四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·四川开学考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高一下·江西期中）数列 ， ， ， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·四川开学考）数列 ，若 ， ，则 （ ）
A．9 B．13 C．10 D．11
4．（2020高一下·四川开学考）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．（2020高一下·四川开学考）已知向量 与 的夹角为30°，且 ， ，则 等于（ ）
A．1 B． C．13 D．
6．（2020高一下·四川开学考）若数列 为等差数列， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
7．（2020高一下·四川开学考） 中角 的对边分别为 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·尚义期中）如图所示，已知 ， ， ， ，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018高二上·新乡月考）在 中， （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
10．（2020高一下·四川开学考）已知 和点M满足 .若存在实数m使得 成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2020高一下·四川开学考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．189 B．1024 C．1225 D．1378
12．（2020高一下·四川开学考）在 中，内角 所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若 ，则 ；②等式 一定成立；③ ；④若 ，且 ，则 为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．（2020高一下·四川开学考） 与 的等差中项是 .
14．（2020高一下·四川开学考）已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ．
15．（2020高一下·四川开学考）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 ，若 ， ，则 ．
16．（2020高一下·四川开学考）如图，正六边形 的边长为 ，则
三、解答题
17．（2020高二上·榆树期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， .
（1）求B的大小．
（2）若 ， ，求b.
18．（2020高一下·四川开学考）已知 ， ， 是一个平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ， ，求 及 .
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角的余弦值.
19．（2020高二上·赤峰月考）在等差数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
20．（2019高三上·广东期末）如图，在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，点 、 在 的异侧， ， ，求平面四边形 面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由向量的运算性质以及数量积的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 ， ， ，
所以其通项公式是：
故答案为：B
【分析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【解答】因为 ， ，所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由已知的数列的递推公式即可得出数列是等差数列结合得出数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 为等腰三角形，
故答案为：A
【分析】首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简即可得到，再由角的取值范围即可得出即，由此即可得出三角形的形状。
5．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意：
故答案为：A
【分析】利用向量模的性质结合数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，数列 为等差数列，且 ，
可得 ，解得 ，则 ，
又由等差数列的性质，可得 .
故答案为：C.
【分析】过几天由由等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质整理即可得出即从而得到答案。
7．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ,
由正弦定理边角互化可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意由正弦定理整理化简得到再由余弦定理整理即可得到角B的值。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，从而利用平面向量基本定理推出等式成立的向量关系，即，则 。
9．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】在三角形中，由正弦定理 知 ， ，所以由内角和定理知 ，由正弦定理 知， ，
故答案为：C.
【分析】在三角形中，由正弦定理求角B，再用正弦定理即可求角C.
10．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】因为△ABC和点M满足 ，所以 又 ，
故m=3，
故答案为：B．
【分析】根据题意由向量的运算性质整理即可得到答案。
11．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】三角形数的通项公式是 ，正方形数的通项公式是 ，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是 ，正方形数是 ．
故答案为：C
【分析】结合题意由已知条件即可得出数列的通项公式由此代入数值计算出n的值即可。
12．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】①∵ ，∴ ，
又∵
∴
∴
故①成立；②∵
∴
∴
∴ ；
故②成立；③∵
∴
∴
∴ ；
故③成立；④∵ 表示为 边的单位向量， 表示为 边的单位向量，
∴所以（ ）. 表示 ，
又∵ ，
∴ °
所以 为等边三角形
故④成立.
故答案为：D.
【分析】 根据题意①由正弦定理进行判断，②由正弦定理，可得，a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，即可证得，③通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．
④利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形；由此即可得到答案。
13．【答案】
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题得 与 的等差中项为 .
故答案为：
【分析】由等差中项的定义代入数值计算出结果即可。
14．【答案】60°
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由三角形面积公式 得
，因为三角形是锐角三角形，所以角C的大小为60°
【分析】由三角形的面积公式整理得到，再由三角形内角的取值范围即可求出角C的大小。
15．【答案】2
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：设 ， 的夹角为 ，则 ，
， .
故答案为2.
【分析】首先由向量的数量积坐标公式求出夹角的余弦值，再由角的取值范围结合同角三角函数的平方关系计算出，然后根据题意代入到计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 是正六边形，且边长为1，
所以 ，且 与 的夹角为 ，
因此 ．
故答案为：
【分析】根据题意由向量的数量积运算公式代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：由 ，得 ，又因B为锐角，解得
（2）解：由题得 ，解得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理 可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b。
18．【答案】（1）解：∵ ， ，设 .
又∵ ，∴ ，解得 .
当 时， ， .
当 时， ， .
（2）解：∵ 与 垂直，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
，解得 ，
设 与 夹角为 ，则 ，
与 的夹角的余弦值为 .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由向量平行的性质求出结合向量模的定义即可求出由此即可得出向量c以及的值。
(2)利用向量垂直的坐标公式即可得到结合已知条件即可求出，由数量积的公式代入数值计算出cos的值即可。
19．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
即 ．
∴
（2）解：由（1）可得 ，
即 .
利用累加法得
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式求解；(2)运用裂项相消法求数列的和.
20．【答案】（1）因为 ，且 ，
所以
在 中，
所以
所以
所以
因为在 中，
所以
因为 是 的内角
所以 .
（2）在 中，
因为 是等腰直角三角形，
所以
所以平面四边形 的面积
因为 ，所以
所以当 时， ，
此时平面四边形 的面积有最大值
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，结合两角和的正弦公式，即可求出相应角的大小；
（2）根据余弦定理，求出三角形的面积，表示出四边形的面积，结合正弦函数的值域，即可求出相应的最大值.
1 / 1四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·四川开学考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由向量的运算性质以及数量积的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2020高一下·江西期中）数列 ， ， ， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 ， ， ，
所以其通项公式是：
故答案为：B
【分析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.
3．（2020高一下·四川开学考）数列 ，若 ， ，则 （ ）
A．9 B．13 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【解答】因为 ， ，所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由已知的数列的递推公式即可得出数列是等差数列结合得出数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
4．（2020高一下·四川开学考）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 为等腰三角形，
故答案为：A
【分析】首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简即可得到，再由角的取值范围即可得出即，由此即可得出三角形的形状。
5．（2020高一下·四川开学考）已知向量 与 的夹角为30°，且 ， ，则 等于（ ）
A．1 B． C．13 D．
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意：
故答案为：A
【分析】利用向量模的性质结合数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
6．（2020高一下·四川开学考）若数列 为等差数列， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，数列 为等差数列，且 ，
可得 ，解得 ，则 ，
又由等差数列的性质，可得 .
故答案为：C.
【分析】过几天由由等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质整理即可得出即从而得到答案。
7．（2020高一下·四川开学考） 中角 的对边分别为 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ,
由正弦定理边角互化可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意由正弦定理整理化简得到再由余弦定理整理即可得到角B的值。
8．（2020高一下·尚义期中）如图所示，已知 ， ， ， ，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，从而利用平面向量基本定理推出等式成立的向量关系，即，则 。
9．（2018高二上·新乡月考）在 中， （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】在三角形中，由正弦定理 知 ， ，所以由内角和定理知 ，由正弦定理 知， ，
故答案为：C.
【分析】在三角形中，由正弦定理求角B，再用正弦定理即可求角C.
10．（2020高一下·四川开学考）已知 和点M满足 .若存在实数m使得 成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】因为△ABC和点M满足 ，所以 又 ，
故m=3，
故答案为：B．
【分析】根据题意由向量的运算性质整理即可得到答案。
11．（2020高一下·四川开学考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．189 B．1024 C．1225 D．1378
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】三角形数的通项公式是 ，正方形数的通项公式是 ，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是 ，正方形数是 ．
故答案为：C
【分析】结合题意由已知条件即可得出数列的通项公式由此代入数值计算出n的值即可。
12．（2020高一下·四川开学考）在 中，内角 所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若 ，则 ；②等式 一定成立；③ ；④若 ，且 ，则 为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】①∵ ，∴ ，
又∵
∴
∴
故①成立；②∵
∴
∴
∴ ；
故②成立；③∵
∴
∴
∴ ；
故③成立；④∵ 表示为 边的单位向量， 表示为 边的单位向量，
∴所以（ ）. 表示 ，
又∵ ，
∴ °
所以 为等边三角形
故④成立.
故答案为：D.
【分析】 根据题意①由正弦定理进行判断，②由正弦定理，可得，a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，即可证得，③通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．
④利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形；由此即可得到答案。
二、填空题
13．（2020高一下·四川开学考） 与 的等差中项是 .
【答案】
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题得 与 的等差中项为 .
故答案为：
【分析】由等差中项的定义代入数值计算出结果即可。
14．（2020高一下·四川开学考）已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ．
【答案】60°
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由三角形面积公式 得
，因为三角形是锐角三角形，所以角C的大小为60°
【分析】由三角形的面积公式整理得到，再由三角形内角的取值范围即可求出角C的大小。
15．（2020高一下·四川开学考）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 ，若 ， ，则 ．
【答案】2
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：设 ， 的夹角为 ，则 ，
， .
故答案为2.
【分析】首先由向量的数量积坐标公式求出夹角的余弦值，再由角的取值范围结合同角三角函数的平方关系计算出，然后根据题意代入到计算出结果即可。
16．（2020高一下·四川开学考）如图，正六边形 的边长为 ，则
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 是正六边形，且边长为1，
所以 ，且 与 的夹角为 ，
因此 ．
故答案为：
【分析】根据题意由向量的数量积运算公式代入数值计算出结果即可。
三、解答题
17．（2020高二上·榆树期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， .
（1）求B的大小．
（2）若 ， ，求b.
【答案】（1）解：由 ，得 ，又因B为锐角，解得
（2）解：由题得 ，解得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理 可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b。
18．（2020高一下·四川开学考）已知 ， ， 是一个平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ， ，求 及 .
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：∵ ， ，设 .
又∵ ，∴ ，解得 .
当 时， ， .
当 时， ， .
（2）解：∵ 与 垂直，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
，解得 ，
设 与 夹角为 ，则 ，
与 的夹角的余弦值为 .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由向量平行的性质求出结合向量模的定义即可求出由此即可得出向量c以及的值。
(2)利用向量垂直的坐标公式即可得到结合已知条件即可求出，由数量积的公式代入数值计算出cos的值即可。
19．（2020高二上·赤峰月考）在等差数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
即 ．
∴
（2）解：由（1）可得 ，
即 .
利用累加法得
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式求解；(2)运用裂项相消法求数列的和.
20．（2019高三上·广东期末）如图，在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，点 、 在 的异侧， ， ，求平面四边形 面积的最大值.
【答案】（1）因为 ，且 ，
所以
在 中，
所以
所以
所以
因为在 中，
所以
因为 是 的内角
所以 .
（2）在 中，
因为 是等腰直角三角形，
所以
所以平面四边形 的面积
因为 ，所以
所以当 时， ，
此时平面四边形 的面积有最大值
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，结合两角和的正弦公式，即可求出相应角的大小；
（2）根据余弦定理，求出三角形的面积，表示出四边形的面积，结合正弦函数的值域，即可求出相应的最大值.
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