七年级 全等三角形复习

第五章 三角形
一、三角形及其有关概念
1、三角形：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：
（1）三角形的两边之和大于第三边。
（2）三角形的两边之差小于第三边。
（3）作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：
（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：
(1)三角形按边分类：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
(2)三角形按角分类：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：
（1）三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
8、三角形的面积：
三角形的面积=×底×高
练习）：
1．一定在△ABC内部的线段是（　）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
2．下列说法中，正确的是（　）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）
4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
5．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（　）
A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0） B．三条线段的比为4∶6∶10
C．3cm，8cm，10cm D．3a，5a，2a＋1（a＞0）
6．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　）
A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定
7．两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（　）种
A．3 B．4 C．5 D．6
8．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（　）个 A．4 B．6 C．8 D．10
9．各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．三角形所有外角的和是（　）
A．180° B．360° C．720° D．540°
11．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（　）
A．0°＜α＜90°; B．60°＜α＜180°; C．60°＜α＜90°; D．60°≤α＜90°
12．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（　）
A．锐角或直角三角形; B．钝角或锐角三角形;C．直角三角形; D．钝角或直角三角形
13．已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（　）
A．小于直角; B．等于直角; C．大于直角; D．大于或等于直角
14．如图:（1）AD⊥BC，垂足为D，则AD是________的高，
∠________＝∠________＝90°；
（2）AE平分∠BAC，交BC于点E，则AE叫________，
∠________＝∠________＝∠________，AH叫________；
（3）若AF＝FC，则△ABC的中线是________；
（4）若BG＝GH＝HF，则AG是________的中线，AH是________的中线．
15．如图，∠ABC＝∠ADC＝∠FEC＝90°．
（1）在△ABC中，BC边上的高是________；
（2）在△AEC中，AE边上的高是________；
（3）在△FEC中，EC边上的高是________；
（4）若AB＝CD＝3，AE＝5，则△AEC的面积为________．
16．在等腰△ABC中，如果两边长分别为6cm、10cm，则这个等腰三角形的周长为________．
17．五段线段长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长共可以组成________个三角形．
18．已知三角形的两边长分别为3和10，周长恰好是6的倍数，那么第三边长为________．
19．一个等腰三角形的周长为5cm，如果它的三边长都是整数，那么它的腰长为________cm．
20．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则∠A＝______；∠B＝______；∠C＝______．
21．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I．
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BIC＝________；
（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BIC＝________；
（3）若∠A＝60°，则∠BIC＝________；
（4）若∠A＝100°，则∠BIC＝________；
（5）若∠A＝n°，则∠BIC＝________．
22．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．
画出：（1）∠ABC的平分线；
（2）边AC上的中线；
二、全等图形：
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
性质：全等图形的形状和大小都相同。
三、全等三角形
1、全等三角形及有关概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
4、三角形全等的判定：
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
例题讲解：
例1：图形中存在三组三角形：① △ABD与△ACD；② △ABE与△ACE；③ △BED与△CBE
如果任意一组全等的话，试说明其他两组也会全等。
类似的图形
若点E在下方 图4为过D点作两边的垂线 图5为图3的图横过来，E点位置任意
例2：图6 若△ABO≌△DCO
1):若连接BC，可得到图7，试证明：
△ABC≌△DCB，
（2）延长CD，AB，可得到图8，
求证：△ACF≌△DBF
图9，图10为此类型图的不同摆放，具体解题思路相同
总结：全等三角形的综合运用关键点在于把相等的边（角）与相对应的三角形对应起来，能够做到根据已有的条件，再去寻找需要的条件说明全等，然后利用全等三角形的性质，得到新的边（角）相等，去解决新的问题。
常见基础图形二及其变型：
如图，小明不慎将一块三角形模具打碎成了两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？为什么？
一、填空题:(每题3分,共15分)
1. 如图1,已知AC=BD,要使得△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是________.毛
(1) (2) (3)
2.如图2,(1)连结AD后,当AD=_____,AB=_____,BD=_____时可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.
(2)连结BC后,当AB=________,BC=_______,AC=______时,可推得△ABC ≌△DCB.
3.如图3,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,则∠BDA=_______.
4.如图4,若AB=CD,AD=CB,∠B=25°,则∠D=________°.
(4) (5) (6)
5.如图5,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE=____°.
二、选择题:(每题4分,共32分)
6.在下列各组的三个条件中,不能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=DE,BA=EF
C.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠F D.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE
7.下列说法正确的是( )
A.所有的等腰三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.有两边对应相等的两个等腰三角形全等
D.腰和顶角都相应相等的两个等腰三角形全等
8.如图6所示,AB=CD,AC=BD,则下列说法正确的是( )
A.可用“SAS”证△AOB≌△DOC B.可用“SAS”证△ABC≌△DCB
C.可用“SSS”证△AOB≌△DOC D.可用“SSS”证△ABC≌△DCB
9.如图7,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD等于( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
10.判断下列结论中正确的个数, 设有两边和一角对应相等的两个三角形:①若这个角的对边恰为这两边中的大边,则两三角形全等;②若这两个三角形都是锐角三角形,则这两个三角形全等;③若这个角是锐角,则这两个三角形全等;④若这个角是这两边的夹角,则这两个三角形全等;⑤若这两边相等,则这两个三角形全等; ⑥若这两个三角形都是钝角三角形,则这两个三角形全等,其中正确的个数为( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
三、解答题:(共53分)
11.如图所示,BC=DE,BE=DC,求证:(1)BC∥DE;(2)∠A=∠ADE.(8分)
12.已知如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD 中线,求证:AC=2AE.(8分)
13.已知如图,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点E在DC上,求证:AD+BC=AB.(8分)

图1
图3
图5
图4
图6
图7
图8
图9
图10