山东省泰安实验中学2019-2020学年高一下学期数学开学考试试卷

山东省泰安实验中学2019-2020学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·泰安开学考）已知 ， ，则 （　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2020高一下·泰安开学考）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·泰安开学考）复数 为虚数单位）的虚部是（　　）
A．-2 B．2 C． D．-1
4．（2020高一下·泰安开学考）设M为 的重心，则 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一下·泰安开学考）平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·泰安开学考）总体由编号为01，02， ，29，30的30个个体组成，现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A．12 B．13 C．03 D．40
7．（2020高一下·泰安开学考）如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为 和 ，方差分别为 和 ，则（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2020高一下·泰安开学考）已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝1，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥 的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一下·泰安开学考）已知向量 ， ， ，则 可能是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一下·泰安开学考）某人在A处向正东方向走 后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3km到达C处，结果他离出发点恰好 ，那么x的值为（　　）
A． B． C． D．3
11．（2020高一下·泰安开学考）已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（　　）
A．若复数 ，则 ．
B．复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 ．
C．若复数 ， 满足 ，则 ．
D．复数 的虚部是3．
12．（2020高一下·泰安开学考）正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2， E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（　　）
A．直线 与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题
13．（2020高一下·泰安开学考）已知向量 ， .若 ，则实数 　 　.
14．（2020高一下·泰安开学考）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则 岁年龄段应抽取　 　人
15．（2020高一下·泰安开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC ，c ，△ABC的面积为 ，则a+b的值为　 　
16．（2018高二上·安吉期中）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是　 　，点A到侧面PBC的距离是　 　．
四、解答题
17．（2020高一下·泰安开学考）已知非零向量 ， 满足 ，且 .
（1）求 ；
（2）当 时，求向量 与 的夹角 的值.
18．（2020高一下·泰安开学考）已知复数 ， ， ．
（Ⅰ）当 时，求 的值；
（Ⅱ）若 是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若 在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
19．（2019高一下·安庆期中）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.
20．（2020高一下·泰安开学考）如图所示， 是 的直径，点 在 上， 是 所在平面外一点， 是 的中点.
（1）.求证： 平面 ；
（2）.若 是边长为6的正三角形， ，且 ，求三棱锥 的体积.
21．（2020高一下·泰安开学考）“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的 ，全世界近 人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨）：一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水不按议价收费，估计 的值，并说明理由．
22．（2020高一下·泰安开学考）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，在 中， ， 为 的中点，四边形 是等腰梯形， ， ．
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的正弦值；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正切值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
则 .
故答案为：C.
【分析】首先由向量的坐标公式求出向量的坐标再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 得： ，即：
故答案为：D
【分析】首先由余弦定理结合已知条件得出再由角的取值范围即可求出角C的大小，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】对原式进行化简：
所以复数 的虚部为-1
故答案为：D
【分析】首先由复数的运算性质整理化简再由复数的定义即可得到答案。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】连接 ，并延长 交 于点D.由M为 的重心，可知 .
， ，得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由重心的定义结合向量的线性运算性质整理即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设截面小圆半径为r,大圆半径为R，球心到截面距离为d，则 ，所以 ，根据公式 得： ，因此球的体积为 ．
故答案为：C
【分析】 由截面面积为π，可得截面圆半径为2，再根据截面与球心的距离为，可得球的半径，进而结合球的体积公式求出球的体积即可．
6．【答案】C
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】从随机数表第 行第 列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29，17，12，13，26，03，
则第6个个体的编号为26．
故答案为：C．
【分析】根据题意由随机的数表依次进行选择即可得到结论。
7．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即 ；
显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即 .
故答案为：C.
【分析】结合已知的数据分析结合平均数和方差的几何意义即可得到小王参加某射击比赛的预赛的五次中，每次均不低于小张的预赛成绩，但是小王各次成绩的波动大于小张的波动，由此能求出结果．
8．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】∵AB＝1，∴△OAB为正三角形．
又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．∴BO⊥SC，AO⊥SC.
又AO∩BO＝O，∴SC⊥面ABO.
，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合球内多面体的几何性质由三角形内的几何计算关系即可计算出边的大小，再把棱锥的体积分割为代入数值计算出结果即可。
9．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设 ，依题意有 ，解得 或 .
故答案为：BD
【分析】根据题意首先设出向量的坐标再由向量模的定义以及向量平行的坐标公式即可得到关于x的方程组求解出结果即可得到向量的坐标。
10．【答案】A,B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得 ，由余弦定理得 ，
解得 或 .
故答案为：AB.
【分析】根据题意结合实际情况由余弦定理代入数值计算出结果即可。
11．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，A符合题意；
由 在复平面内对应的点为 ，则 ，即 ，
则 ，B符合题意；
设复数 ，则 ，所以 ，C符合题意；
复数 的虚部是-3，D不正确.
故答案为：A、B、C
【分析】 根据复数的除法运算求解即可判断出选项A正确；由复数的几何意义可知z=x+yi，所以|z-2i|=|x+（y-2）i|=1，再根据模长的计算方法，有x2+（y-2）2=1即可判断出选项B 正确；
由所以z1，z2的实部相同，虚部互为相反数，若设z=a+bi，则z2=a-bi，再根据复数的乘法进行运算即可判断出选项C正确；根据复数的概念即可判断出选项D错误；由此得出答案。
12．【答案】B,C
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：
取 中点 ，连接 ， .
则 为 在平面 上的投影，
因为 与 不垂直，所以 与 不垂直，A不符合题意.
对B，取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， ，
所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 ，B符合题意.
对C，连接 ， ，如图所示：
因为 ，所以平面 为平面 截正方体所得的截面.
， ，
，所以四边形 为等腰梯形，
高为 ， .
C符合题意.
对D，连接 交 于 ，如图所示：
假设点 与点 到平面 的距离相等，即平面 必过 的中点，
而 不是 的中点，则假设不成立，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由线面垂直的性质定理即可判断出选项A错误；作出辅助线由面面平行的判定定理即可得出选项B正确；根据题意作出辅助线由线段的长度即可计算出截面的面积由此判断出选项C正确；由等体积法即可计算出结果由此判断出选项D错误；进而得出答案。
13．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，故 即 ，故 ，
填5.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入结合垂直计算出m的值即可。
14．【答案】15
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，
采用分层抽样方法，则 岁年龄段应抽取： ．
故答案为15．
【分析】结合题意由分层抽样的定义计算出结果即可。
15．【答案】5
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 ， ，可得： ， ，
由面积可得 ，所以 ，
由已知及余弦定理得 ，故 ，
从而 ，所以 ．
故答案为：5
【分析】首先由已知条件求出角C的大小再由三角形的面积公式整理得出，再由余弦定理得出由此即可得出答案。
16．【答案】2；
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作 底面 ，交面 于点 ，连接 并延长并 于点 ，
取 中点 ，连结 ，则点 在 上，
是二面角 的平面角，
∵正三棱锥 的高为2，侧棱与底面所成的角为 ，
，
，
∴二面角 的正切值 ，
又 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，解得 ，
，
，
，设点 到面 的距离为 ，
，解得 ，
∴点 到面 的距离为 ．故答案为 ．
【分析】通过作垂线，求出二面角的正切值，结合等体积法，即可求出点 到面 的距离.
17．【答案】（1）解： ，
；
（2）解： ，
，
所以向量 与 的夹角 的值为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)结合数量积以及向量的运算性质整理即可得到即可。
(2)首先由夹角的数量积运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出夹角的大小。
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意 ；
（Ⅱ）由题意 为纯虚数，则 ，所以 ；
（Ⅲ） ，对应点 ，它是第二象限点，则 ，解得 ．故 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ） 由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ） 由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：因为 ，
故 ，
由正弦定理可得， ，
由余弦定理得， ，又因为 ，
故 .
（2）解：因为 ， ，则有 ，
，其中 ，
故 的最大值为 .
【知识点】三角函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正余弦平方和为1的性质将余弦化为正弦，再由正弦定理角化边可得 ，进而利用余弦定理可得解；（2）由正弦定理可得 ，进而可得 ，利用三角恒等变换化简结合三角函数性质求最值即可.
20．【答案】（1）证明： 是 的直径，则由 是 的中点，
又 是 的中点.
在 中，可得 ，且 平面 , 平面 .
所以 平面 .
（2）解：由 是 的直径，点 在 上，则 ,即 .
又 ，且 .
所以 平面 .
是边长为6的正三角形，则 .
又
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据题意结合中点的性质即可得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)结合圆的性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出线面垂直 平面 . 即棱锥的高，由三角形内的几何计算关系以及三角形的面积公式计算出边长，把数值代入到体积公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为1
即频率分布直方图各小矩形面积之和为1
解得：
（2）解：由图可知，不低于2.5吨人数所占百分比为
全市月均用水量不低于2.5吨的人数为： （万）
（3）解：由（2）可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即 的居民月均用水量小于2.5吨，同理， 的居民月均用水量小于 吨
故
假设月均用水量平均分布，则 （吨）
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)首先由频率直方图的数据以及频率直方图的性质即可计算出a的值。
(2)结合题意求出不低于2.5吨人数所占百分比由此计算出满足题意的人数。
(3) 由（2）可求出用水量的百分比由此求出用水的取值范围，进而得出用水量的平均分布由此计算出结果即可。
22．【答案】解：（Ⅰ）因为四边形 是等腰梯形，故可得 // ，
故 即为所求夹角或其补角，
在 中，因为 ，且 为底边 中点，
故可得 ，又因为 ，
故可得 ，
则 .
故异面直线 与 所成角的正弦值为 .
（Ⅱ）因为平面 平面 ，且交线为 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
又因为 平面 ，故可得 ；
又在四边形 中：过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
故容易得 ，
则
满足 ，则 ；
又因为 平面 ，且 ，
故可得 平面 ，又因为 平面 ，
故平面 平面 ，即证.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 平面 ，
则 即为所求线面角.
在 中，因为 ，
故可得 .
故直线 与平面 所成角的正切值为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】 （Ⅰ） 首先根据题意结合等腰梯形的性质得出言们直线所成的角再由三角形内的几何计算关系边的大小再由勾股定理以及正弦函数的定义代入数值计算出结果即可。
（Ⅱ） 根据面面垂直的性质定理即可得出线面垂直在线面垂直的性质定理得出线线垂直，再由三角形内的几何计算关系结合勾股定理求出线线垂直，由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 平面 结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此得到 即为所求线面角 ，由三角形内的几何计算关系求出边的大小再由正切函数的定义代入数值计算出结果即可。
1 / 1山东省泰安实验中学2019-2020学年高一下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·泰安开学考）已知 ， ，则 （　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
则 .
故答案为：C.
【分析】首先由向量的坐标公式求出向量的坐标再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
2．（2020高一下·泰安开学考）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 得： ，即：
故答案为：D
【分析】首先由余弦定理结合已知条件得出再由角的取值范围即可求出角C的大小，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
3．（2020高一下·泰安开学考）复数 为虚数单位）的虚部是（　　）
A．-2 B．2 C． D．-1
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】对原式进行化简：
所以复数 的虚部为-1
故答案为：D
【分析】首先由复数的运算性质整理化简再由复数的定义即可得到答案。
4．（2020高一下·泰安开学考）设M为 的重心，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】连接 ，并延长 交 于点D.由M为 的重心，可知 .
， ，得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由重心的定义结合向量的线性运算性质整理即可得出答案。
5．（2020高一下·泰安开学考）平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设截面小圆半径为r,大圆半径为R，球心到截面距离为d，则 ，所以 ，根据公式 得： ，因此球的体积为 ．
故答案为：C
【分析】 由截面面积为π，可得截面圆半径为2，再根据截面与球心的距离为，可得球的半径，进而结合球的体积公式求出球的体积即可．
6．（2020高一下·泰安开学考）总体由编号为01，02， ，29，30的30个个体组成，现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A．12 B．13 C．03 D．40
【答案】C
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】从随机数表第 行第 列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29，17，12，13，26，03，
则第6个个体的编号为26．
故答案为：C．
【分析】根据题意由随机的数表依次进行选择即可得到结论。
7．（2020高一下·泰安开学考）如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为 和 ，方差分别为 和 ，则（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即 ；
显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即 .
故答案为：C.
【分析】结合已知的数据分析结合平均数和方差的几何意义即可得到小王参加某射击比赛的预赛的五次中，每次均不低于小张的预赛成绩，但是小王各次成绩的波动大于小张的波动，由此能求出结果．
8．（2020高一下·泰安开学考）已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝1，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥 的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】∵AB＝1，∴△OAB为正三角形．
又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．∴BO⊥SC，AO⊥SC.
又AO∩BO＝O，∴SC⊥面ABO.
，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合球内多面体的几何性质由三角形内的几何计算关系即可计算出边的大小，再把棱锥的体积分割为代入数值计算出结果即可。
二、多选题
9．（2020高一下·泰安开学考）已知向量 ， ， ，则 可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设 ，依题意有 ，解得 或 .
故答案为：BD
【分析】根据题意首先设出向量的坐标再由向量模的定义以及向量平行的坐标公式即可得到关于x的方程组求解出结果即可得到向量的坐标。
10．（2020高一下·泰安开学考）某人在A处向正东方向走 后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3km到达C处，结果他离出发点恰好 ，那么x的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A,B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得 ，由余弦定理得 ，
解得 或 .
故答案为：AB.
【分析】根据题意结合实际情况由余弦定理代入数值计算出结果即可。
11．（2020高一下·泰安开学考）已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（　　）
A．若复数 ，则 ．
B．复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 ．
C．若复数 ， 满足 ，则 ．
D．复数 的虚部是3．
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，A符合题意；
由 在复平面内对应的点为 ，则 ，即 ，
则 ，B符合题意；
设复数 ，则 ，所以 ，C符合题意；
复数 的虚部是-3，D不正确.
故答案为：A、B、C
【分析】 根据复数的除法运算求解即可判断出选项A正确；由复数的几何意义可知z=x+yi，所以|z-2i|=|x+（y-2）i|=1，再根据模长的计算方法，有x2+（y-2）2=1即可判断出选项B 正确；
由所以z1，z2的实部相同，虚部互为相反数，若设z=a+bi，则z2=a-bi，再根据复数的乘法进行运算即可判断出选项C正确；根据复数的概念即可判断出选项D错误；由此得出答案。
12．（2020高一下·泰安开学考）正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2， E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（　　）
A．直线 与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】B,C
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：
取 中点 ，连接 ， .
则 为 在平面 上的投影，
因为 与 不垂直，所以 与 不垂直，A不符合题意.
对B，取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， ，
所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 ，B符合题意.
对C，连接 ， ，如图所示：
因为 ，所以平面 为平面 截正方体所得的截面.
， ，
，所以四边形 为等腰梯形，
高为 ， .
C符合题意.
对D，连接 交 于 ，如图所示：
假设点 与点 到平面 的距离相等，即平面 必过 的中点，
而 不是 的中点，则假设不成立，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由线面垂直的性质定理即可判断出选项A错误；作出辅助线由面面平行的判定定理即可得出选项B正确；根据题意作出辅助线由线段的长度即可计算出截面的面积由此判断出选项C正确；由等体积法即可计算出结果由此判断出选项D错误；进而得出答案。
三、填空题
13．（2020高一下·泰安开学考）已知向量 ， .若 ，则实数 　 　.
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，故 即 ，故 ，
填5.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入结合垂直计算出m的值即可。
14．（2020高一下·泰安开学考）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则 岁年龄段应抽取　 　人
【答案】15
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，
采用分层抽样方法，则 岁年龄段应抽取： ．
故答案为15．
【分析】结合题意由分层抽样的定义计算出结果即可。
15．（2020高一下·泰安开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC ，c ，△ABC的面积为 ，则a+b的值为　 　
【答案】5
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 ， ，可得： ， ，
由面积可得 ，所以 ，
由已知及余弦定理得 ，故 ，
从而 ，所以 ．
故答案为：5
【分析】首先由已知条件求出角C的大小再由三角形的面积公式整理得出，再由余弦定理得出由此即可得出答案。
16．（2018高二上·安吉期中）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是　 　，点A到侧面PBC的距离是　 　．
【答案】2；
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作 底面 ，交面 于点 ，连接 并延长并 于点 ，
取 中点 ，连结 ，则点 在 上，
是二面角 的平面角，
∵正三棱锥 的高为2，侧棱与底面所成的角为 ，
，
，
∴二面角 的正切值 ，
又 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，解得 ，
，
，
，设点 到面 的距离为 ，
，解得 ，
∴点 到面 的距离为 ．故答案为 ．
【分析】通过作垂线，求出二面角的正切值，结合等体积法，即可求出点 到面 的距离.
四、解答题
17．（2020高一下·泰安开学考）已知非零向量 ， 满足 ，且 .
（1）求 ；
（2）当 时，求向量 与 的夹角 的值.
【答案】（1）解： ，
；
（2）解： ，
，
所以向量 与 的夹角 的值为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)结合数量积以及向量的运算性质整理即可得到即可。
(2)首先由夹角的数量积运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出夹角的大小。
18．（2020高一下·泰安开学考）已知复数 ， ， ．
（Ⅰ）当 时，求 的值；
（Ⅱ）若 是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若 在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由题意 ；
（Ⅱ）由题意 为纯虚数，则 ，所以 ；
（Ⅲ） ，对应点 ，它是第二象限点，则 ，解得 ．故 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ） 由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ） 由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
19．（2019高一下·安庆期中）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1）解：因为 ，
故 ，
由正弦定理可得， ，
由余弦定理得， ，又因为 ，
故 .
（2）解：因为 ， ，则有 ，
，其中 ，
故 的最大值为 .
【知识点】三角函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正余弦平方和为1的性质将余弦化为正弦，再由正弦定理角化边可得 ，进而利用余弦定理可得解；（2）由正弦定理可得 ，进而可得 ，利用三角恒等变换化简结合三角函数性质求最值即可.
20．（2020高一下·泰安开学考）如图所示， 是 的直径，点 在 上， 是 所在平面外一点， 是 的中点.
（1）.求证： 平面 ；
（2）.若 是边长为6的正三角形， ，且 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明： 是 的直径，则由 是 的中点，
又 是 的中点.
在 中，可得 ，且 平面 , 平面 .
所以 平面 .
（2）解：由 是 的直径，点 在 上，则 ,即 .
又 ，且 .
所以 平面 .
是边长为6的正三角形，则 .
又
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据题意结合中点的性质即可得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)结合圆的性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出线面垂直 平面 . 即棱锥的高，由三角形内的几何计算关系以及三角形的面积公式计算出边长，把数值代入到体积公式计算出结果即可。
21．（2020高一下·泰安开学考）“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的 ，全世界近 人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨）：一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水不按议价收费，估计 的值，并说明理由．
【答案】（1）解：由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为1
即频率分布直方图各小矩形面积之和为1
解得：
（2）解：由图可知，不低于2.5吨人数所占百分比为
全市月均用水量不低于2.5吨的人数为： （万）
（3）解：由（2）可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即 的居民月均用水量小于2.5吨，同理， 的居民月均用水量小于 吨
故
假设月均用水量平均分布，则 （吨）
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)首先由频率直方图的数据以及频率直方图的性质即可计算出a的值。
(2)结合题意求出不低于2.5吨人数所占百分比由此计算出满足题意的人数。
(3) 由（2）可求出用水量的百分比由此求出用水的取值范围，进而得出用水量的平均分布由此计算出结果即可。
22．（2020高一下·泰安开学考）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，在 中， ， 为 的中点，四边形 是等腰梯形， ， ．
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的正弦值；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正切值．
【答案】解：（Ⅰ）因为四边形 是等腰梯形，故可得 // ，
故 即为所求夹角或其补角，
在 中，因为 ，且 为底边 中点，
故可得 ，又因为 ，
故可得 ，
则 .
故异面直线 与 所成角的正弦值为 .
（Ⅱ）因为平面 平面 ，且交线为 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
又因为 平面 ，故可得 ；
又在四边形 中：过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
故容易得 ，
则
满足 ，则 ；
又因为 平面 ，且 ，
故可得 平面 ，又因为 平面 ，
故平面 平面 ，即证.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 平面 ，
则 即为所求线面角.
在 中，因为 ，
故可得 .
故直线 与平面 所成角的正切值为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】 （Ⅰ） 首先根据题意结合等腰梯形的性质得出言们直线所成的角再由三角形内的几何计算关系边的大小再由勾股定理以及正弦函数的定义代入数值计算出结果即可。
（Ⅱ） 根据面面垂直的性质定理即可得出线面垂直在线面垂直的性质定理得出线线垂直，再由三角形内的几何计算关系结合勾股定理求出线线垂直，由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 平面 结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此得到 即为所求线面角 ，由三角形内的几何计算关系求出边的大小再由正切函数的定义代入数值计算出结果即可。
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