2.1.2两条直线平行和垂直的判定教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息
课题
两条直线平行和垂直的判定
教科书
书名：普通高中教科书
数学选择性必修第一册
A版
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2019年6月
教学目标：
1.初步了解利用直线的斜率判断直线的平行和垂直．
2.通过探究两直线平行和垂直的条件，进一步体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法．
3.在探寻利用直线的斜率判断直线的平行和垂直的过程中，体会数形结合、化归转化思想。
教学重点：
两条直线平行和垂直的条件
教学难点：
将判断两条直线平行和垂直转化为判断两直线斜率的关系来研究
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
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新课引入
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．
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探究新知
探
问题1
我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行.
当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
教师讲解：如图，
若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1=α2，可得tan
α1=tan
α2，即k1=k2．因此，若l1∥l2，则k1=k2．
反之，当k1=k2时，tan
α1=tan
α2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1=α2，因此l1∥l2．
于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有
显然，当α1=α2=90°时，直线的斜率不存在，此时l1∥l2．
若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
问题2
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=（1，k1），b=（1，k2），于是，即k1k2=-1.也就是说，．
当直线l1或l2的倾斜角为90°时，若l1⊥l2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即
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知识应用
例1已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
解：如图，
直线BA的斜率kBA==，
直线PQ的斜率kPQ==．
因为kBA=kPQ，所以直线AB∥PQ．
例2
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），
C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：如图，
AB边所在直线的斜率kAB=-，
CD边所在直线的斜率kCD=-，
BC边所在直线的斜率kBC=，
DA边所在直线的斜率kDA=．
因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．
因此四边形ABCD是平行四边形．
例3
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系．
解：直线AB的斜率kAB=，
直线PQ的斜率kPQ=－．
因为kABkPQ=×=－1，
所以直线AB⊥PQ．
例4
已知A（5，－1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状．
分析：如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．
解：边AB所在直线的斜率kAB=－，边BC所在直线的斜率kBC=2．
由kABkBC=－1，得AB⊥BC，即∠ABC=90°．
所以△ABC是直角三角形．
追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)
，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．
解：B的坐标为(，0)或(，0)
追问2：已知点A(5，–1)，C(2，3)
，点B在x轴上，且?ABC为直角三角形，求点B的坐标．
解：B的坐标为(，0)或(，0)B(，0)或B(，0).
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课堂小结
本节课，我们利用直线的斜率，来判断两条直线平行和垂直的位置关系.
在这个过程中，体会到了用代数方法研究几何问题的基本思路，即将几何问题转化为代数问题，进而用代数方法来得到代数问题的解，再利用代数问题的解去解释几何问题，从而得到了几何问题的解.
在这个过程中，我们体会到了数形结合和化归转化的数学思想.
在之后的学习中，我们将继续利用过两点的直线的斜率公式，建立直线的方程，利用直线方程研究两直线交点，点到直线的距离等几何问题，进一步体会解析几何基本方法-坐标法的应用.
课后作业
1.
判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)经过A(2，3)，B(–1，0)两点的直线l1，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线l2；
(2)经过C(3，1)，D(–2，0)两点的直线l3，与经过点M(1，–
4)且斜率为–5的直线l4．
2.
试确定m的值，使过A(m，1)
，B(–1，m)两点的直线与过P
(1，2)
，Q
(–5，0)两点的直线：
(1)平行；
(2)垂直．
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