2.2.3直线的一般式方程教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.3直线的一般式方程教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 242.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-14 12:59:00 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题
2.2.3直线的一般式方程
教科书
书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2020年5月
教学目标
教学目标：
1．知识与技能：
（1）理解直线的方程与二元一次方程之间的关系；
（2）推导并掌握直线的一般式方程；
（3）正确利用直线的一般式方程解决问题.
2．过程与方法：通过已知四种直线方程，探究二元一次方程与直线方程之间的关系，得到直线的一般式方程，深化直线的几何特征与方程之间的关系.
3．情态与价值观：从学生熟悉的问题与思路入手，进一步培养学生联系与推理的能力，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
教学重点：推导直线的一般式方程.
教学难点：探究直线的方程与二元一次方程之间的关系.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习回顾
问题1
我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？
引导学生回顾：
点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程
区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同；
联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横纵坐标x，y之间关系，且这四种方程均有各自的限制条件.
意图：复习上节课研究内容与探究思路，为学习本节课知识做铺垫.
追问1：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性?
引导学生回顾：梳理四种方程表示直线的种类与限制，明确这四种方程均无法表示所有的直线.
意图：复习已有知识，引出本节课探究直线的一般式方程.
探究新知
问题2
能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l？
引导学生明确思路：直线上任意点的几何特征，可借助已知几何要素的特点，转化为直线上点的横纵坐标x，y之间关系的代数表示，本质上是关于任意点的横纵坐标x，y的一个二元一次方程，可借助方程来表示直线的几何特征.
追问1：在平面直角坐标系中的任意一条直线l是否都能用关于x，y的二元一次方程表示？
引导学生讨论：从已有知识入手，说明平面直角坐标系中的任意一条直线l都能用关于x，y的二元一次方程其中A,B不同时为0来表示.
追问2：对于任意一个关于x，y的二元一次方程(A,B不同时为0)，是否都表示一条直线？
引导学生讨论：尝试将改写成直线方程的形式，比如，改写成斜截式，因此要注意中y前的系数B,当时，可改写,因此可得直线的斜截式方程，得到直线是斜率为，在y轴上截距为；而如果当时，此时要求,可改写,得到过，垂直于x轴的直线.同样，可将二元一次方程(A,B不同时为0)改写成其他直线方程的形式；由此可知，二元一次方程(A,B不同时为0)都可以表示直线.
追问3：二元一次方程与直线是否是一一对应关系？
引导学生讨论：关于x，y的二元一次方程表示的是关于x，y唯一确定的关系，也就表示的是平面直角坐标系中满足确定关系的点的坐标，即直线，因此二元一次方程表示唯一的直线；反之，直线是由平面直角坐标系中满足确定关系的点构成，其坐标可以由x，y表示，而比例相同的系数可表示同样的x，y的确定关系，即二元一次方程，所以表示同一直线的二元一次方程不唯一；比如直线，改写为一般式，可以是；也可以是等等.因此二元一次方程与直线不是一一对应关系.
小结：当已知一条直线的方程，都可以将其变形为Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为0)的形式；而如果已知二元一次方程，也可以按照不同的直线的方程的形式来进行转化，从而表示直线.因此这种转化都是方程的同解变形，转化的方向是“凑”成相应的方程形式.在坐标系中，任意一个二元一次方程都表示一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示.
所以说，直线的方程，方程的直线。而且二元一次方程的每一组解都可以看成坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合构成一条直线。因此我们将关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）称为直线的一般式方程，简称一般式.
意图：明确直线的一般式方程的定义与内涵.
问题3
在方程中，为何值时，方程表示如下直线：
（1）平行于x轴？（2）平行于y轴？（3）与x轴重合？（4）与y轴重合？
引导学生思考：方程若要表示直线，前提要求A,B不同时为0，分析可知：
（1）由直线平行于x轴的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距不为0，因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（2）由直线平行于y轴的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距不为0，因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（3）由直线与x轴重合的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距为0
因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（4）由直线与y轴重合的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距为0因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，.
知识小结
小结：总结五种直线的方程，明确一般式方程得表示范围.
活动：引导学生明确：一般式方程可表示任意直线
意图：小结核心知识，强化直线的一般式方程的特征与范围.
例题解析
例1
已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式、一般式方程.
引导学生明确解题思路：已知直线上的一个点和直线的斜率，可求出直线的点斜式方程，再将方程化为直线的一般式方程.
梳理解题过程：
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程为，化为一般式，得.
意图：明确问题思考过程，应用本节课所学知识解决问题.
例2
把直线l的一般式方程为化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
引导学生明确解题思路：把直线l的一般式方程为化为斜截式，求出直线的斜率和在y轴上的截距；令方程中时x的值即为直线与x轴交点横坐标，也就是直线在x轴上截距；通过直线在两坐标轴上的截距，得到直线与两坐标轴交点，连接两点绘制直线
梳理解题过程：
解：把直线l的一般式方程化为斜截式：.
因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程中，令，得，
即直线在x轴上的截距是.
则直线l与x轴、y轴的交点分别为，
过两点作直线，就得直线l（如图所示）.
课堂总结
核心知识：
课后作业
根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴，y轴上的截距分别是，.
课题
2.2.3直线的一般式方程
教科书
书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2020年5月
教学目标
教学目标：
1．知识与技能：
（1）理解直线的方程与二元一次方程之间的关系；
（2）推导并掌握直线的一般式方程；
（3）正确利用直线的一般式方程解决问题.
2．过程与方法：通过已知四种直线方程，探究二元一次方程与直线方程之间的关系，得到直线的一般式方程，深化直线的几何特征与方程之间的关系.
3．情态与价值观：从学生熟悉的问题与思路入手，进一步培养学生联系与推理的能力，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
教学重点：推导直线的一般式方程.
教学难点：探究直线的方程与二元一次方程之间的关系.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习回顾
问题1
我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？
引导学生回顾：
点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程
区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同；
联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横纵坐标x，y之间关系，且这四种方程均有各自的限制条件.
意图：复习上节课研究内容与探究思路，为学习本节课知识做铺垫.
追问1：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性?
引导学生回顾：梳理四种方程表示直线的种类与限制，明确这四种方程均无法表示所有的直线.
意图：复习已有知识，引出本节课探究直线的一般式方程.
探究新知
问题2
能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l？
引导学生明确思路：直线上任意点的几何特征，可借助已知几何要素的特点，转化为直线上点的横纵坐标x，y之间关系的代数表示，本质上是关于任意点的横纵坐标x，y的一个二元一次方程，可借助方程来表示直线的几何特征.
追问1：在平面直角坐标系中的任意一条直线l是否都能用关于x，y的二元一次方程表示？
引导学生讨论：从已有知识入手，说明平面直角坐标系中的任意一条直线l都能用关于x，y的二元一次方程其中A,B不同时为0来表示.
追问2：对于任意一个关于x，y的二元一次方程(A,B不同时为0)，是否都表示一条直线？
引导学生讨论：尝试将改写成直线方程的形式，比如，改写成斜截式，因此要注意中y前的系数B,当时，可改写,因此可得直线的斜截式方程，得到直线是斜率为，在y轴上截距为；而如果当时，此时要求,可改写,得到过，垂直于x轴的直线.同样，可将二元一次方程(A,B不同时为0)改写成其他直线方程的形式；由此可知，二元一次方程(A,B不同时为0)都可以表示直线.
追问3：二元一次方程与直线是否是一一对应关系？
引导学生讨论：关于x，y的二元一次方程表示的是关于x，y唯一确定的关系，也就表示的是平面直角坐标系中满足确定关系的点的坐标，即直线，因此二元一次方程表示唯一的直线；反之，直线是由平面直角坐标系中满足确定关系的点构成，其坐标可以由x，y表示，而比例相同的系数可表示同样的x，y的确定关系，即二元一次方程，所以表示同一直线的二元一次方程不唯一；比如直线，改写为一般式，可以是；也可以是等等.因此二元一次方程与直线不是一一对应关系.
小结：当已知一条直线的方程，都可以将其变形为Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为0)的形式；而如果已知二元一次方程，也可以按照不同的直线的方程的形式来进行转化，从而表示直线.因此这种转化都是方程的同解变形，转化的方向是“凑”成相应的方程形式.在坐标系中，任意一个二元一次方程都表示一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示.
所以说，直线的方程，方程的直线。而且二元一次方程的每一组解都可以看成坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合构成一条直线。因此我们将关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）称为直线的一般式方程，简称一般式.
意图：明确直线的一般式方程的定义与内涵.
问题3
在方程中，为何值时，方程表示如下直线：
（1）平行于x轴？（2）平行于y轴？（3）与x轴重合？（4）与y轴重合？
引导学生思考：方程若要表示直线，前提要求A,B不同时为0，分析可知：
（1）由直线平行于x轴的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距不为0，因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（2）由直线平行于y轴的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距不为0，因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（3）由直线与x轴重合的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距为0
因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.
（4）由直线与y轴重合的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距为0因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，.
知识小结
小结：总结五种直线的方程，明确一般式方程得表示范围.
活动：引导学生明确：一般式方程可表示任意直线
意图：小结核心知识，强化直线的一般式方程的特征与范围.
例题解析
例1
已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式、一般式方程.
引导学生明确解题思路：已知直线上的一个点和直线的斜率，可求出直线的点斜式方程，再将方程化为直线的一般式方程.
梳理解题过程：
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程为，化为一般式，得.
意图：明确问题思考过程，应用本节课所学知识解决问题.
例2
把直线l的一般式方程为化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
引导学生明确解题思路：把直线l的一般式方程为化为斜截式，求出直线的斜率和在y轴上的截距；令方程中时x的值即为直线与x轴交点横坐标，也就是直线在x轴上截距；通过直线在两坐标轴上的截距，得到直线与两坐标轴交点，连接两点绘制直线
梳理解题过程：
解：把直线l的一般式方程化为斜截式：.
因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程中，令，得，
即直线在x轴上的截距是.
则直线l与x轴、y轴的交点分别为，
过两点作直线，就得直线l（如图所示）.
课堂总结
核心知识：
课后作业
根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴，y轴上的截距分别是，.