【数学】1.3.1《函数的单调性与导数》课件（人教A版选修2-2）

(共26张PPT)
1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程
求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否
在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种
情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)上
一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为
y-y0=f’(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免
疏漏。
1.3.1 函数的单调性与导数
（4）.对数函数的导数:
（5）.指数函数的导数:
（3）.三角函数 ：
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn 1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
二、复习引入:
o
y
x
y
o
x
1
o
y
x
1
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是增函数
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1观
察:
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y = x
y = x2
y = x3
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.
如果恒有 ，则 是常数。
题1 已知导函数 的下列信息:
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.
x
y
O
1
4
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(1) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递增.
(2) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(3) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递减.
(4) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.
练习
2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状
练习
3.讨论二次函数 的单调区间.
解:
由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是
由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是
练习
4.求证: 函数 在 内是减函数.
解:
由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.
一、求参数的取值范围
增例2：求参数
解：由已知得
因为函数在（0，1]上单调递增
增例2：
在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增
（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而
仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题
求证：方程 只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax +3x -x+1在R上是减函数，求a的取值范围。