湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期数学摸底考试试卷

湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期数学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·湖北开学考）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·湖北开学考）下列函数既是偶函数又在 上递增的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2018高三上·黑龙江月考）已知角 的终边经过点P(4，－3)，则 的值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·湖北开学考）已知实数a b均不为零，且 .若 ，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·湖北开学考）已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C． D． 与 不相交
6．（2020高一下·湖北开学考）下列说法中正确的是（　　）
A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
B．若正方体的棱长扩大到原来的2倍，则其体积扩大到原来的 倍
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
D．用一个平面去截圆锥，若该平面过圆锥的轴，则所得的截面是一个等腰三角形
7．（2020高一下·湖北开学考）函数 的最小正周期为 ，若其图象向右平移 个单位后关于y轴对称，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020高一下·湖北开学考）在平行四边形ABCD中，M是对角线AC上一点，且 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
9．（2020高一下·湖北开学考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一下·湖北开学考）已知三棱锥 的四个顶点都在球O的表面上，且 ， ，若已知 ， ， ， ，则球O的体积是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·湖北开学考）形如 ( 是非负整数)的数称为费马数，记为 数学家费马根据 ， ， ， ， 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.1732年，欧拉算出 ，也就是说 不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.后来，人们又陆续找到了不少反例.如 不是质数那么 的位数为（　　）
(参考数据： )
A．21 B．20 C．19 D．18
12．（2020高一下·湖北开学考）已知函数 ， ，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高一下·湖北开学考）函数 的零点个数为　 　.
14．（2020高一下·湖北开学考）已知向量 ， ，且 ，若 ， 均为正数，则 的最小值是　 　.
15．（2020高一下·湖北开学考）在 中，已知 ， ， ，则 在 方向上的投影为　 　.
16．（2020高一下·湖北开学考）已知正方体 的棱长为1，点P在线段 上，若平面 经过点 ，则它截正方体 所得的截面的周长最小值为　 　.
三、解答题
17．（2020高一下·湖北开学考）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 .
（1）求 的值；
（2）若向量 与 平行，求实数 的值.
18．（2020高一下·湖北开学考）函数 部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
19．（2020高一下·湖北开学考）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， .
（1）求 和 的值；
（2）已知点M为BC的中点，求AM的长度.
20．（2020高一下·湖北开学考）如图，四棱锥 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为 ，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点， 平面GEFH.
（1）证明： ；
（2）若 ，平面 平面GEFH，求四边形GEFH的面积.
21．（2020高一下·湖北开学考）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知 突如其来 来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥 亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争 总体战 阻击战.随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔 (单位：分钟)满足： ， ，平均每趟快递车辆的载件个数 (单位：个)与发车时间间隔 近似地满足 ，其中 .
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔 的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为 (单位：元)，问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
22．（2020高一下·湖北开学考）已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，满足 ， 且 ， .
（1）求实数 的值及 和 的表达式；
（2）若关于 的方程 在区间 内恰有两个不等实数根，求常数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由已知，有 或 ，而 ，
∴ ，
故答案为：D
【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合B再由交集的定义即可得出结果。
2．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对 ，其既不是奇函数又不是偶函数，故 错误；
对 ，其是偶函数，且在区间 上单调递减，故 错误；
对 ，其是偶函数，且在区间 单调递增，故 正确；
对 ，其是偶函数，且在区间 是减函数，故 错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意由奇偶函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 的终边过点 ，
所以利用三角函数的定义，
求得 ，
，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义，求出inα和cosα即得。
4．【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：由 ， 为非零实数， 且 ，取 ， ， ，可排除 ；
， ，所以 ，故 正确．
故答案为：C．
【分析】根据题意由特殊值代入验证法对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】根据面面平行的的定义和性质知: 平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 ， ， 与 不相交，
故答案为：C
【分析】由面面平行的性质定理和判定定理即可得出 与 不相交即平行或异面直线，由此得出答案。
6．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与圆锥面的截线
【解析】【解答】对于A选项，将直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台，
若将直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体不是圆台，A选项错误；
对于B选项，设正方体的棱长为 ，则正方体的体积为 ，
将正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为 ，
正方体的体积为 ，B选项错误；
对于C选项，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后会交于一点，这样的几何体叫棱台，
若两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后不交于一点，这样的几何体不是棱台，C选项错误；
对于D选项，圆锥的轴截面为等腰三角形，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由圆台的性质定义即可判断出选项A错误；由正方体的体积公式即可验证出选项B错误；由棱台的定义即可判断出选项C错误；由由圆锥的轴截面即可判断出选项D正确；由此即可得到答案。
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知： ，得 ，函数关于 对称，所以， ，又因为 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】首先由周期的公式即可计算出，再由正弦函数图象的对称性结合题意即可求出。
8．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以
故答案为：D
【分析】结合题意由向量的加法运算性质法则计算出结果即可。
9．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 、 、 .
易知 是 的中位线，所以 且 .
又 且 ， 为 的中点，所以 且 ，所以 且 .
所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 就是异面直线 与 所成的角.
因为 ， ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，
所以 ， 且 .
由勾股定理得 ，所以 .
由勾股定理得 ， .
在 中，由余弦定理得 .
故答案为：C.
【分析】首先根据题意作出辅助线由中位线的性质得出线线平行，再由直三棱柱的几何性质即可得出 就是异面直线 与 所成的角，结合三角形内的几何计算关系求出边的大小再把数值代入到余弦定理计算出结果即可。
10．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由 ， ， ， 则由余弦定理有：
，即 ，
∴由正弦定理知△ 的外接圆半径： ，
由题意知： 面 ，又 ，三棱锥 的外接球半径：
，
由球的体积公式，有： ，
故答案为：C
【分析】首先由余弦定理结合已知条件即可计算出AC的值，再由正弦定理代入数值即可求出外接圆的半径，然后结合三棱锥的几何性质由勾股定理即可计算出球的半径，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。
11．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知： ，
∴ ，
故
故答案为：B
【分析】根据题意可得=，由对数的运算性质咋了即可得出从而得出答案。
12．【答案】C
【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】因为 ，且当 时， ；（1）当 ， 时， 与 只有一个交点，
要满足题意，只需当 时， 有两个根，
等价于 有两个非正根即可.
显然，该方程的两根为 和 ，
要满足题意，只需 且 即可，即 且 ，
又 ，故 ；（2）当 ， 时， 与 有2个交点，
要满足题意，只需当 时， 有一个根，
等价于 有一个非正根即可.
显然，该方程的两根为 和 ，
则只需 或 即可，
解得 或 ，又 ，
故 ；
综上所述： .
故答案为：C.
【分析】根据题意分情况讨论把问题转化为一元二次方程根的分布问题，结合根的个数即可得出m的取值范围。
13．【答案】2
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
解方程 ，可得 或 ，
，解得 或 .
因此，函数 的零点个数为2.
故答案为：2.
【分析】结合零点与方程根的关系首先求出方程的根，结合题意即可得出零点的个数。
14．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量 ， ，且 ，
，又 ， 均为正数，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为9．
故答案为：9．
【分析】首先由向量垂直的数量积坐标公式即可得到关于x与y的代数式，整理由基本不等式即可求出最小值即可。
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以 即 ，即 ，所以 解得 或
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 所以 在 方向上的投影为
故答案为：
【分析】首先已知条件结合数量积的运算公式即可求出角C的值，再由同角三角函数的平方关系整理即可得出关于cosA的一元二次方程，求解出结果再由角A的取值范围即可求出角A的大小，进而也求出角B的大小，借助投影的公式代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】当P点靠近C或与C重合时，
确定的平面 ，因为平面 ，所以 ，同理 ，
所以四边形 是平行四边形，平面 就是截面，
设 ，则 ，
所以 ， ，
，
可以看作 到 和 距离的最小值， 关于x轴的对称点 ，连接 ，其长度即为 的最小值，由勾股定理的 ，所以周长的最小值为 ，
当P点靠近 或与 重合时，
确定的平面 ，因为平面 ，所以 ，同理 ，
所以四边形 是平行四边形，平面 就是截面，
设 ，则 ，
所以 ， ，
证法同上，所以周长的最小值为 ，
综上所述，所以周长的最小值为 .
故答案为： .
【分析】首先由平面的基本性质确定平面再由面面平行的判定定理得到截面的形状，结合四边形周长的公式由二次函数的性质即可求出最小值。
17．【答案】（1）解： ；
（2）解： 向量 与 平行，设 ，
由题意可知，向量 与 不共线，可得 ，解得 .
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)结合题意由向量模的定义以及数量积的运算公式整理代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由平行向量的坐标公式结合向量相等的定义即可得到关于k和的方程组，计算出的结果即可。
18．【答案】（1）解：由图可得 ， ，有 ， ，
当 时， ，可得 ，又 ，
∴ ，即 .
（2）解： ，在 ，有 ，
∴当 时， 有最大值为1；当 时， 有最小值 .
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)首先由函数的图象求出A和周期的值，再由周期的公式代入数值计算出，然后由特殊点的坐标代入计算出进而求出函数的解析式。
(2)根据题意首先求出函数g(x)的解析式再由两角和的正弦公式整理即可得出，结合已知角的取值范围从而得出再由正弦函数的单调性即可求出函数g(x)的最值。
19．【答案】（1）解：由 ， ，得 ，
∴ ，
由正弦定理 ，可得 .
∴ ， .
（2）解：在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 或 ，
当 时，由 得 为等腰三角形，又 ，
得 为等腰直角三角形，矛盾.
∴ .
在 中，由余弦定理 ，
∴ .
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先由同角三角函数的平方关系代入数值计算出再由二倍角的正弦公式代入数值计算出sinB的值，然后利用正弦定理即可求出a的值。
(2)利用余弦定理结合已知的三角形的形状即可计算出c的值，然后再由余弦定理即可求出结果。
20．【答案】（1）证明：∵ 平面GEFH，
又∵ 平面PBC且平面 平面 ，
∴ .
又∵ 平面GEFH，
又∵ 平面ABCD且平面 平面 ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵平面 平面GEFH，
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∵ ，∵ ，∴ ，
同理 ，
又由（1）知， ，∴ ，
在四边形GEFH中： ， ， 且 ，
四边形GEFH为等腰梯形，
如图所示：过G作GM垂直于EF于M，
过H作GN垂直于EF于N，
在直角 中， ，
∴ .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】(1)根据题意首先由线面平行的性质定理得出线线平行，再由线面平行的判定定理以及性质定理即可得证出结论。
(2)根据题意由面面平行的性质定理即可得出边之间的大小关系，再由等腰梯形的几何性质结合勾股定理即可计算出GM的值，再把数值代入到梯形的面积公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：当 时， ，不满足题意，舍去.
当 时， ，即 .
解得 (舍)或 ，
∵ ， .∴ .
∴发车时间间隔为4分钟.
（2）解：由题意可得
当 ， 时， (元)
当 ， 时， (元)
∴发车时间间隔为7分钟时.净收益最大为280(元).
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数之间的不等关系式再由一元二次不等式的解法求解出t的取值范围，由此结合实际情况即可求出t的值。
(2)根据题意即可求出函数的关系式即函数的解析式，再由函数的性质求出满足题意的函数的最值即可。
22．【答案】（1）解：由已知 ， ，
以 代 ，得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
∴ ，
由已知 ， ①，
以 代 ，得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ②，
联立①②可得 ， ， ，
（2）解：依题意即方程 在区间 内恰有两个不等实根.
显然 不是该方程的根，
所以令 ，
由 得 ，
则原方程可变形为 ，
易知函数 为偶函数，且在区间 内单调递增，所以 ，
且题意转化为方程 在区间 内有唯一实根.
易知 在区间 内单调递减，
又 时， ，
所以 ，
(此时每一个 ，在区间 内有且仅有一个 值与之对应)
∴ 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先由已知条件整理即可得出再由函数的奇偶性的定义即可计算出a的值从而即可得出，结合奇偶性的性质得出进而即可求出函数g(x)的解析式。
(2)利用整体思想令进而把原式整理为，再由函数的奇偶性以及单调性转化为 在区间 内有唯一实根，构造函数结合函数的单调性即可得出函数的最值由此即可得出。
1 / 1湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期数学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·湖北开学考）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由已知，有 或 ，而 ，
∴ ，
故答案为：D
【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合B再由交集的定义即可得出结果。
2．（2020高一下·湖北开学考）下列函数既是偶函数又在 上递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对 ，其既不是奇函数又不是偶函数，故 错误；
对 ，其是偶函数，且在区间 上单调递减，故 错误；
对 ，其是偶函数，且在区间 单调递增，故 正确；
对 ，其是偶函数，且在区间 是减函数，故 错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意由奇偶函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
3．（2018高三上·黑龙江月考）已知角 的终边经过点P(4，－3)，则 的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 的终边过点 ，
所以利用三角函数的定义，
求得 ，
，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义，求出inα和cosα即得。
4．（2020高一下·湖北开学考）已知实数a b均不为零，且 .若 ，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：由 ， 为非零实数， 且 ，取 ， ， ，可排除 ；
， ，所以 ，故 正确．
故答案为：C．
【分析】根据题意由特殊值代入验证法对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2020高一下·湖北开学考）已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C． D． 与 不相交
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】根据面面平行的的定义和性质知: 平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 ， ， 与 不相交，
故答案为：C
【分析】由面面平行的性质定理和判定定理即可得出 与 不相交即平行或异面直线，由此得出答案。
6．（2020高一下·湖北开学考）下列说法中正确的是（　　）
A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
B．若正方体的棱长扩大到原来的2倍，则其体积扩大到原来的 倍
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
D．用一个平面去截圆锥，若该平面过圆锥的轴，则所得的截面是一个等腰三角形
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与圆锥面的截线
【解析】【解答】对于A选项，将直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台，
若将直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体不是圆台，A选项错误；
对于B选项，设正方体的棱长为 ，则正方体的体积为 ，
将正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为 ，
正方体的体积为 ，B选项错误；
对于C选项，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后会交于一点，这样的几何体叫棱台，
若两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后不交于一点，这样的几何体不是棱台，C选项错误；
对于D选项，圆锥的轴截面为等腰三角形，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由圆台的性质定义即可判断出选项A错误；由正方体的体积公式即可验证出选项B错误；由棱台的定义即可判断出选项C错误；由由圆锥的轴截面即可判断出选项D正确；由此即可得到答案。
7．（2020高一下·湖北开学考）函数 的最小正周期为 ，若其图象向右平移 个单位后关于y轴对称，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知： ，得 ，函数关于 对称，所以， ，又因为 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】首先由周期的公式即可计算出，再由正弦函数图象的对称性结合题意即可求出。
8．（2020高一下·湖北开学考）在平行四边形ABCD中，M是对角线AC上一点，且 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以
故答案为：D
【分析】结合题意由向量的加法运算性质法则计算出结果即可。
9．（2020高一下·湖北开学考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 、 、 .
易知 是 的中位线，所以 且 .
又 且 ， 为 的中点，所以 且 ，所以 且 .
所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 就是异面直线 与 所成的角.
因为 ， ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，
所以 ， 且 .
由勾股定理得 ，所以 .
由勾股定理得 ， .
在 中，由余弦定理得 .
故答案为：C.
【分析】首先根据题意作出辅助线由中位线的性质得出线线平行，再由直三棱柱的几何性质即可得出 就是异面直线 与 所成的角，结合三角形内的几何计算关系求出边的大小再把数值代入到余弦定理计算出结果即可。
10．（2020高一下·湖北开学考）已知三棱锥 的四个顶点都在球O的表面上，且 ， ，若已知 ， ， ， ，则球O的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由 ， ， ， 则由余弦定理有：
，即 ，
∴由正弦定理知△ 的外接圆半径： ，
由题意知： 面 ，又 ，三棱锥 的外接球半径：
，
由球的体积公式，有： ，
故答案为：C
【分析】首先由余弦定理结合已知条件即可计算出AC的值，再由正弦定理代入数值即可求出外接圆的半径，然后结合三棱锥的几何性质由勾股定理即可计算出球的半径，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。
11．（2020高一下·湖北开学考）形如 ( 是非负整数)的数称为费马数，记为 数学家费马根据 ， ， ， ， 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.1732年，欧拉算出 ，也就是说 不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.后来，人们又陆续找到了不少反例.如 不是质数那么 的位数为（　　）
(参考数据： )
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知： ，
∴ ，
故
故答案为：B
【分析】根据题意可得=，由对数的运算性质咋了即可得出从而得出答案。
12．（2020高一下·湖北开学考）已知函数 ， ，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】因为 ，且当 时， ；（1）当 ， 时， 与 只有一个交点，
要满足题意，只需当 时， 有两个根，
等价于 有两个非正根即可.
显然，该方程的两根为 和 ，
要满足题意，只需 且 即可，即 且 ，
又 ，故 ；（2）当 ， 时， 与 有2个交点，
要满足题意，只需当 时， 有一个根，
等价于 有一个非正根即可.
显然，该方程的两根为 和 ，
则只需 或 即可，
解得 或 ，又 ，
故 ；
综上所述： .
故答案为：C.
【分析】根据题意分情况讨论把问题转化为一元二次方程根的分布问题，结合根的个数即可得出m的取值范围。
二、填空题
13．（2020高一下·湖北开学考）函数 的零点个数为　 　.
【答案】2
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
解方程 ，可得 或 ，
，解得 或 .
因此，函数 的零点个数为2.
故答案为：2.
【分析】结合零点与方程根的关系首先求出方程的根，结合题意即可得出零点的个数。
14．（2020高一下·湖北开学考）已知向量 ， ，且 ，若 ， 均为正数，则 的最小值是　 　.
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量 ， ，且 ，
，又 ， 均为正数，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为9．
故答案为：9．
【分析】首先由向量垂直的数量积坐标公式即可得到关于x与y的代数式，整理由基本不等式即可求出最小值即可。
15．（2020高一下·湖北开学考）在 中，已知 ， ， ，则 在 方向上的投影为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以 即 ，即 ，所以 解得 或
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 所以 在 方向上的投影为
故答案为：
【分析】首先已知条件结合数量积的运算公式即可求出角C的值，再由同角三角函数的平方关系整理即可得出关于cosA的一元二次方程，求解出结果再由角A的取值范围即可求出角A的大小，进而也求出角B的大小，借助投影的公式代入数值计算出结果即可。
16．（2020高一下·湖北开学考）已知正方体 的棱长为1，点P在线段 上，若平面 经过点 ，则它截正方体 所得的截面的周长最小值为　 　.
【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】当P点靠近C或与C重合时，
确定的平面 ，因为平面 ，所以 ，同理 ，
所以四边形 是平行四边形，平面 就是截面，
设 ，则 ，
所以 ， ，
，
可以看作 到 和 距离的最小值， 关于x轴的对称点 ，连接 ，其长度即为 的最小值，由勾股定理的 ，所以周长的最小值为 ，
当P点靠近 或与 重合时，
确定的平面 ，因为平面 ，所以 ，同理 ，
所以四边形 是平行四边形，平面 就是截面，
设 ，则 ，
所以 ， ，
证法同上，所以周长的最小值为 ，
综上所述，所以周长的最小值为 .
故答案为： .
【分析】首先由平面的基本性质确定平面再由面面平行的判定定理得到截面的形状，结合四边形周长的公式由二次函数的性质即可求出最小值。
三、解答题
17．（2020高一下·湖北开学考）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 .
（1）求 的值；
（2）若向量 与 平行，求实数 的值.
【答案】（1）解： ；
（2）解： 向量 与 平行，设 ，
由题意可知，向量 与 不共线，可得 ，解得 .
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)结合题意由向量模的定义以及数量积的运算公式整理代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由平行向量的坐标公式结合向量相等的定义即可得到关于k和的方程组，计算出的结果即可。
18．（2020高一下·湖北开学考）函数 部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由图可得 ， ，有 ， ，
当 时， ，可得 ，又 ，
∴ ，即 .
（2）解： ，在 ，有 ，
∴当 时， 有最大值为1；当 时， 有最小值 .
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)首先由函数的图象求出A和周期的值，再由周期的公式代入数值计算出，然后由特殊点的坐标代入计算出进而求出函数的解析式。
(2)根据题意首先求出函数g(x)的解析式再由两角和的正弦公式整理即可得出，结合已知角的取值范围从而得出再由正弦函数的单调性即可求出函数g(x)的最值。
19．（2020高一下·湖北开学考）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， .
（1）求 和 的值；
（2）已知点M为BC的中点，求AM的长度.
【答案】（1）解：由 ， ，得 ，
∴ ，
由正弦定理 ，可得 .
∴ ， .
（2）解：在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 或 ，
当 时，由 得 为等腰三角形，又 ，
得 为等腰直角三角形，矛盾.
∴ .
在 中，由余弦定理 ，
∴ .
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先由同角三角函数的平方关系代入数值计算出再由二倍角的正弦公式代入数值计算出sinB的值，然后利用正弦定理即可求出a的值。
(2)利用余弦定理结合已知的三角形的形状即可计算出c的值，然后再由余弦定理即可求出结果。
20．（2020高一下·湖北开学考）如图，四棱锥 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为 ，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点， 平面GEFH.
（1）证明： ；
（2）若 ，平面 平面GEFH，求四边形GEFH的面积.
【答案】（1）证明：∵ 平面GEFH，
又∵ 平面PBC且平面 平面 ，
∴ .
又∵ 平面GEFH，
又∵ 平面ABCD且平面 平面 ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵平面 平面GEFH，
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∵ ，∵ ，∴ ，
同理 ，
又由（1）知， ，∴ ，
在四边形GEFH中： ， ， 且 ，
四边形GEFH为等腰梯形，
如图所示：过G作GM垂直于EF于M，
过H作GN垂直于EF于N，
在直角 中， ，
∴ .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】(1)根据题意首先由线面平行的性质定理得出线线平行，再由线面平行的判定定理以及性质定理即可得证出结论。
(2)根据题意由面面平行的性质定理即可得出边之间的大小关系，再由等腰梯形的几何性质结合勾股定理即可计算出GM的值，再把数值代入到梯形的面积公式计算出结果即可。
21．（2020高一下·湖北开学考）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知 突如其来 来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥 亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争 总体战 阻击战.随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔 (单位：分钟)满足： ， ，平均每趟快递车辆的载件个数 (单位：个)与发车时间间隔 近似地满足 ，其中 .
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔 的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为 (单位：元)，问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
【答案】（1）解：当 时， ，不满足题意，舍去.
当 时， ，即 .
解得 (舍)或 ，
∵ ， .∴ .
∴发车时间间隔为4分钟.
（2）解：由题意可得
当 ， 时， (元)
当 ， 时， (元)
∴发车时间间隔为7分钟时.净收益最大为280(元).
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数之间的不等关系式再由一元二次不等式的解法求解出t的取值范围，由此结合实际情况即可求出t的值。
(2)根据题意即可求出函数的关系式即函数的解析式，再由函数的性质求出满足题意的函数的最值即可。
22．（2020高一下·湖北开学考）已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，满足 ， 且 ， .
（1）求实数 的值及 和 的表达式；
（2）若关于 的方程 在区间 内恰有两个不等实数根，求常数 的取值范围.
【答案】（1）解：由已知 ， ，
以 代 ，得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
∴ ，
由已知 ， ①，
以 代 ，得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ②，
联立①②可得 ， ， ，
（2）解：依题意即方程 在区间 内恰有两个不等实根.
显然 不是该方程的根，
所以令 ，
由 得 ，
则原方程可变形为 ，
易知函数 为偶函数，且在区间 内单调递增，所以 ，
且题意转化为方程 在区间 内有唯一实根.
易知 在区间 内单调递减，
又 时， ，
所以 ，
(此时每一个 ，在区间 内有且仅有一个 值与之对应)
∴ 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先由已知条件整理即可得出再由函数的奇偶性的定义即可计算出a的值从而即可得出，结合奇偶性的性质得出进而即可求出函数g(x)的解析式。
(2)利用整体思想令进而把原式整理为，再由函数的奇偶性以及单调性转化为 在区间 内有唯一实根，构造函数结合函数的单调性即可得出函数的最值由此即可得出。
1 / 1