中考数学：和值复习之直线型问题
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文档简介
李中池
直线型问题
直线型问题是几何部分的重要内容，它包括三角形问题，四边形问题。图形的全等与相似问题，解直角三角形问题等内容。在几何的知识结构里处于基础地位，而且能较好的考察学生的空间想象能力及思维能力，是最近几年的中考的必考内容。这部分对学生推理能力要求的不是很高，但对学生的观察、比较、归纳、猜想和动手操作等方面要求较高。
第一、三角形问题
例1、2010年福建晋江）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.
(1) 填空：度；
(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；
(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.
注意
本题中的第三问，图形比较复杂，首先要考虑从复杂的几何图形中分离出简单的基本图形，同时要考虑点D所在的三种位置时对问题带来的影响。
第二、四边形的问题
例2、2009年江西） 在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
注意
此题的第二问从是在分类讨论的基础上探索结论，利用特殊三角形的性质求出有关的数据。结论开放型的问题，结论不确定或者不唯一，应该通过讨论得到结论是否正确或者有哪些结论。
相似型的问题
例3、 2010年江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时
出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A．O为对应顶点的情况)：
题28(a)图 题28(b)图
注意
此题第二问的做题方法，有多个，比如用同一锐角间的正弦余弦的平方和等于1，求的角OBA的正弦值，从而可求的三角形OC边上的高，直接求的S
再如常规的方法，转化成几个可求面积之和或差。
直线型图形与抛物线问题
例4、2010年甘肃嘉峪关)如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请确定符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练习
1．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论，不必证明或说明理由．
2如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含 x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．
3正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
4如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
1（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分
（说明：答对一个给2分）
（2）成立． 4分
证明：
法一：连结DE，DF． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠ FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE． 7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． 8分
∴MF=NE． 9分
法二：
延长EN，则EN过点F． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN． 8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分
法三：
连结DF，NF． 5分
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°． 8分
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN． 9分
（3）画出图形（连出线段NE）， 11分
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分
2解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC
又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC
……………………………………2分
∴，∴…………3分
∴．…………………………4分
（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，
可得EP=DQ1.………………………5分
即，
所以．…………………………6分
∵0 < x < 2.4……………………………7分
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形.……8分
（3）……………………9分
………………………………10分
又∵2.4 < x < 4，………………………………………………12分
∴当时，S取得最大值，最大值为.………
3解：（1）在正方形中，，
，
，
．
在中，，
，
． 2分
（2），
，
， 4分
，
当时，取最大值，最大值为10． 6分
（3），
要使，必须有， 7分
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时． 9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
4
A
B
C
备用图(1)
A
B
C
备用图(2)
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
图①
图②
图③
第25题图
A
·
B
C
D
E
F
·
·
·
N
D
A
CD
B
M
第22题图
第22题
A
B
x
O
y
N
C
A
B
F
M
D
E
N
C
A
B
F
M
D
E
N
D
A
CD
B
M
答案22题图
直线型问题
直线型问题是几何部分的重要内容，它包括三角形问题，四边形问题。图形的全等与相似问题，解直角三角形问题等内容。在几何的知识结构里处于基础地位，而且能较好的考察学生的空间想象能力及思维能力，是最近几年的中考的必考内容。这部分对学生推理能力要求的不是很高，但对学生的观察、比较、归纳、猜想和动手操作等方面要求较高。
第一、三角形问题
例1、2010年福建晋江）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.
(1) 填空：度；
(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；
(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.
注意
本题中的第三问，图形比较复杂，首先要考虑从复杂的几何图形中分离出简单的基本图形，同时要考虑点D所在的三种位置时对问题带来的影响。
第二、四边形的问题
例2、2009年江西） 在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
注意
此题的第二问从是在分类讨论的基础上探索结论，利用特殊三角形的性质求出有关的数据。结论开放型的问题，结论不确定或者不唯一，应该通过讨论得到结论是否正确或者有哪些结论。
相似型的问题
例3、 2010年江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时
出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A．O为对应顶点的情况)：
题28(a)图 题28(b)图
注意
此题第二问的做题方法，有多个，比如用同一锐角间的正弦余弦的平方和等于1，求的角OBA的正弦值，从而可求的三角形OC边上的高，直接求的S
再如常规的方法，转化成几个可求面积之和或差。
直线型图形与抛物线问题
例4、2010年甘肃嘉峪关)如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请确定符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练习
1．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论，不必证明或说明理由．
2如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含 x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．
3正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
4如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
1（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分
（说明：答对一个给2分）
（2）成立． 4分
证明：
法一：连结DE，DF． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠ FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE． 7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． 8分
∴MF=NE． 9分
法二：
延长EN，则EN过点F． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN． 8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分
法三：
连结DF，NF． 5分
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°． 8分
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN． 9分
（3）画出图形（连出线段NE）， 11分
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分
2解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC
又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC
……………………………………2分
∴，∴…………3分
∴．…………………………4分
（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，
可得EP=DQ1.………………………5分
即，
所以．…………………………6分
∵0 < x < 2.4……………………………7分
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形.……8分
（3）……………………9分
………………………………10分
又∵2.4 < x < 4，………………………………………………12分
∴当时，S取得最大值，最大值为.………
3解：（1）在正方形中，，
，
，
．
在中，，
，
． 2分
（2），
，
， 4分
，
当时，取最大值，最大值为10． 6分
（3），
要使，必须有， 7分
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时． 9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
4
A
B
C
备用图(1)
A
B
C
备用图(2)
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
图①
图②
图③
第25题图
A
·
B
C
D
E
F
·
·
·
N
D
A
CD
B
M
第22题图
第22题
A
B
x
O
y
N
C
A
B
F
M
D
E
N
C
A
B
F
M
D
E
N
D
A
CD
B
M
答案22题图
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