安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·承德期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】特称命题的否定是全称命题，所以是“ ， ”，
故答案为：C。
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“ ”与“ ”互换，同时结论否定．
2．（2020高二下·太和开学考）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意可得 ， ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意由双曲线的简单性质代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二下·太和开学考）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ）
A．2人 B．3人 C．5人 D．4人
【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】根据题设知，中年人所占的比例为 ，所以在抽取的一个容量为12的样本中，中年人中应抽取 人.
故答案为：D.
【分析】根据题意首先求出中年人所占的比例，再由分层抽样的定义即可计算出结果。
4．（2020高二下·太和开学考）椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，所以 ， ，所以 ，∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据题意由椭圆的标准方程即可得出，结合椭圆里a、b、c的关系计算出m的值即可。
5．（2020高二下·太和开学考）已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上三个不同的点，若 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据题意由抛物线的定义结合已知条件整理即可得出。
6．（2018高二上·齐齐哈尔期中）在区间[-3，9]上任取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ，则实数m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：区间[-3，9]的区间长度为12，若概率为 ，则对应区间长度为 ，
由|x|≤m，得-m≤x≤m且
若0 m 3,则[-m,m] [-3，9]=[-m,m],对应区间长度小于等于6，不符合题意。
若m＞3，则[-m,m] [-3，9]=[-3,m]，根据对应区间长度为10，易知3+m=10，即m=7．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合条件概率求概率公式，用分类讨论的方法求出实数m的值。
7．（2020高二下·太和开学考）若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（ ）
A．9 B．10 C．16 D．17
【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ，此时 ，循环结束，输出k的值为17．
故答案为：D.
【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
8．（2020高二下·太和开学考）“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由 ，得直线 过点 ．又点 在椭圆 内部，故 直线 与椭圆 有公共点，
而直线 与椭圆 有公共点不一定 a的取值不确定，进而即可得出答案 ．
所以“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先求出当直线过定点，而点在椭圆的内部由此得出椭圆与直线必有两个公共点，而反过来直线与椭圆有两个交点的时候，a的取值不应定就是1由此即可得出答案。
9．（2020高二下·太和开学考）观察下列事实： 的不同整数解 的个数为4， 的不同整数解 的个数为8， 的不同整数解 的个数为12， 则 的不同整数解 的个数为（ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题观察可得；整数解的个数分别为；4,8,12，可发现； ， ， …
【分析】首先求出满足题意的整数解的个数，再由题意观察出规律由此计算出结果即可。
10．（2020高二下·太和开学考）若直线 与双曲线 在坐标轴上有公共点，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设双曲线的半焦距为c，由条件知， ，
焦点到渐近线的距离为 ，所以 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意由双曲线的性质即可求出a的值再由点到直线的距离公式计算出焦点到渐近线的距离为 ，结合双曲线里a、b、c的关系计算出离心率的值即可。
11．（2020高二下·太和开学考）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故答案为：D.
【分析】根据题意即可得出获得一等奖的团队只有一个这个先决条件，然后分别思考甲、丁分别为一等奖的情况，根据四人预测情况可得到正确结果．
12．（2020高二下·太和开学考）过抛物线 焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段 为直径的圆与直线 相切，则直线l的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】当直线l垂直与x轴时， 解得 ，
以 为直径的圆为 与直线 相离，
故直线 不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设 ，
直线l的方程为 ，
则 化简得 ．
圆的半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
解得 ，故直线l的方程为 或 ．
故答案为：B．
【分析】首先考虑直线的斜率不存在时结合直线与圆的位置关系即可求出不符合题意，再根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于p的两根之和与两根之积的代数式，代入到圆的半径公式结合点到直线的距离公式即可计算出k的值，由此求出直线的方程。
二、填空题
13．（2020高二下·太和开学考）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．直方图中的a= ．
【答案】3
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图及频率和等于1可得：0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，
解得a=3.
【分析】根据题意由频率直方图的数据以及性质即可计算出结果即可。
14．（2020高二上·漳州期中）若“ x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[3，+∞）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则“ ”能推出“ ”成立，“ ”不能推出“ ”成立，
所以由题意可设 ， ； 即 ，
则实数 的取值范围是 ， ，
故答案为： ，
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
15．（2020高二下·太和开学考）在正方体 中，点E是线段 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体边长为1，则 ，
．
又因为异面直线所成的角的范围是 ，所以直线 与 所成角的余弦值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出异面直线所成的角。
16．（2020高二下·太和开学考）已知直线 与椭圆 交于 两点,若椭圆上存在一点 使得 面积最大,则点 的坐标为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解:由题意可得弦长 为定值,要使 面积最大,
则只要点 到直线 的距离最大,
当平行于直线 的直线与椭圆相切时,
对应的切点到直线 的距离最大或最小.
设直线
直线与椭圆联立得 ,
化简得 ,
则 ,解得 .
当 时,直线 与直线 的距离为 .
当 时,直线 与直线 的距离为
∴当 时, ,解得 ,
代入直线 ,解得 即点P的为坐标 .
故答案为:
【分析】根据题意分析可得当平行于直线 的直线与椭圆相切时,对应的切点到直线 的距离最大或最小，再由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合题意令方程的判别式等于零求出m的值，再结合点到直线的距离公式求出最值，由题意计算出当取得最大值的点P的坐标即可。
三、解答题
17．（2020高二下·太和开学考）已知函数 ， .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ， ，
当 时， 无解；
当 时，由 ，得 ；
当 时， 恒成立.
所以 的解集为 .
（2）解：由 有解，得 有解，
而 ，
所以， ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)首先根据题意由绝对值的几何意义即可得到函数g(x)的解析式，再求解出不等式的解集即可。
(2)根据题意即可得到，结合绝对值三角不等式的解法即可得出，进而得到结合一元二次不等式的解法求解出m的取值范围即可。
18．（2020高二下·太和开学考）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起前五年设备每年每台的平均维护费用如下表：
前x（年） 1 2 3 4 5
维护费y（万元） 1.1 1.5 1.8 2.2 2.4
注， ， ．
（1）若维护费y（万元）与年份x（年）之间存在线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程；
（2）据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每台的平均维护费用．
【答案】（1）解： ， ， ， ，
所以 ，
，
所以所求回归方程为 ．
（2）解：据（1）求解知 ，
所以当 时， （万元）．
即据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每年每台平均维护费用为3.45万元．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)首先由图表的数据计算出样本点中心的坐标，再把数值代入到计算出的值由此即可计算出的值，从而求出线性回归方程。
(2)由(1)的结论把x=8求出即可得出的值即可。
19．（2020高二下·太和开学考）已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若AF＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值．
【答案】（1）解：由抛物线的定义可知，AF＝x1＋ ，
从而x1＝4－1＝3．
代入y2＝4x，解得y1＝± ．
∴点A的坐标为（3， ）或（3，－ ）．
（2）解：当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k（x－1）．
与抛物线方程联立 ，
消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则
由抛物线的定义可知，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A（1，2），B（1，－2），
此时AB＝4，所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义代入数值计算出点A的横坐标，再由抛物线的方程即可求出点A的纵坐标，由此即可得出点A的坐标。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合抛物线的定义即可求出， 当直线l的斜率不存在时，求出点A、B的坐标进而求出AB的最小值。
20．（2020高二下·太和开学考）某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生720人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这720人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次 第二批次 第三批次
女 72
男 180 132
已知在这720名学生中随机抽取1名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是 .
（1）求 的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取 名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是
所以第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）解：第一批次选取的三个学生设为 第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为 ，则从这 名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为：
共 个，
“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括：
共 个，
所以“两名同学至少有一个来自第一批次”的概率 .
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)根据题意由图标里的数据即可求出m、k的值。
(2)由分层抽样的定义结合题意计算出结果即可。
(3)根据题意首先求出基本事件的个数再由题意求出两名同学至少有一个来自第一批次” 的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。
21．（2020高二下·太和开学考）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．
【答案】（1）证明：因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，
所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．
又BB1 平面A1DE，A1D 平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，
因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，
同理可证，BC∥平面A1DE．
因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，
又B1C 平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．
（2）解：以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，
设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0）， =（0，0， ），
则 =（0，a， ）， =（a，2a，0）．
设平面ABB1的一个法向量 =（x1，y1，z1），
则 ，即 ，取z1=1，得 =（ ， ，1）．
同理，设平面BB1C的一个法向量 =（x，y，z），
又 =（0，-a， ）， =（-a，0，0），
由 ，得 ，取z=﹣1，得 =（0， ，-1），
所以 = = ，
故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值为： ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质得到线线平行，再由线面平行的性质定理以及判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 ABB1 的法向量的坐标，同理即可求出平面 BB1C 的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角A﹣BB1﹣C 的余弦值。
22．（2020高二下·太和开学考）已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦点和两个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴，垂足为 ，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆经过点 .
【答案】（1）解：由题意可知， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）证明：设直线 的斜率为 ， ，在直线 的方程为 ，
.
直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 得 ，
记 横坐标分別为 .由韦达定理知: ,
所以 ，于是 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为 .所以 ，
所以以线段 为直径的圆一定经过点 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意求出b、c的值，再由椭圆里a、b、c的关系即可计算出c的值，由此即可求出椭圆的方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线l与直线BM的方程，再联立直线BM与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合直线斜率的坐标公式代入即可得到，再由进而得出垂直关系即可 以线段 为直径的圆一定经过点 .
1 / 1安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·承德期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2020高二下·太和开学考）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·太和开学考）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ）
A．2人 B．3人 C．5人 D．4人
4．（2020高二下·太和开学考）椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4
5．（2020高二下·太和开学考）已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上三个不同的点，若 ，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2018高二上·齐齐哈尔期中）在区间[-3，9]上任取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ，则实数m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2020高二下·太和开学考）若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（ ）
A．9 B．10 C．16 D．17
8．（2020高二下·太和开学考）“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．（2020高二下·太和开学考）观察下列事实： 的不同整数解 的个数为4， 的不同整数解 的个数为8， 的不同整数解 的个数为12， 则 的不同整数解 的个数为（ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
10．（2020高二下·太和开学考）若直线 与双曲线 在坐标轴上有公共点，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
11．（2020高二下·太和开学考）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（2020高二下·太和开学考）过抛物线 焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段 为直径的圆与直线 相切，则直线l的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题
13．（2020高二下·太和开学考）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．直方图中的a= ．
14．（2020高二上·漳州期中）若“ x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ．
15．（2020高二下·太和开学考）在正方体 中，点E是线段 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是 ．
16．（2020高二下·太和开学考）已知直线 与椭圆 交于 两点,若椭圆上存在一点 使得 面积最大,则点 的坐标为 .
三、解答题
17．（2020高二下·太和开学考）已知函数 ， .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求 的取值范围.
18．（2020高二下·太和开学考）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起前五年设备每年每台的平均维护费用如下表：
前x（年） 1 2 3 4 5
维护费y（万元） 1.1 1.5 1.8 2.2 2.4
注， ， ．
（1）若维护费y（万元）与年份x（年）之间存在线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程；
（2）据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每台的平均维护费用．
19．（2020高二下·太和开学考）已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若AF＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值．
20．（2020高二下·太和开学考）某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生720人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这720人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次 第二批次 第三批次
女 72
男 180 132
已知在这720名学生中随机抽取1名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是 .
（1）求 的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取 名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
21．（2020高二下·太和开学考）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．
22．（2020高二下·太和开学考）已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦点和两个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴，垂足为 ，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆经过点 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】特称命题的否定是全称命题，所以是“ ， ”，
故答案为：C。
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“ ”与“ ”互换，同时结论否定．
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意可得 ， ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意由双曲线的简单性质代入数值计算出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】根据题设知，中年人所占的比例为 ，所以在抽取的一个容量为12的样本中，中年人中应抽取 人.
故答案为：D.
【分析】根据题意首先求出中年人所占的比例，再由分层抽样的定义即可计算出结果。
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，所以 ， ，所以 ，∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据题意由椭圆的标准方程即可得出，结合椭圆里a、b、c的关系计算出m的值即可。
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据题意由抛物线的定义结合已知条件整理即可得出。
6．【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：区间[-3，9]的区间长度为12，若概率为 ，则对应区间长度为 ，
由|x|≤m，得-m≤x≤m且
若0 m 3,则[-m,m] [-3，9]=[-m,m],对应区间长度小于等于6，不符合题意。
若m＞3，则[-m,m] [-3，9]=[-3,m]，根据对应区间长度为10，易知3+m=10，即m=7．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合条件概率求概率公式，用分类讨论的方法求出实数m的值。
7．【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ，此时 ，循环结束，输出k的值为17．
故答案为：D.
【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
8．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由 ，得直线 过点 ．又点 在椭圆 内部，故 直线 与椭圆 有公共点，
而直线 与椭圆 有公共点不一定 a的取值不确定，进而即可得出答案 ．
所以“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先求出当直线过定点，而点在椭圆的内部由此得出椭圆与直线必有两个公共点，而反过来直线与椭圆有两个交点的时候，a的取值不应定就是1由此即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题观察可得；整数解的个数分别为；4,8,12，可发现； ， ， …
【分析】首先求出满足题意的整数解的个数，再由题意观察出规律由此计算出结果即可。
10．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设双曲线的半焦距为c，由条件知， ，
焦点到渐近线的距离为 ，所以 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意由双曲线的性质即可求出a的值再由点到直线的距离公式计算出焦点到渐近线的距离为 ，结合双曲线里a、b、c的关系计算出离心率的值即可。
11．【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故答案为：D.
【分析】根据题意即可得出获得一等奖的团队只有一个这个先决条件，然后分别思考甲、丁分别为一等奖的情况，根据四人预测情况可得到正确结果．
12．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】当直线l垂直与x轴时， 解得 ，
以 为直径的圆为 与直线 相离，
故直线 不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设 ，
直线l的方程为 ，
则 化简得 ．
圆的半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
解得 ，故直线l的方程为 或 ．
故答案为：B．
【分析】首先考虑直线的斜率不存在时结合直线与圆的位置关系即可求出不符合题意，再根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于p的两根之和与两根之积的代数式，代入到圆的半径公式结合点到直线的距离公式即可计算出k的值，由此求出直线的方程。
13．【答案】3
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图及频率和等于1可得：0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，
解得a=3.
【分析】根据题意由频率直方图的数据以及性质即可计算出结果即可。
14．【答案】[3，+∞）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则“ ”能推出“ ”成立，“ ”不能推出“ ”成立，
所以由题意可设 ， ； 即 ，
则实数 的取值范围是 ， ，
故答案为： ，
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体边长为1，则 ，
．
又因为异面直线所成的角的范围是 ，所以直线 与 所成角的余弦值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出异面直线所成的角。
16．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解:由题意可得弦长 为定值,要使 面积最大,
则只要点 到直线 的距离最大,
当平行于直线 的直线与椭圆相切时,
对应的切点到直线 的距离最大或最小.
设直线
直线与椭圆联立得 ,
化简得 ,
则 ,解得 .
当 时,直线 与直线 的距离为 .
当 时,直线 与直线 的距离为
∴当 时, ,解得 ,
代入直线 ,解得 即点P的为坐标 .
故答案为:
【分析】根据题意分析可得当平行于直线 的直线与椭圆相切时,对应的切点到直线 的距离最大或最小，再由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合题意令方程的判别式等于零求出m的值，再结合点到直线的距离公式求出最值，由题意计算出当取得最大值的点P的坐标即可。
17．【答案】（1）解： ， ，
当 时， 无解；
当 时，由 ，得 ；
当 时， 恒成立.
所以 的解集为 .
（2）解：由 有解，得 有解，
而 ，
所以， ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)首先根据题意由绝对值的几何意义即可得到函数g(x)的解析式，再求解出不等式的解集即可。
(2)根据题意即可得到，结合绝对值三角不等式的解法即可得出，进而得到结合一元二次不等式的解法求解出m的取值范围即可。
18．【答案】（1）解： ， ， ， ，
所以 ，
，
所以所求回归方程为 ．
（2）解：据（1）求解知 ，
所以当 时， （万元）．
即据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每年每台平均维护费用为3.45万元．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)首先由图表的数据计算出样本点中心的坐标，再把数值代入到计算出的值由此即可计算出的值，从而求出线性回归方程。
(2)由(1)的结论把x=8求出即可得出的值即可。
19．【答案】（1）解：由抛物线的定义可知，AF＝x1＋ ，
从而x1＝4－1＝3．
代入y2＝4x，解得y1＝± ．
∴点A的坐标为（3， ）或（3，－ ）．
（2）解：当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k（x－1）．
与抛物线方程联立 ，
消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则
由抛物线的定义可知，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A（1，2），B（1，－2），
此时AB＝4，所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义代入数值计算出点A的横坐标，再由抛物线的方程即可求出点A的纵坐标，由此即可得出点A的坐标。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合抛物线的定义即可求出， 当直线l的斜率不存在时，求出点A、B的坐标进而求出AB的最小值。
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是
所以第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）解：第一批次选取的三个学生设为 第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为 ，则从这 名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为：
共 个，
“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括：
共 个，
所以“两名同学至少有一个来自第一批次”的概率 .
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)根据题意由图标里的数据即可求出m、k的值。
(2)由分层抽样的定义结合题意计算出结果即可。
(3)根据题意首先求出基本事件的个数再由题意求出两名同学至少有一个来自第一批次” 的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。
21．【答案】（1）证明：因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，
所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．
又BB1 平面A1DE，A1D 平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，
因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，
同理可证，BC∥平面A1DE．
因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，
又B1C 平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．
（2）解：以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，
设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0）， =（0，0， ），
则 =（0，a， ）， =（a，2a，0）．
设平面ABB1的一个法向量 =（x1，y1，z1），
则 ，即 ，取z1=1，得 =（ ， ，1）．
同理，设平面BB1C的一个法向量 =（x，y，z），
又 =（0，-a， ）， =（-a，0，0），
由 ，得 ，取z=﹣1，得 =（0， ，-1），
所以 = = ，
故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值为： ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质得到线线平行，再由线面平行的性质定理以及判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 ABB1 的法向量的坐标，同理即可求出平面 BB1C 的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角A﹣BB1﹣C 的余弦值。
22．【答案】（1）解：由题意可知， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）证明：设直线 的斜率为 ， ，在直线 的方程为 ，
.
直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 得 ，
记 横坐标分別为 .由韦达定理知: ,
所以 ，于是 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为 .所以 ，
所以以线段 为直径的圆一定经过点 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意求出b、c的值，再由椭圆里a、b、c的关系即可计算出c的值，由此即可求出椭圆的方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线l与直线BM的方程，再联立直线BM与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合直线斜率的坐标公式代入即可得到，再由进而得出垂直关系即可 以线段 为直径的圆一定经过点 .
1 / 1
