴OA＝OD.
∵OC＝OD，∴OA＝OC.而OA＜OC，故③错误．
∴正确结论有3个．故选B.
【答案】B
11．【2021·新乡期末】如图所示，已知AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3
cm，则点O到AB，CD的距离之和是( )
A．3
cm
B．6
cm
C．9
cm
D．12
cm
B
12．【2021·河南省实验中学八年级开学考试】如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：如图，过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FM.同理可得FM＝FN.
∴FP＝FN.
∴点F在∠DAE的平分线上．
13．如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA，过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D.
求证：AB＋CD＝AC.
证明：如图，过点G作GH⊥AC于点H.
∵AE∥CF，BD⊥AE，交CF于点D，∴GD⊥CF.
∵AG平分∠EAC，∴BG＝HG.
∴Rt△AGH≌Rt△AGB(H.L.)，
∴AH＝AB.同理可得CD＝CH，∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
14．【教材改编题】如图，DE⊥AE于点E，DF⊥AC于点F，点B是AE上一点，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.)．
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.
(2)写出AB，AC与AE之间的数量关系，并证明．
15．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，BF交CE于点D，BD＝CD.
(1)求证：点D在∠BAC的平分线上；
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.)，
∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗？试说明理由．
解：成立．理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.
∴△BDE≌△CDF(A.S.A.)，
∴BD＝CD.(共31张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
第13章 全等三角形
2．线段垂直平分线
答案显示
1
2
3
4
B
B
B
16
5
15
新知笔记
1
2
距离
垂直平分线
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
A
A
A
10
B
11
12
13
14
C
70°或20°
24
6
15
见习题
16
17
见习题
见习题
1．线段垂直平分线上的点到线段两端的________相等．理解这条性质要注意两点：
(1)点一定在线段的垂直平分线上；
(2)距离指的是点到线段的两个端点的距离．
距离
2．到线段两端距离相等的点在线段的______________上．已知线段AB外有两点M，N，且MA＝MB，NA＝NB，直线MN交线段AB于点O，则点O是线段AB的中点，直线MN是线段AB的垂直平分线．
垂直平分线
1．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P是直线l上一点，下列说法不正确的是( )
A．AO＝BO
B．PO＝AO
C．点A，B关于直线l对称
D．PA＝PB
B
2．【中考·黄石】如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．50°
B．100°
C．120°
D．130°
B
B
3．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4．【中考·毕节】如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是________．
16
5．【中考·天门】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为________．
【答案】15
【点拨】∵AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，
∴AD＝DC，AE＝EC＝4，即AC＝8.
∵△ABC的周长为23，∴AB＋BC＋AC＝23，
∴AB＋BC＝23－8＝15，
∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝15.
6．【中考·毕节】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
D
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
8．【2020·宜昌】如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
A
9．【中考·河北】如图，已知钝角三角形ABC，按下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以点C为圆心，CA长为半径画弧①；
步骤2：以点B为圆心，BA长为半径画
弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD
B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH
D．AB＝AD
【答案】A
【点拨】A.正确．连结CD，BD.
∵CA＝CD，BA＝BD，∴点C，点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．
B．错误．AC不一定平分∠BAD.
D．错误．AB不一定等于AD.
10．如图，点C是△ABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，对于下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE，其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
11．【2021·河南省实验中学开学考试】如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，
CE＝4，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
C
12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交，所得的锐角为50°，则∠B＝________．
70°或20°
【点拨】分两种情况讨论：①当∠A为锐角时，∠B＝70°；②当∠A为钝角时，∠B＝20°.
13．【中考·南充】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________°.
24
14．【中考·赤峰】如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则DE的长为________．
【答案】6
【点拨】∵BE＝EC，ED＋DC＋EC＝24，①
(AB＋AC＋BC)－(AE＋ED＋DC＋AC)＝12，
∴BE＋BD－DE＝12.②
∵BD＝DC，∴①－②，得DE＝6.
15．如图，有大城市A及两个小城市B，C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B，C两市的距离相等，且使A市到该厂的管道最短，试确定污水处理厂的位置．
【点拨】①作BC的垂直平分线；②过点A作BC垂直平分线的垂线．垂足即污水处理厂的位置．
解：略．
16．【教材改编题】如图，已知AB比AC长2
cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14
cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14
cm，
∴AC＋AD＋BD＝14
cm，即AC＋AB＝14
cm.
又∵AB－AC＝2
cm，
∴AB＝8
cm，AC＝6
cm.
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，且FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE＝CF；
证明：如图．
∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，
∴∠1＋∠EAC＝90°，∠2＋∠EAC＝90°，∴∠1＝∠2.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.
∵FC⊥BC，∴∠FCB＝90°，
∴∠FCA＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°，
∴∠B＝∠FCA，∴△ABE≌△ACF(A.S.A.)，∴BE＝CF.
(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连结MC，交AD于点N，连结ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.
证明：①如图，过点E作EG⊥AB于点G.
∵∠B＝45°，∴△GBE是等腰直角三角形，
∴BG＝EG，∠3＝45°.
由AD⊥BC，AE平分∠BAD，易证EG＝DE，∴BG＝DE.
∵BM＝2DE，∴BM＝2BG，即点G是BM的中点，
∴GE是BM的垂直平分线．∴EB＝EM，∴∠4＝∠3＝45°，
∴∠MEB＝∠4＋∠3＝45°＋45°＝90°，即ME⊥BC.
②∵AD⊥BC，ME⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5＝∠6.
∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠6，∴AM＝EM.
∵MC＝MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC(H.L.)．∴∠7＝∠8.
易知∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠5＝∠7＝22.5°，AD＝CD.
∵∠ADE＝∠CDN＝90°，
∴△ADE≌△CDN(A.S.A.)，∴DE＝DN.(共25张PPT)
13.1 命题、定理与证明
第13章 全等三角形
2. 定理与证明
答案显示
1
2
3
4
B
C
C
D
5
同角的余角相等
新知笔记
1
真命题
提示：点击
进入习题
2
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
见习题
10
①②④
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
1．我们把长期以来总结出来的公认的真命题称为基本事实(公理)．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的________叫做定理．
真命题
2．根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
1．“两点确定一条直线”是( )
A．定义
B．基本事实
C．定理
D．假命题
B
2．下列说法错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过逻辑推理证实的，这样得到的真命题就是定理
C
3．下列命题中，可以作为定理的个数是( )
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的余角相等；④同角的补角相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
C
4．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)
C．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD
(两直线平行，同位角相等)
D
5．已知∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，则∠1＝∠3，理由是________________．
同角的余角相等
6．【2021·安阳期末】
补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C.
求证：AB∥CD.
证明：如图，延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC＋∠C.
(
)
又∵∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝________，(等量代换)
∴AB∥CD.( )
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∠EFC
内错角相等，两直线平行
7．在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.
8．如图，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)．
9．【2021·濮阳期末】如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
解：已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C.
求证：∠A＝∠D.
证明：如图，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，∴EC∥BF，∴∠AEC＝∠B.
又∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠D.
【答案】答案不唯一．
10．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题中是真命题的是________(填序号)．
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
【点拨】①②④的依据是平行的判定定理和性质，③中b⊥a，c⊥a可推出b∥c.
①②④
11．如图，已知MN∥BC，AD⊥BC于点D，
∠BAD＝∠CAD.求证：∠BAM＝∠CAN.
证明：∵MN∥BC(已知)，
∴∠BAM＝∠ABC，
∠CAN＝∠ACB(________________________)．
又∵AD⊥BC(已知)，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直的定义)．
两直线平行，内错角相等
∴∠BAD＋∠ABC＝90°，
∠CAD＋∠ACB＝90°(__________________________)．
又∵∠BAD＝∠CAD(已知)，
∴∠ABC＝∠ACB(________________)．
∴∠BAM＝∠CAN(等量代换)．
直角三角形的两个锐角互余
等角的余角相等
12．命题“两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题还是假命题？若是假命题，举一个反例加以说明．
解：假命题．反例：
如图，直线a，b被直线c所截，
α＋β＝30°＋130°＝160°，
同旁内角不互补．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝90°－∠ACE.
又∵∠BCE＋∠BEC＋∠B＝180°，∠BEC＝∠BCE，
∴∠B＋2∠BCE＝∠B＋2(90°－∠ACE)＝180°，
14．如图1，E是直线AB，CD内部一点，
AB∥CD，连结EA，ED.
(1)探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED＝________．
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED＝________．
③猜想图1中∠AED，∠A，∠D的关系，并证明你的结论．
70°
80°
解：∠AED＝∠A＋∠D.
证明：如图，延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，∴∠A＝∠EFD.
又∵∠AED是△EFD的外角，
∴∠AED＝∠D＋∠EFD＝∠A＋∠D.
(2)拓展应用：
如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①，②，③，④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)，P是位于以上4个区域内的点，猜想∠PEB，∠PFC，
∠EPF的关系(不要求证明)．
解：点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.(共30张PPT)
13.
3 等腰三角形
第13章 全等三角形
2．等腰三角形的判定
答案显示
1
2
3
4
D
D
C
a－b
5
5
cm
新知笔记
1
2
相等
相等；60°
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
等边三角形
①②③④
4
10
4
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
15
见习题
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也________，简写成“等角对等边”．
相等
2．三个角都________的三角形是等边三角形；
有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形．
相等
60°
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D
2．【教材改编题】在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝20°，∠B＝80°
B．∠A＝36°，∠B＝108°
C．∠A＝30°，∠B＝120°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
D
3．【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【点拨】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD.
∵AB＝3，AD＝1，∴△AED的周长＝3＋1＝4.
4．【2020·南充改编】如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝________．
a－b
5．如图，在△ABC中，BC＝5
cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________．
5
cm
6．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
D
7．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是____________．
等边三角形
8．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有____________．(填序号)
①②③④
9．【中考·海南】已知△ABC三边长分别为4，4，6，在△ABC内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，则这样的直线最多可画________条．
4
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点且MC＝8，动点P从C出发沿C→D→A→B的路线运动，点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P共有________个．
【答案】4
【点拨】①以C为圆心，MC长为半径画圆；②以M为圆心，MC长为半径画圆；③作MC的垂直平分线．共可得到4个点P的位置．
11．【中考·常州】如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
又∵∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC(A.A.S.)，∴∠ABD＝∠ACE.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE，
即∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
解：∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°，
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝180°－90°－80°＝10°，
∴∠OBC＝50°－10°＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×40°＝100°.
12．【2021·河南师大附中实验学校月考】如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE交BC于点G，
若DG＝GE，求证：△ABC为
等腰三角形．
证明：如图，过D作DF∥AC交BC于F，
∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠FCE.
∵∠DGF＝∠CGE，DG＝GE，
∴△DFG≌△ECG(A.A.S.)，∴DF＝CE.
又∵BD＝CE，∴BD＝DF，∴∠B＝∠DFB.
∵DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
13．【中考·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D为AC的中点，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．
14．【2021·郑州期末】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE.
(1)在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是__________；
A．DF＝EF
B．BF＝CF
C．∠ABE＝∠ACD
D．∠BCD＝∠CBE
E．∠ADC＝∠AEB
C或E
(2)利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
解：选择C选项中的∠ABE＝∠ACD，
∴△BDF≌△CEF，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABE＋∠FBC＝∠FCB＋∠ACD，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
【点拨】题答案不唯一．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，AD＝AE，∠BAD＝30°.
(1)求∠EDC的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，
则∠AED＝∠EDC＋∠C＝x＋y.
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x＋y.
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝2x＋y.
又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴2x＋y＝y＋30°.
解得x＝15°.
(2)若∠B＝30°，请判断△ADE的形状，并写出证明过程．
解：△ADE是等腰直角三角形，证明如下：
∵∠BAD＝30°，∠B＝30°，∴∠ADC＝60°.
∵∠EDC＝15°，∴∠ADE＝45°.
∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°.
∴△ADE是等腰直角三角形．
(3)若∠B＝45°，请判断△ADE的形状，并写出证明过程．
解：△ADE是等边三角形．证明如下：
∵∠BAD＝30°，∠B＝45°，∴∠ADC＝75°.
∵∠EDC＝15°，∴∠ADE＝60°.
又∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．(共24张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
第3课时 经过一已知点作已知直线的垂线
答案显示
1
2
3
4
B
C
B
B
5
D
新知笔记
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
见习题
10
见习题
11
12
13
见习题
见习题
见习题
作已知直线AB的垂线的一般步骤：
第一步：以平面内任意一点为圆心，任意长为半径画弧，与直线AB有两个交点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，大于________的长为半径画弧，两弧交于两点．
结论：连结两弧交点即为已知直线AB的垂线．
1．如图，利用直尺和圆规作一个等于45°角的方法是：①作平角COB的平分线OA；②作∠AOB的平分线AD；③∠DOB(或∠AOD)就是所要求作的角，其中错误的一步是( )
A．①
B．②
C．③
D．没有错误
B
下列结论不一定正确的是( )
A．CD⊥l
B．点A，B关于直线CD对称
C．点C，D关于直线l对称
D．CD平分∠ACB
C
3．如图所示的作图痕迹是( )
A．线段的垂直平分线
B．过一点作已知直线的垂线
C．一个角的平分线
D．作一个角等于已知角
B
4．【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )
B
下列关于上述作法的说法错误的是( )
A．第①步的目的是构造等腰三角形
B．第②步的目的是构造∠DCE的平分线
C．第③步作图依据是“两点确定一条直线”
D．第②步作图依据是等腰三角形的“三线合一”性质
D
6．如图，已知Rt△ABC，求作斜边BC上的高．
解：略．
7．【教材改编题】如图，求作已知锐角的余角．
【点拨】先用尺规作出一个直角(已知直线的垂线)，再在直角内部作已知角，余下的角就是已知角的余角．
解：略．
8．【教材改编题】如图，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.
【点拨】(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是所要求作的点．
解：图略．
9．【中考·河池】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C.
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图．
(2)在(1)的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
解：(答案不唯一)BA＝BC.证明如下：
∵AE∥BF，∴∠EAC＝∠BCA.
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC.
10．【中考·青岛】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知线段c，直线l及l外一点A.
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
解：如图，Rt△ABC即为所求作的三角形．
11．【教材改编题】如图，已知线段b，h，求作等腰三角形ABC，使AC＝b，底边BC上的高AD＝h.
解：略．
【点拨】先作一条直线l，在直线l外任取一点M，以点M为圆心，大于点M到直线l的距离为半径画弧，与直线l有两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点距离的一半为半径画弧，两弧交于点N，作直线MN，交直线l于点D，以点D为端点，在直线MN上截取AD＝h，再以点A为圆心，b为半径画弧，与直线l相交于B，C两点，最后连结AB，AC即可．
12．【2021·青岛期末】已知：线段a如图所示．
求作：正方形ABCD，使得AB＝a.(不写作法，但要保留作图痕迹)
解：如图所示．
13．如图，点A，B在直线l的同侧，试在l上取一点P，使PA＋PB的值最小．
【点拨】作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交直线l于点P，此时PA＋PB的值最小．(两点之间线段最短)
解：略．(共23张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第5课时 边边边
答案显示
1
2
3
4
C
C
A
D
5
D
新知笔记
相等
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
C
C
D
10
C
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
三边分别________的两个三角形全等．简记为S.S.S.(或边边
∴△ABC≌△A′B′C′.
相等
1．【2021·百色期末】如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是( )
A．S.A.S.
B．A.S.A.
C．S.S.S.
D．A.A.S.
C
2．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“S.S.S.”证明△ACE≌△BDF时，可以增加的一个条件是( )
A．AB＝BC
B．DC＝BC
C．AB＝CD
D．以上均不正确
C
3．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“S.S.S.”来判定△ABC和△FED全等，下面的四个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是( )
A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
A
4．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠A＝60°，∠E＝30°，则∠EBC的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
D
5．【2021·东营期末】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，此角平分仪
的画图原理是( )
A．S.A.S.
B．A.S.A.
C．A.A.S.
D．S.S.S.
D
6．如图，为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有( )
A．∠1＞∠2
B．∠1＜∠2
C．∠1＝∠2
D．∠1与∠2大小不能确定
C
7．【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
8．【中考·大连】如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作三角形，使其与△ABC全等，这样的三角形最多可以作( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【点拨】在DE的上方可以作2个，在DE的下方也可以作2个，故选C.
C
9．如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是( )
A．AB∥CD
B．∠B＝∠D
C．∠A＝∠C
D．AB＝BC
D
10．如图，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于点O，则下列结论中不正确的是( )
A．△MPN≌△MQN
B．∠PMN＝∠QMN
C．MQ＝NQ
D．∠MOP＝90°
C
11．【中考·怀化】如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
证明：在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA(S.S.S.)．
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
解：OA＝OB.
理由：∵△ADB≌△BCA，∴∠D＝∠C.
又∵∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，
∴△AOD≌△BOC(A.A.S.)，
∴OA＝OB.
12．【2021·钦州期末】如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝CD.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
证明：∵点A、F、C、D在一条直线上，AF＝CD，
∴AC＝DF.
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)
.
(2)求证：AB∥DE.
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，∴AB∥DE.
13．【教材改编题】如图，已知AB＝CD，BC＝AD，E，F是AC上两点，且AE＝CF.
求证：BF＝DE.
∴△ABC≌△CDA(S.S.S.)．∴∠ACB＝∠CAD.
∴△BCF≌△DAE，∴BF＝DE.
14．小明在做数学作业时，遇到这样一道题：如图，AB＝CD，CB＝AD，请说明∠A＝∠C的理由．小明动手测量了一下，发现∠A确实等于∠C，但他不能说明其中的理由，你能帮助他吗？
解：能．连结BD，在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB.
∴∠A＝∠C.(共22张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
第2课时 作已知角的平分线
答案显示
1
2
3
4
C
C
B
D
5
115°
新知笔记
OD＝OE；DE；OC
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
见习题
10
见习题
11
12
见习题
见习题
作∠AOB的平分线的步骤：
第一步：在射线OA，OB上，分别截取OD，OE，使________；
第二步：分别以点D和点E为圆心，适当长(大于线段________
长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
第三步：作射线____________．
结论：射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．
OD＝OE
DE
OC
C
2．如图，观察尺规作图的痕迹，下列说法错误的是( )
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到点E的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
C
3．【2020·深圳】如图，已知AB＝AC，BC＝6，由尺规作图痕迹可求出BD＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C作射线OC，由作法
得△MOC≌△NOC的依据是( )
A．A.A.S.
B．S.A.S.
C．A.S.A.
D．S.S.S.
【答案】D
【点拨】∵OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，∴△MOC≌△NOC(S.S.S.)．
115°
6．如图，作已知角的平分线．
已知：∠DOE.
求作：∠DOE的平分线OC.
作法：(1)以点________为圆心，适当长为半径画弧，交________于点________，交________于点________；
(2)分别以点________，________为圆心，__________的长为半径作弧，两弧在∠DOE的内部交于点________；
(3)作射线________，射线________即为所求．
O
OD
M
OE
N
M
N
C
OC
OC
7．【中考·佛山】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．(保留作图痕迹，不写作法)
解：作∠BAC的平分线交BC于点D，如图所示．
理由：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)．
解：如图，∠ABD即为所求作的角．
9．尺规作图：把∠AOB四等分．
解：如图所示．
10．【2021·福州第一中学期末】已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°.
(1)利用尺规作∠B的平分线BD，交AC于点D；
(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图所示，BD即为所求；
(2)判断△ABD是否为等腰三角形，并说明理由．
解：△ABD是等腰三角形．
理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－36°)÷2＝72°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形．
11．【中考·赤峰】如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC.
(1)尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，射线DE就是所求
作的∠ADB的平分线．
(2)在(1)的条件下，求证：DE∥AC.
证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE.
∵∠ADB＝∠C＋∠DAC，而∠C＝∠DAC，
∴2∠BDE＝2∠C，即∠BDE＝∠C，
∴DE∥AC.
解：如图．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作∠DAC的平分线AM；
②连结BE并延长，交AM于点F；
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
解：AF∥BC，且AF＝BC.
理由如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB＝2∠ACB.
易知∠DAC＝2∠FAC，∴∠ACB＝∠FAC，∴AF∥BC.
∵E为AC的中点，∴AE＝EC.
在△AEF和△CEB中，∠FAE＝∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB(A.S.A.)，∴AF＝BC.(共28张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
第13章 全等三角形
1．互逆命题与互逆定理
答案显示
1
2
3
4
C
D
C
C
5
D
新知笔记
1
2
结论
逆命题
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
D
A
10
C
11
12
13
14
D
D
C
D
15
见习题
16
17
18
19
①③
见习题
见习题
见习题
1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的______是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
结论
2．如果一个定理的________也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
逆命题
1．【中考·黑龙江】下列命题的逆命题成立的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．全等三角形的周长相等
C．同角(或等角)的余角相等
D．若a＝0，则ab＝0
C
2．【2021·南阳期末】下列四个命题中，原命题和逆命题都是真命题的是( )
A．全等三角形的对应角都相等
B．如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等
C．对顶角相等
D．等边三角形每一个角都等于60°
D
3．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．平行四边形是中心对称图形
C．三组对应边分别相等的两个三角形全等
D．内错角相等
C
4．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是( )
A．不全等三角形的面积不相等
B．面积不相等的两个三角形不全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等
C
5．下列命题的逆命题是假命题的是( )
A．若a＋b＞0，则a＞0，b＞0
B．两直线平行，同位角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．对顶角相等
D
6．【2021·邵阳期末】命题：若两数相等，则它们的绝对值相等，它的逆命题是
_______________________________________.
若两数的绝对值相等，则这两数相等
7．【2021·绍兴期末】命题“如果两直线平行，那么同位角相等”的逆命题是
____________________________________________.
如果同位角相等，那么两直线平行
8．下列说法中，正确的是( )
A．不一定每个命题都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题仍是真命题
D．假命题的逆命题未必是假命题
D
9．下列定理中，没有逆定理的是( )
A．对顶角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两底角相等
D．全等三角形的对应边相等
A
10．下列定理中，有逆定理的是( )
A．相反数的绝对值相等
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．末位数是2的整数能被2整除
C
11．【2021·鹤壁期末】下列定理中，没有逆定理的是( )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
D
12．下列定理中，逆定理不存在的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
D．全等三角形的对应角相等
D
13．下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是( )
A．三角形两边的差小于第三边
B．若两个角都是平角，则它们相等
C．互为余角的两个角之和等于90°
D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
C
14．下列命题与逆命题都正确的是( )
A．自然数是整数
B．若a＞b，则|a|＞|b|
C．互补的角为邻补角
D．三个角都相等的三角形是等边三角形
D
15．命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________________，是________命题(填“真”或“假”)．
两个底角相等的三角形为等腰三角形
真
16．已知下列命题：
①若a≤0，则|a|＝－a；
②若m2＞n2，则m＞n；
③两直线平行，内错角相等；
④若a－b＞0，则|a|＞|b|.
其中原命题与逆命题均为真命题的是__________．
(填序号)
①③
17．【教材改编题】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例．
(1)在一个三角形中，等角对等边；
解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题．
(2)四边形的内角和等于360°；
(3)如果一个三角形有一个内角是钝角，那么这个三角形其余两个内角都是锐角．
解：逆命题：内角和等于360°的多边形是四边形．真命题．
逆命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形的第三个内角是钝角．假命题．举反例：一个三角形有两个锐角分别是45°和60°，则第三个内角是75°，不是钝角．
18．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
解：逆命题：如果一个三角形的两个锐角
的平分线所夹的锐角是45°，那么这个
三角形是直角三角形．
已知：如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，交AC于点E，AD是∠CAB的平分线，交BC于点D，BE与AD相交于点O，且∠EOA＝45°.求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵BE是∠ABC的平分线，AD是∠CAB的平分线，
∵∠EOA＝45°，∠EOA＝∠1＋∠3，
∴∠CBA＋∠CAB＝2×45°＝90°，
∴∠C＝180°－(∠CBA＋∠CAB)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
19．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
(1)写出该命题的逆命题；
解：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
(2)所写逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
解：所写逆命题是真命题．
已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD＝CE.
求证：△ABC是等腰三角形．
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)，∴∠BCD＝∠CBE，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(共30张PPT)
全章整合与提升
第13章 全等三角形
答案显示
6
7
8
9
D
见习题
见习题
见习题
10
见习题
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
15
见习题
1
2
3
4
C
内错角相等，两直线平行
C
40°或100°
5
见习题
提示：点击
进入习题
1．下列命题中，其逆命题是假命题的是( )
A．等腰三角形的两底角相等
B．等边三角形的三个角都是60°
C．等腰三角形是轴对称图形
D．同位角相等，两直线平行
C
2．“两直线平行，内错角相等”的逆定理是_____________________________________．
内错角相等，两直线平行
3．【2021·周口期末】如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为( )
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
C
4．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为____________．
40°或100°
5．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，AB＝10.
(1)求BE的长；
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC.
∵AB＝10，∴AC＝BC＝10.
∵D是AC的中点，∴CD＝5，
∴CE＝CD＝5，
∴BE＝BC＋CE＝10＋5＝15.
(2)求∠DBE与∠DEB的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵D是AC的中点，∴BD平分∠ABC，
∵CE＝CD，∴∠DEB＝∠CDE.
∵∠ACB＝∠DEB＋∠CDE，∴2∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°.
6．【2021·商丘期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为28，BC＝12，则AE等于( )
A．10
B．14
C．16
D．8
D
7．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，OF⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，且OB＝OC.求证：AB＝AC.
证明：连结AO，
∵AO为∠BAC的平分线，OF⊥AB，OE⊥AC，
∴Rt△BOF≌Rt△COE，∴∠FBO＝∠ECO.
∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
8．【2021·三门峡期末】如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE.
证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.
∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE.
∴△ACF≌△BDE.
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE
∶EM
∶MB＝1
∶2
∶1，AD
∶DN
∶NC＝1
∶2
∶1，连结MD，NE，MD与NE交于点O.求证：△OMN是等腰三角形．
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，
AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，
∴AE＝AD.同理可得AM＝AN.
∴△ADM≌△AEN(S.A.S.)，∴∠AMD＝∠ANE.
又∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形．
10．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高度为c，梯子与地面的夹角为45°；将该梯子的顶端放于另一面墙上的R点时，R点离地面的高度为d，此时梯子与
地面的夹角为75°，则d＝a.为什么？
解：连结RQ，RB，设RB与PQ交于点M.
∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，
∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.
又∵PR＝PQ，∴△PRQ为等边三角形，
∴RP＝RQ，∴点R在线段PQ的垂直平分线上．
在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝45°，∴∠BQP＝90°－45°＝45°，
∴∠BPQ＝∠BQP，∴BP＝BQ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线RB为线段PQ的垂直平分线，∴BM⊥PQ.
在Rt△BMP中，∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°.
在Rt△RAB中，∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，
∴∠ARB＝∠RBA，∴AR＝AB，即d＝a.
11．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M.
求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上．
∵∠AFD＝∠AED＝90°，∠FAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△AFD≌△AED(A.A.S.)，∴AF＝AE.
∴点A在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.
12．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，连结AM.问：AM是否平分∠BAD？请说明理由．
解：AM平分∠BAD.理由如下：
如图，过点M作ME⊥AD，垂足为点E.
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME＝MC.
易知MC＝MB，∴ME＝MB.
∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠BAD.
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°.
(1)作AC的垂直平分线MN；
解：如图．
(2)MN与BC交于点E，与AC交于点D，连结AE，则∠AED的度数是多少？
解：∵AC＝BC，∠B＝70°，
∴∠CAB＝70°，∠C＝40°.
∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠C＝∠DAE＝40°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE＝90°－40°＝50°.
14．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角(∠CAD)与从观测点B看海岛C，D的视角(∠CBD)相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在的海岸
的距离相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：由题意可知CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAB＝∠DBA＝90°.
∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CAB－∠CAD＝∠DBA－∠CBD，即∠BAD＝∠ABC.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(A.S.A.)，∴CA＝DB.
15．某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，如图，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置(不写作法，保留作图痕迹)．
解：如图，在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点O即为所求．(共23张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
第1课时 作已知线段与已知角
答案显示
1
2
3
4
C
D
D
见习题
5
D
新知笔记
1
2
没有刻度
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
A
见习题
C
C
10
C
11
12
13
14
C
见习题
见习题
见习题
1．我们把只能使用圆规和___________的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
没有刻度
2．在用尺规作图时规定：
(1)直尺无刻度，其用法是经过两点作直线或连结两点；
(2)圆规的用法是以任意给定的点为圆心，以任意给定(适当)的长为半径，作圆或弧．
1．下列作图语言表述准确、无歧义的是( )
A．延长线段AB至点C，使AB＝AC
B．以点O为圆心画弧
C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧
D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋b
C
2．如图，已知线段a，b，c(a＞b＋c)，求作线段AB，使AB＝a－b－c.下面利用尺规作图正确的是( )
D
3．已知线段a，b(a＞b)，画射线AF，在AF上顺次截取AB＝a，BC＝b，接着截取CD＝a，则线段AD的长是( )
A．b
B．a
C．2a＋b
D．b或2a＋b
【点拨】在截取CD时，可能与AB，BC方向相同，也可能与AB，BC方向相反．
D
4．如图，已知线段AB，求作一条线段，使它等于3AB.
【点拨】画射线AC，在射线AC上顺次截取AB的长3次．
略．
5．如图，点C在∠AOB的OB
边上，用尺规作出了CN∥OA，
作图痕迹中，弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD长为半径的弧
B．以点C为圆心，OM长为半径的弧
C．以点E为圆心，OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，DM长为半径的弧
D
6．【2021·钦州期末】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出△C′O′D′≌△COD的依据是( )
A．S.S.S.
B．S.A.S.
C．A.S.A.
D．A.A.S.
A
7．如图，已知∠1与∠2，求作一个角，使它等于∠1＋∠2.
解：如图，
∠3即为所求作的角．
8．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是( )
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
C
9．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连结AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是( )
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
C
10．已知线段a，求作等边三角形ABC，使AB＝a，作法如下：①作射线AM；②连结AC，BC；③分别以点A和点B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB，使AB＝a，其合理顺序为( )
A．①②③④
B．①④②③
C．①④③②
D．②①④③
C
11．【2021·临汾期末】我们利用尺规作图可以作一个角(∠A′O′B′)等于已知角(∠AOB)，如图所示：
(1)作射线O′A′；
(2)以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
(3)以O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于C′；
(4)以C′为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D′；
(5)过O′、D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
以上作法中，开始出现错误的一步是( )
A．(2)
B．(3)
C．(4)
D．(5)
C
12．【2021·郑州期末】如图，已知线段AB，请用尺规按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法：
(1)延长线段BA到C，使AC＝3AB；
(2)延长线段AB到D，使AD＝3AB；
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)在上述作图条件下，若CB＝8
cm，求BD的长度．
解：由题意可得AC＝3AB，则CB＝4AB.
∵CB＝8
cm，∴AB＝2
cm.
∵AD＝3AB，∴BD＝2AB＝4
cm.
13．【2021·合肥期末】如图，已知∠α，线段m、n，请按下列步骤完成作图(不需要写作法，保留作图痕迹)．
(1)作∠MON＝∠α；
(2)在边OM上截取OA＝m，
在边ON上截取OB＝n；
(3)作直线AB.
解：如图所示．
14．如图，小明书上的三角形被墨水污染了一部分，他想在自己的作业本上作一个与书上三角形全等的三角形，他该怎么办？请你帮他用尺规作图的方法把这个三角形作出来．
(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，△ABC即为所求作的三角形．(共25张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第3课时 角边角(1)
答案显示
1
2
3
4
C
C
D
C
5
见习题
新知笔记
夹边；∠A′；A′B′；∠B
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
C
见习题
B
10
见习题
11
12
13
见习题
见习题
见习题
两角及其________分别相等的两个三角形全等．
简记为A.S.A.(或角边角)．其书写模式为：
∴△ABC≌△A′B′C′.
夹边
∠B
∠A′
A′B′
1．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的是( )
?
?
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙
D．甲、乙、丙
C
2．如图，已知∠1＝∠2，DA平分∠BDC，下列结论错误的是( )
A．AB＝AC
B．DB＝DC
C．AB＝BD
D．∠B＝∠C
C
3．【中考·永州】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，再添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD？( )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
【答案】D
【点拨】选项A中，∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ABE≌△ACD(A.S.A.)；选项B中，AE＝AD，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(S.A.S.)；选项C中，由BD＝CE及AB＝AC可得AD＝AE，又∠A＝∠A，AC＝AB，∴△ABE≌△ACD(S.A.S.)；选项D中，由BE＝CD，AB＝AC，∠A＝∠A，不能判定两个三角形全等．
4．【中考·宁波】如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )
A．BE＝DF
B．BF＝DE
C．AE＝CF
D．∠1＝∠2
C
5．【中考·乐山】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD.
证明：∵∠ABC＋∠3＝180°，∠ABD＋∠4＝180°，且∠3＝∠4，∴∠ABD＝∠ABC.在△ADB和△ACB中，
∴△ADB≌△ACB(A.S.A.)．
∴BC＝BD.
6．【2021·重庆一中期末】一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
C
7．如图，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
C
8．【中考·昆明】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(A.S.A.)，∴BC＝DE.
9．【2021·南通期末】如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连结DE并延长至F，使EF＝DE，连结FC.若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【点拨】∵FC∥AB，∴∠F＝∠ADE.
在△CFE和△ADE中，
∴△CFE≌△ADE(A.S.A.)，
∴AD＝CF＝3，
∴BD＝AB－AD＝5－3＝2，故选B.
10．如图，BF＝CF，∠B＝∠C，求证：△CDF≌△BEF.
证明：在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF.
11．如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AB∥DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
∴△ABC≌△DEF.
(2)BE＝CF.
证明：由(1)知△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－EC＝EF－EC，
即BE＝CF.
12．【2020·黄石】如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1)求∠DAE的度数；
解：∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E＝40°.
∵∠DAB＝70°，
∴∠DAE＝∠DAB－∠CAB＝30°.
(2)若∠B＝30°，求证：AD＝BC.
证明：易得∠DAE＝∠B＝30°，
又∵AE＝AB，∠E＝∠CAB,
∴△DAE≌△CBA(A.S.A.)，∴AD＝BC.
13．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CM＝BN，过点C在△ABC外作直线EF，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N.
(1)求证：MN＝AM＋BN；
①
证明：∵BN⊥EF，AM⊥EF，∴∠BNC＝∠CMA＝90°，
∴∠BCN＋∠NBC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠MCA＋∠BCN＝90°，∴∠NBC＝∠MCA.
在△AMC和△CNB中，
∴△AMC≌△CNB，∴AM＝CN，∴MN＝CN＋MC＝AM＋BN.
(2)如图②，若过点C作直线EF与线段AB相交，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N，(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出MN，AM和BN的关系．
②
解：(1)中的结论不成立，应是MN＝AM－BN.(共28张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第1课时 全等三角形
答案显示
1
2
3
4
A
B
D
60°
5
B
新知笔记
1
2
对应边；对应角
(1)不一定 (2)不一定
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
△ADC
63°
A
C
10
D
11
12
13
14
D
A
见习题
见习题
15
见习题
16
见习题
1．全等三角形是两个能够完全重合的三角形，因此它们的________相等，________相等．
对应边
对应角
2．(1)如果两个三角形有一组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形________全等．(填“一定”或“不一定”)
(2)如果两个三角形有两组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形也________全等．(填“一定”或“不一定”)
(3)如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形是否全等需要逐一研究．
不一定
不一定
1．【中考·厦门】如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D、点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠C等于( )
A．∠B
B．∠A
C．∠EMF
D．∠AFB
A
2．【2020·淄博】如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( )
A．AC＝DE
B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE
D．∠ABC＝∠AED
B
3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
D
4．【2021·周口期末】如图，△ABC≌△FED，∠ABC＝80°，∠F＝40°，则∠ACB＝________．
【点拨】∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A
＝180°－80°－40°＝60°.
60°
5．【原创题】如图，将△ABO绕点O旋转180°得到△COD，则下列结论不成立的是( )
A．△AOB≌△COD
B．∠B＝∠C
C．AO＝CO
D．点A的对应点是点C
B
6．如图，沿直线AC对折后，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌________．
△ADC
7．【中考·锦州】如图，将△ABC沿BA方向平移得到△A′B′C′，∠A′＝59°，∠C＝58°，则∠B＝________．
【答案】63°
【点拨】∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
∴∠BAC＝∠A′＝59°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝58°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝63°.
8．下列说法正确的是( )
A．有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形全等
B．有两个角分别对应相等的两个三角形全等
C．有两条边分别对应相等的两个三角形全等
D．有一条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等
A
9．【2021·三门峡期末】下列说法正确的是( )
A．两个面积相等的图形一定是全等形
B．两个等边三角形是全等形
C．两个全等三角形的面积一定相等
D．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形
C
10．【中考·甘肃】如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论不一定成立的是( )
A．△ABC≌△DEF
B．∠DEF＝90°
C．AC＝DF
D．EC＝CF
【答案】D
【点拨】∵△DEF是由Rt△ABC平移得到的，∴△DEF≌△ABC.
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，AC＝DF.
故选D.
11．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B，E，C在同一直线上，则以下结论：
①AE＝ED；②AE⊥ED；③BC＝AB＋CD；
④AB∥DC，其中成立的是( )
A．①
B．①③
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【点拨】∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE＝ED，BE＝CD，AB＝EC，
∠AEB＝∠EDC，∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠AEB＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴AE⊥ED，BC＝AB＋CD，AB∥DC.
故①②③④全成立．
12．【2021·厦门期末】如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD＋AC相等的是( )
A．DE
B．BE
C．BF
D．DF
A
13．【2021·新乡期末】如图，△ABC≌△A′
B′C，∠A′CA＝25°，A′C与AB交于点D，且A′C⊥AB，求∠A′的度数．
解：∵A′C⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°－∠A′CA＝90°－25°＝65°.
∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠A′＝∠A＝65°.
14．【教材改编题】如图，已知△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，连结CG，求∠DFB和∠DGB的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝25°，
∴∠FAB＝∠CAD＋∠BAC＝10°＋55°＝65°，
∴∠DFB＝∠FAB＋∠B＝65°＋25°＝90°.
∵∠DGB＋∠D＝∠DFB，
∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°.
15．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转后得到△AEF.
(1)△ABC与△AEF的关系如何？
解：∵△AEF是由△ABC绕其顶点A旋转得到的，
∴△ABC≌△AEF.
(2)若∠FAC＝30°，求∠EAB的度数；
解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF.
∴∠BAC－∠BAF＝∠EAF－∠BAF，
即∠FAC＝∠EAB.
又∵∠FAC＝30°，∴∠EAB＝30°.
(3)△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后得到的△AEF的顶点F、△ABC的顶点C和旋转中心A在同一条直线上？
解：当△AEF的顶点F、△ABC的顶点C和旋转中心A在同一条直线上时，△ABC应绕其顶点A顺时针旋转180°.
【点拨】答案不唯一．
16．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)求证：BD＝DE＋CE；
证明：∵△BAD≌△ACE，
∴AD＝CE，BD＝AE.
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝DE＋CE.
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．
解：当△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由：∵△BAD≌△ACE，∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠E＝90°.
易知∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠E＝90°，∴BD∥CE.(共24张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第4课时 角边角(2)
答案显示
1
2
3
4
B
D
D
A
5
B
新知笔记
对边；∠A′；∠B′；BC
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
B
B
13
10
12
11
12
13
14
C
见习题
见习题
15
见习题
16
见习题
A.A.S.
两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三
角形全等．简记为A.A.S.(或角角边)．其书写模式为：
∴△ABC≌△A′B′C′.
对边
BC
∠A′
∠B′
1．如图，∠B＝∠C，AB＝DC.证明△ABO≌△DCO，应首先选择的判定方法为( )
A．A.S.A.
B．A.A.S.
C．S.A.S.
D．无法证明
B
2．如图，在∠AOB的两边上截取OC＝OD，连结AD，BC交于点P，若∠A＝∠B，则下列结论正确的是( )
①△AOD≌△BOC；
②△APC≌△BPD；
③OC＋PC＝OD＋PD.
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
D
3．【易错题】如图所示，AC是∠BAD的平分线，CA是∠BCD的平分线，则判定△ABC≌△ADC的依据可以是( )
A．A.A.A.
B．A.S.A.
C．A.A.S.
D．A.S.A.或A.A.S.
D
4．【2021·武汉期末】如图，已知∠BCA＝∠DCA，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．AB＝AD
B．∠BAC＝∠DAC
C．CB＝CD
D．∠B＝∠D＝90°
A
5．如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9
cm.CF＝5
cm，则BD＝( )
A．5
cm
B．4
cm
C．2.5
cm
D．4.5
cm
B
6．【中考·深圳】如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件后仍无法证明△ABC≌△DEF？( )
A．AC∥DF
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．∠ACB＝∠F
C
7．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AC，BD相交于点E，下列结论不正确的是( )
A．∠DAE＝∠CBE
B．△DEA与△CEB不全等
C．CE＝DE
D．△AEB是等腰三角形
B
8．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OE＝OF，则图中全等的三角形共有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【点拨】由已知可判定△OEB≌△OFA，∴OA＝OB，从而AE＝BF，∴△AEC≌△BFC，故B正确．
B
9．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________．
13
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝12
cm，则△DEB的周长为________cm.
12
11．【2021·柳州期末】如图，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，AD与BF交于点E，AD＝BD＝5，DC＝2，则AE的长为( )
A．2
B．5
C．3
D．7
C
12．【中考·葫芦岛】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，过D分别向AB，AC作垂线段，则能够直接判断△BDE≌△CDF的理由是________．
A.A.S.
【点拨】∵∠BED＝∠CFD＝90°，∠B＝∠C，D是BC的中点，∴BD＝CD，故根据A.A.S.可证明△BDE≌△CDF.
13．【2020·昆明】如图，AC平分∠BAE，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD.求证：BC＝DE.
证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
又∵∠C＝∠E，AB＝AD，
∴△BAC≌△DAE(A.A.S.)，
∴BC＝DE.
14．【中考·温州】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长
.
解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3.
15．【2021·驻马店期末】证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了
不完整的已知和求证．
已知：如图，
∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
____________________________________________．
求证：________．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
PD＝PE
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.)．∴PD＝PE.
16．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC.
证明：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(A.A.S.)．∴DB＝DC.(共22张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
第4课时 作已知线段的垂直平分线
答案显示
1
2
3
4
A
D
D
A
5
A
新知笔记
AB一半；CD
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
D
10
见习题
11
12
13
见习题
见习题
见习题
作已知线段AB的垂直平分线的一般步骤：
第一步：分别以点A和点B为圆心，大于________的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：作直线CD.
结论：直线________就是要求作的线段AB的垂直平分线．
AB一半
CD
1．如图所示的尺规作图所作的是( )
A．线段的垂直平分线
B．一个半径为定值的圆
C．角的平分线
D．一个角等于已知角
A
2．已知在△ABC中，AB＜BC，用尺规作图的方法作AB的垂直平分线，则下列选项正确的是( )
D
3．【中考·河北】尺规作图要求：
Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ.作线段的垂直平分线；
Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ.作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
?
则正确的配对是( )
A．①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ，④—Ⅲ
B．①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ，④—Ⅰ
C．①—Ⅱ，②—Ⅳ，③—Ⅲ，④—Ⅰ
D．①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ，④—Ⅲ
D
4．【2020·柳州】通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )
A
A．65°
B．60°
C．55°
D．45°
【答案】A
【点拨】易得DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝65°.
6．如图，已知△ABC，求作△ABC三边的中线．
解：如图．
7．如图，已知线段CD，求作线段CD的四等分点(不写作法)．
【点拨】先作CD的垂直平分线，找到CD的中点M，再分别作CM和DM的垂直平分线，找到CM的中点F，MD的中点G即可．
解：如图，点F，M，G即为所求．
8．如图，已知线段a，m，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的中线AD＝m.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图．
9．【中考·安顺】已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
D
10．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，直线AD即为所求．
11．【2021·南阳期末】如图，在△ABC中，∠A>∠B.
(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，
不要求写作法)；
解：如图，DE为所作．
(2)在(1)的条件下，连结AE，若∠B＝60°，求∠AEC的度数．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝60°.
∵∠AEC＝∠EAB＋∠B，
∴∠AEC＝60°＋60°＝120°.
12．【教材改编题】如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF.在所作图中，找出所有的全等三角形．
(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图．
13．如图，某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4个农户，请你设计两种不同的分配方案．(在所给的图形中直接作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，第一种方案中△ABE，△AED，△ADF，△AFC的面积相等．第二种方案中△ABE，△BED，△CED，△ACE的面积相等．(答案不唯一)(共34张PPT)
13.
3 等腰三角形
第13章 全等三角形
1．等腰三角形的性质
答案显示
1
2
3
4
B
D
A
B
5
65°
新知笔记
1
2
底角
顶角的平分线
提示：点击
进入习题
3
60°；3
答案显示
6
7
8
9
22
36
D
C
10
D
11
12
13
14
A
30°
B
A
15
D
16
17
18
19
D
37°
见习题
见习题
20
见习题
1．等腰三角形的两______相等，简写成“等边对等角”．这里要注意：“等边对等角”是在等腰三角形中．
底角
2．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的平分线所在的直线．等腰三角形底边上的高、中线及______________互相重合．(简称“三线合一”)
顶角的平分线
3．等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于________；等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴．等边三角形也称为正三角形．
60°
3
1．【中考·新疆】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D为( )
A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
B
2．【2020·青海】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
【点拨】分两种情况讨论：顶角为70°，底角为70°.
D
3．【中考·包头】若等腰三角形的周长为10
cm，其中一边长为2
cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
A
A．12
B．10
C．8
D．6
B
5．【中考·淮安】若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________．
65°
6．【中考·南通】一个等腰三角形的两边长分别为4
cm和9
cm，则它的周长为________cm.
22
36
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，则下列结论错误的是( )
A．∠BAD＝∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C
D．∠BAC＝∠B
D
9．如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
10．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
D
11．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE也是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
A
12．【中考·湘潭】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝________．
30°
13．【中考·泰州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B＝( )
?
?
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
【答案】B
【点拨】∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C.
∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA.∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B.设∠B＝x°，则∠DAC＝∠C＝x°，
14．【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D等于( )
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
A
15．【中考·泰安】如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
【答案】D
【点拨】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.
∴△AMK≌△BKN(S.A.S.)，∴∠AMK＝∠BKN.
∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.
16．【中考·滨州】如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．50°
B．51°
C．51.5°
D．52.5°
【点拨】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，
∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED.
∵∠B＋∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°.
∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，
∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠BDE
＝180°－50°－77.5°＝52.5°.
【答案】D
17．【中考·遵义】如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________．
37°
18．【中考·娄底】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3，求BF的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°.
又∵∠B＝39°，
∴∠CAD＝∠BAD＝90°－39°＝51°.
(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
证明：∵EF∥AB，∴∠F＝∠BAD.
又∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠F，∴AE＝FE.
20．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数
会改变吗？说明理由．
解：∠DAC的度数不会改变．理由如下：
∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C.∴∠AED＝2∠C.
∵∠BAE＝90°，BA＝BD，
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°.即∠DAC的度数不会改变．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．(共27张PPT)
13.1 命题、定理与证明
第13章 全等三角形
1. 命 题
答案显示
1
2
3
4
B
B
D
①④
5
见习题
提示：点击
进入习题
新知笔记
1
2
结论
结论
答案显示
6
7
8
9
见习题
B
A
B
10
A
11
12
13
14
D
A
B
①③
15
见习题
16
17
见习题
见习题
1．判断某一件事情的语句叫做命题．命题由条件和结论两部分组成，通常写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是________．
结论
2．
分类：
真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题.
假命题：条件成立，_____________不成立的命题.
结论
1．【2020·雅安】下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
B
2．【2021·成都期末】下列句子中，属于命题的是( )
①三角形的内角和等于180度；②对顶角相等；
③过一点作已知直线的垂线；④两点确定一条直线．
A．①④
B．①②④
C．①②③
D．②③
B
3．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是( )
A．平行
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线平行于同一条直线
D
4．【2021·铜仁期末】下列语句是命题的是________．
①如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；
②请画出两条互相平行的直线；
③过直线外一点作已知直线的垂线；
④两点之间，线段最短．
①④
5．【教材改编题】命题“两锐角的和是钝角”的条件是__________________，结论是____________________；命题“若a＞b，则a2＞b2”的条件是____________，结论是_________________________________．
a2>b2
两个角是锐角
两个角的和是钝角
a>b
6．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出命题的条件和结论．
(1)等角的补角相等；
解：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．条件：两个角相等，结论：这两个角的补角相等．
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)三角形的一个外角大于三角形的每一个内角．
解：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．条件：两个角不相等，结论：这两个角不是对顶角．
如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角大于三角形的每一个内角．条件：一个角是三角形的一个外角，结论：这个角大于三角形的每一个内角．
7．【2021·南阳社旗县新时代国际学校月考】命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③同位角相等；④相等的角是对顶角．其中假命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
8．【中考·重庆】下列命题是真命题的是( )
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
A
9．下列说法正确的是( )
A．“同位角相等”的条件是“两个角相等”
B．“相邻的角是邻补角”是假命题
C．“如果ab＝0，那么a＋b＝0”是真命题
D．“任何偶数都是4的倍数”是真命题
B
10．【2021·茂名期末】下列选项中，可以用来说明命题“若x2>9，则x>3”是假命题的反例是( )
A．x＝－4
B．x＝－3
C．x＝4
D．x＝3
A
11．【中考·厦门】已知命题A：任何偶数都是8的整数倍，在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( )
A．2k
B．15
C．24
D．42
D
12．【2021·北京丰台区专题练习】下列选项中，可以用来证明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的反例是( )
A
13．下列命题是真命题的有( )
①若a＞0，b＞0，则a＋b＞0；
②若a≠b，则a2≠b2；
③两直线平行，同位角相等；
④若xy＞0，则x＞0，y＞0.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】①③正确，②可举反例：1≠－1，④可举反例：x<0，y<0.
B
14．下列说法正确的是________．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②“若ac＞bc，则a＞b”是真命题；
③一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变；
①③
15．举反例说明下列命题是假命题．
(1)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
解：∠A＝90°，∠B＝90°，∠A与∠B互补，但∠A与∠B均为直角．
|－3|＝|3|，但－3≠3.(所举反例不唯一)
(3)内错角相等；
(4)一个正数与一个负数之和是0.
解：如图，∠1与∠2是内错角，
但∠1≠∠2.
3与－5的和为－2，不为0.(所举反例不唯一)
16．(1)如图所示，请在“AB∥CD，∠A＝53°，∠CDA＝53°”，三项中选择两项作为条件，一项作为结论，写出一个命题：如果________且__________，那么_____________；
AB∥CD
∠A＝53°
∠CDA＝53°
(2)说明你写的命题是真命题．
解：∵AB∥CD，∠A＝53°，
∴∠CDA＝∠A＝53°(两直线平行，内错角相等)．
【点拨】答案不唯一．
17．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．
①CE∥AB；
②∠A＝∠B；
③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件可得哪几个真命题？请按“????”的形式一一书写出来；
解：由题中条件可得三个真命题，
分别是命题1：①②?③；
命题2：①③?②；
命题3：②③?①.
(2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行说明．
解：(答案不唯一)选择命题2：①③?②.
说明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠A＝∠B.(共25张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第6课时 斜边直角边
答案显示
1
2
3
4
A
D
A
见习题
5
7
新知笔记
直角边
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
见习题
C
B
D
10
C
11
12
13
14
C
C
见习题
见习题
15
见习题
斜边和一条________分别相等的两个直角三角形全等．
简记为H.L.(或斜边直角边)．其书写模式为：
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
直角边
1．【2021·成都期末】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判定Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是( )
A．H.L.
B．A.S.A.
C．S.A.S.
D．S.S.S.
A
2．【2021·廊坊期末】如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD分别交BE，BC于点F，D，AE＝BE，若依据“H.L.”说明△AEF≌△BEC，则下列所添条件合理的是( )
A．EF＝CE
B．∠AFE＝∠C
C．BD⊥AD
D．AF＝BC
D
3．【中考·内蒙古】如图，BD＝CF，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为( )
A．44°
B．36°
C．46°
D．34°
A
【点拨】易得△BED≌△CDF(H.L.)，
∴∠DFC＝∠EDB＝180°－134°＝46°，
∴∠EDF＝180°－90°－46°＝44°.
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是____________________．
AB＝DC(答案不唯一)
5．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝________.
7
6．【教材改编题】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵DE＝DF，
∴△BED≌△CFD(H.L.)，∴∠B＝∠C.
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
C
8．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′
中，∠C＝∠C′＝90°，那么下
列条件中，不能使Rt△ABC≌
Rt△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
B
9．【中考·莆田】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件后，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PD
【答案】D
【点拨】∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP.又∵OP＝OP，∴A.由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据“A.A.S.”可知成立；B.OC＝OD，根据“S.A.S.”可知成立；C.∠OPC＝∠OPD，根据“A.S.A.”可知成立；D.PC＝PD，无“S.S.A.”，故不一定成立．故选D.
10．【2021·鹤壁淇滨中学期中】如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD＝BE，DC＝EC，则不正确的结论是( )
A．Rt△ACD和Rt△BCE全等
B．OA＝OB
C．E是AC的中点
D．AE＝BD
C
11．【2021·南阳期末】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD.如果AC＝3
cm，那么AE＋DE＝( )
A．2
cm
B．4
cm
C．3
cm
D．5
cm
C
12．【中考·大连】如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为( )
A．1
B．1或3
C．1或7
D．3或7
【答案】C
【点拨】当P在BC上时，BP＝CE＝2，∴t＝1；
当P在AD上时，AP＝2，∴t＝7.
13．【2021·武汉期中】如图，已知AB＝CD，CE＝BF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，求证：CD∥AB.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°.
又∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，即CF＝BE.
在Rt△DFC和Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB(H.L.)，
∴∠C＝∠B，∴CD∥AB.
14．【教材改编题】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F.求证：CE＝DF.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L.)，∴∠CBA＝∠DAB.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
∴△BCE≌△ADF(A.A.S.)，∴CE＝DF.
15．【易错题】如图，∠C＝∠D，AC＝AD.
求证：BC＝BD.
证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N，∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
∴△ACM≌△ADN(A.A.S.)，∴AM＝AN，CM＝DN.
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(H.L.)，∴BM＝BN.
∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.(共26张PPT)
阶段综合训练
第13章 全等三角形
【范围：13.3.1～13.5.3】
答案显示
6
7
8
9
3
cm
80°
①②③④
见习题
10
见习题
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
1
2
3
4
D
C
B
B
5
B
提示：点击
进入习题
1．【2021·驻马店期末】如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝4，则△ABC的周长为( )
A．9
B．8
C．6
D．12
D
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝( )
A．100°
B．80°
C．50°
D．40°
C
3．【中考·湖州】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
B
4．【中考·黄冈】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
B
5．【2021·河南二模】如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连结CE，∠B＝70°.则∠BCE的度数为( )
A．55°
B．50°
C．40°
D．35°
【点拨】如图，连结BE，∵AB＝AC，
AE平分∠BAC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠ABC＝70°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝40°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝20°.
∵DE垂直平分AB，∴AE＝EB，∴∠ABE＝∠BAE＝20°，
∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝70°－20°＝50°，
故选B.
【答案】B
6．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ADC＝60°，将△ADC沿AD折叠，使点C落在点C′的位置，若BC＝6
cm，则点B与点C′间的距离是________．
3
cm
7．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且∠CDE＝20°，现将△CDE沿直线DE折叠得到△FDE，连结BF，则∠BFE的度数是________．
【答案】80°
【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°.∵AD⊥BC，
∴BD＝CD.由折叠得CD＝DF，∠DFE＝∠C＝60°，
∠CDE＝∠FDE＝20°，∴BD＝DF.∴∠DBF＝∠DFB.
∵∠CDF＝∠DBF＋∠DFB＝2∠DFB，
∴∠BFE＝∠DFB＋∠DFE＝80°.
8．如图，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，
其中正确结论的序号是__________．
①②③④
9．【中考·
徐州】(A类)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD.求证：∠A＝∠C；
(B类)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C.求证：AD＝CD.
证明：(A类)连结AC.
∵AB＝BC，AD＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，即∠BAD＝∠BCD.
(B类)连结AC.∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.
又∵∠BAD＝∠BCD，即∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.
10．等腰三角形ABC的底边BC长为5
cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长的差为3
cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为AC边上的中线，
∴AD＝CD.分以下两种情况讨论：
①当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3
cm时，有AB－BC＝3
cm.
∵BC＝5
cm，∴AB＝8
cm.
②当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3
cm时，有BC－AB＝3
cm.
∵BC＝5
cm，∴AB＝2
cm.
但是当AB＝2
cm时，△ABC的三边长分别为2
cm，2
cm，5
cm，而2＋2＜5，不合题意，舍去．故腰长为8
cm.
11.【2021·周口期末】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，BD＝CE.
(1)求证：∠ABD＝∠ACE；
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°.
∵AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.
(2)若∠BCE＝65°，求∠DBC与∠ADB的度数．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵∠BCE＝65°，∴∠ACE＝20°，∴∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝25°，
∠ADB＝90°－∠ABD＝70°.
12．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.
证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(S.A.S.)，
∴∠ADB＝∠CDB，即DP是∠ADC的平分线．
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
13．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD.
(1)求证：△COD是等边三角形；
证明：由题意知OC＝DC，
∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
解：△AOD是直角三角形．
理由如下：∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与点A，B不重合)，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与边BC相交于点D.
(1)求证：PD＝QD；
证明：如图，过点P作PF∥AQ交BC于点F.
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.
∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠Q.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ.
在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD(A.A.S.)，∴PD＝QD.
(2)过点P作BC的垂线，垂足为点E，在点P，Q移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度一直保持不变的线段？请说明理由．
解：ED的长度一直保持不变．
理由：由(1)知PB＝PF.
∵PE⊥BF，∴BE＝EF.
由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，
∴ED的长度为定值．(共27张PPT)
阶段综合训练
第13章 全等三角形
【范围：13.1.1～13.2】
答案显示
6
7
8
9
C
D
见习题
见习题
10
见习题
1
2
3
4
C
B
B
C
5
C
提示：点击
进入习题
答案显示
16
17
18
见习题
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
11
12
13
14
①②③④
20
见习题
见习题
15
见习题
1．下列语句是命题的是( )
A．延长线段AB到C
B．用量角器画∠AOB＝90°
C．两点之间线段最短
D．任何数的平方都不小于0吗？
C
2．【2021·西安
灞欧亚中学期末】下列四个命题中为真命题的是( )
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若∠1和∠2是对顶角，则∠1＝∠2
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．若a2＝b2，则a＝b
B
3．【中考·无锡】对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A．a＝3，b＝2
B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝－1
D．a＝－1，b＝3
B
4．下列命题中，可以作为定理的个数是( )
①两直线平行，同位角相等；②互补的两个角是同旁内角；③等角的补角相等；④同角的余角相等；
⑤经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2
B．3
C．4
D．5
C
5．如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是( )
A．EC＝BD
B．EF∥AB
C．DF＝BC
D．AC∥FD
C
6．【中考·成都】如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
C
7．【中考·南京】如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
D
8．命题“三条边对应相等的两个三角形全等”的条件是____________________________，结论是__________________，改写成“如果……，那么……”的形式是______________________________________
_________________________________．
两个三角形的三条边对应相等
两个三角形全等
如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
9．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1＝∠2.
求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)，
∴______＝______＝90°(
)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴______＝______(等式的性质)，
∴BE∥CF(
)．
∠ABC
∠DCB
垂直的定义
∠EBC
∠FCB
内错角相等，两直线平行
10．如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，补充一个条件：______________________________，使得△ADB≌△CBD.
∠ADB＝∠CBD(答案不唯一)
11．如图，AD＝BC，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，有下列结论：
①△ADE≌△CBF；②AD∥CB；
③AB∥CD；④AE＝CF.
其中正确的是________________．(只填序号)
①②③④
12．如图，已知∠DCE＝∠A＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，BE＝20
cm，则AC＝________cm.
20
13．【2021·濮阳期末】如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC，求证：∠B＝∠E.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE.
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(S.A.S.)，∴∠B＝∠E.
14.【中考·衡阳】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
证明：在△ABE和△DCE中，
AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE(S.A.S.)．
(2)当AB＝5时，求CD的长．
解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD.
∵AB＝5，∴CD＝5.
15．【2021·长治期末】如图，点E，F在线段BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD∥CB，DE＝BF，求证：AF＝CE.
证明：∵DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF.
∴DF＝BE.
∵AF⊥BD，CE⊥BD，∴∠AFD＝∠CEB＝90°.
∵AD∥CB，∴∠B＝∠D.
∴△ADF≌△CBE.
∴AF＝CE.
16．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，BC＝3，求DC的值．
解：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE.
∴∠ACB＝∠ECD.
在△ACB和△ECD中，∠A＝∠E，AC＝EC，
∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB≌△ECD(A.S.A.)，
∴BC＝DC.∵BC＝3，∴DC＝3.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在△ABD和△ACE中，∠ADB＝∠AEC，
∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE(A.A.S.)．
18．【2021·长春期末】如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE.
(1)求证：AB＝CD.
证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在Rt△ABC与Rt△CDE中，
∵AC＝CE，BC＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(H.L.)，
∴AB＝CD.
(2)求∠ACE的度数．
解：∵△ABC≌△CDE，∴∠A＝∠DCE.
∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°.
∴∠DCE＋∠ACB＝90°.
∴∠ACE＝180°－(∠DCE＋∠ACB)＝180°－90°＝90°.(共26张PPT)
13.
2 三角形全等的判定
第13章 全等三角形
第2课时 边角边
答案显示
1
2
3
4
A
A
C
C
5
D
新知笔记
夹角
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
B
B
30°
①②③
10
见习题
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
两边及其________分别相等的两个三角形全等．
简记为S.A.S.
(或边角边)．其书写模式为：
夹角
∴△ABC≌△A′B′C′.
1．如图所示的三角形全等的是( )
?
?
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
A
2．【2021·喀什地区期末】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用S.A.S.证明△ABC≌△DCB需添加的条件是( )
A．AB＝DC
B．∠A＝∠D
C．∠ACB＝∠DBC
D．AC＝DB
A
3．如图，不添加辅助线，下列条件中可以直接判定△ABD≌△CBD的是( )
A．AB＝CB，∠ADB＝∠CDB
B．AB＝CB，∠A＝∠C
C．AB＝CB，∠ABD＝∠CBD
D．AB＝CD，∠ADB＝∠CDB
C
4．【2021·南阳社旗县新时代国际学校月考】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE
，要用S.A.S.证明△ABC
≌△DEF，可以添加的条件是( )
A．∠A＝∠D
B．AC∥DF
C．BE＝CF
D．AC＝DF
C
5．如图，已知AB＝AC，E是角平分线AD上任意一点，则图中全等三角形共有( )
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
D
6．如图，AO是∠BAC和∠DAE的平分线，AD＝AE，AB＝AC，则线段BD和CE的大小关系是( )
A．BD>CE
B．BD＝CE
C．BD
D．无法确定
B
7．【教材改编题】如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9
cm，则容器的内径A′B′为( )
A．8
cm
B．9
cm
C．10
cm
D．11
cm
B
8．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，若∠B＝30°，则∠D的度数为________．
30°
9．【中考·南京】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；
③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【点拨】∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥BD，故①正确．在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(S.A.S.)，∴CB＝CD，故②③正确．
10．【2020·吉林】如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并且使DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连结BE.
求证：△DEB≌△ABC.
证明：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB.
在△DEB和△ABC中，
∴△DEB≌△ABC(S.A.S.)．
11．【2020·无锡】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.
求证：(1)△ABF≌△DCE；
证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
∵BE＝CF，
∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(S.A.S.)．
(2)AF∥DE.
证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE.
12．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(S.A.S.)．∴BC＝DE.
13．【中考·湘潭】如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O.
(1)求证：△DAF≌△ABE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB.
在△DAF和△ABE中，
∴△DAF≌△ABE(S.A.S.)．
(2)求∠AOD的度数．
解：由(1)知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF＝∠BAE.
∵∠ADF＋∠DAO＝∠BAE＋∠DAO＝∠DAB＝90°，
∴∠AOD＝180°－(∠ADF＋∠DAO)＝90°.
14．如图，AD是△ABC中BC边上的中线．
证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE.
∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴CD＝BD.
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD(S.A.S.)．∴AC＝EB.
在△ABE中，AE专题技能训练(三)
第13章 全等三角形
训练 全等三角形的性质与判定的综合运用
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
C
10
30°
11
见习题
1
2
3
4
A
见习题
A
C
5
见习题
提示：点击
进入习题
1．对于△ABC与△DEF，已知∠A＝∠D，∠B＝∠E，则下列条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BC＝DF；④AB＝EF.能判定它们全等的有( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
A
2．如图，点D是△ABC中BC边上一点，且AD⊥BC，点E是AD上一点，∠1＝∠2.
求证：∠BAE＝∠CAE.
证明：∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠CDE＝90°.
∴△BED≌△CED(A.A.S.)，∴BD＝CD.
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)，∴∠BAE＝∠CAE.
3．【模拟·信阳】如图，将△ABC平移后得到△DEF，若∠A＝44°，∠EGC＝70°，则∠ACB的度数是( )
A．26°
B．44°
C．46°
D．66°
A
4．【2021·驻马店期末】Rt△ABC、Rt△DEF如图放置，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE.若DF＝a，BC＝b，CF＝c.则AE的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a＋b－c
D．a－b＋c
【点拨】∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠E＝90°，∴∠B＝∠E.
∴△ABC≌△DEF(A.A.S.)．∴AC＝DF，BC＝EF，
∵DF＝a，BC＝b，CF＝c，AE＝AC＋EF－CF，
∴AE＝a＋b－c.
【答案】C
5．【模拟·丹东】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE.
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°.
∵∠A＝90°，
∴△ABD≌△ECB(A.A.S.)．
∴AD＝BE.
6．【中考·铜仁】如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥BF.
证明：∵AD＝BC，
∴AC＝BD.在△ACE和△BDF中，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF(S.S.S.)，
∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.
7．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，点B，D，E在同一条直线上．试说明∠3＝∠1＋∠2.
解：在△ABD和△ACE中，
∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE.
∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.
∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，∴∠3＝∠1＋∠2.
8．【2021·开封期末】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，ED⊥FG，交AB于点E，连结EG、EF.
(1)求证：BG＝CF；
证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD.
∵D是BC的中点，∴BD＝DC.
∴△BDG≌△CDF，∴BG＝CF.
(2)请你判断：BE＋CF与EF的大小关系，并加以证明．
解：BE＋CF>EF，
由△BDG≌△CDF得DG＝DF.
∵ED⊥GF，∴EG＝EF.
∵CF＝BG，BG＋BE>EG，
∴BE＋CF>EF.
9．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图是纸伞的示意图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角(∠BAC)，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，则△AED≌△AFD的依据是( )
A．S.A.S.
B．A.S.A.
C．S.S.S.
D．A.A.S.
【点拨】根据伞的结构，知AE＝AF，伞骨DE＝DF.在△ADE和△ADF中，AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF(S.S.S.)．故选C.
【答案】C
10．如图是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点为支撑点O，且绕点O只能上下转动，如果∠OCA＝90°，∠OAC＝15°，则小孩玩耍时，跷跷板绕点O可以转动的最大角度为________．
30°
11．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，点C重合)，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE.
(1)如图①，当点D在边BC上时，
①求证：△ABD≌△ACE；
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
又∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC，
∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)．
②直接判断结论BC＝DC＋CE是否成立．
解：BC＝DC＋CE
成立．
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
解：CE＝BC＋DC.
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
又∵∠BAD＝60°＋∠CAD，∠CAE＝60°＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)，
∴BD＝CE.又∵BD＝BC＋DC，∴CE＝BC＋DC.
(3)如图③，当点D在边CB的延长线上时，且点A，点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC，DC，CE之间存在的数量关系．
解：DC＝BC＋CE.