2.1.1倾斜角与斜率教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息
课题
倾斜角与斜率
教科书
书名：普通高中教科书
数学选择性必修第一册
A版
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2019年6月
教学目标：
1．初步了解直线的倾斜角和斜率的概念．
2．初步掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率．
3．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，经历几何问题代数化的过程，经历从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合和化归转化思想．
教学重点：
理解直线的倾斜角和斜率概念，初步掌握过两点的直线斜率的计算公式
教学难点：
直线的倾斜角、斜率概念的形成，两点斜率公式的建构
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
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新课引入
在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用一种新的方法——坐标法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.
15分
钟
探究新知
探
我们知道，点是构成直线的基本元素.
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？为了研究这个问题，我们需要弄清楚:
问题1
确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
教师讲解：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
问题2
如何表示直线的方向?
教师讲解：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向.
因此，这些直线的区别在于它们的方向不同.
如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.
因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle
of
inclination）．
问题3
当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为
0°≤α<180°.
这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.
因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
问题4
直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)有什么内在联系?
教师讲解：对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑.
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．
(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系?
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系?
对于问题（1），如图，
向量=（，1），且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有
．
对于问题（2），如图，
．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有
．
一般地，如图，
当向量的方向向上时，．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=．
同样，当向量的方向向上时，如图，
，也有tan
α==．
问题5
当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
教师讲解：当直线P1P2与x轴平行或重合时，y1=y2，
α=
0o，符合tanα=
结论
直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)(x1x2)的坐标有如下关系：tanα=
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=．
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
α=0o
?
k=0；
0o<α<90o
?
k>0；
α=90o
?
斜率不存在；
90o<α<180o
?
k<0.
问题6
当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大;
当倾斜角α=90o，斜率不存在;
当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
由tanα=及k=tanα知，k=
问题7
直线的方向向量与斜率k有什么关系？
我们知道，直线P1P2上的向量及与它平行的向量都是直线的方向向量.
直线P1P2的方向向量的坐标为，
当直线P1P2与x轴不垂直时，.
此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为
即其中k是直线P1P2的斜率．因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
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知识应用
例
如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率kAB==；
直线BC的斜率kBC===-；
直线CA的斜率kCA===1．
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角．
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分
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课堂小结
本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线.
并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.
课后作业
1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．
2.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，3)，B(1，–1)，C(–1，–2)，
D(–2，2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．
3.
m为何值时，(1)经过A(–m，6)，B(1，3m)两点的直线的斜率是12
?
(2)经过A(m，2)，B(–m，
–2m–1)两点的直线的倾斜角是60o
?
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