帮你归纳总结（十五）圆锥曲线中的取值范围问题

帮你归纳总结（二）:圆锥曲线中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
例1、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B， 且，求的取值范围．
解：（1）当直线斜率不存在时：
（2）当直线斜率存在时：设与椭圆C交点为
得
（*）
∵，∴，
∴. 消去，得，
整理得
时，上式不成立； 时，，
∴，∴或
把代入（*）得或
∴或
综上m的取值范围为或。
（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.
例2、已知点，，若动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求 直线的斜率的取值范围.
解：（Ⅰ）设动点，则，，.
由已知得，
化简得，得.
所以点的轨迹是椭圆，的方程为.
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为，
设，两点的坐标分别为，.
由消去得.
因为在椭圆内，所以.
所以
因为
，
所以. 解得.
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
例3、已知点为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求 的取值范围．
解： ，设Q（x，y），，
．
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．
二、针对性练习
1.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的 取值范围.
解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为
（2）设、、，
为弦的中点，由
得
直线与椭圆相交，
①
，从而，
，又
则：，即，②
把②代入①得，解，
由②得，解得.
综上求得的取值范围是.
2. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上， 点在上，且满足的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两
点（点在点之间），且满足，
求的取值范围.
解：（Ⅰ）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设
，
又当直线GH斜率不存在，方程为
3.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围. 解：（1）由题意可得，，，∴．
∴所求的椭圆的标准方程为：．
（2）设，则 ． ①
且，，
由可得，即
∴． ②
由①、②消去整理得
． ∵
∴．
∵， ∴ ．
∴的取值范围为.
4.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满 足（O为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．
解：（Ⅰ）由题意知， 所以．
即． 又因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
，.
，.
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴.
∵＜，∴，∴
∴，
∴，∴.
∴，∵，∴，
∴或，
∴实数取值范围为.