帮你归纳总结（十八）：平面向量易错题剖析

帮你归纳总结（十八）：平面向量易错题剖析
　　在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下：
　1.已知，与的夹角为45°，当向量与的夹角为锐角 时，求实数A的范围．
错解：由已知，∵与的夹角为锐角，
∴，
即,
解得或
∴实数λ的范围是
分析：解题时忽视了与的夹角为的情况，也就是既 包括了与的夹角为锐角，也包括了与的夹角为，而
与的夹角为不合题意．
正解：由已知，又与的夹角为锐角
∴，且，
由，
即,
解得或
由得，即，
综上所述实数λ的范围是。
2．已知为所在平面内一点且满足，则与的 面积之比为 ( )
A．1 B. D．2
错解： ∴在边上，且,
又△AOB与△AOC高相等，∴与的 面积之比为2，∴选D．
分析： 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为△ABC的
重心的情况下，才有，而本题无此已知条件．
正解： 在AB上取一点D，使，分的比，得
，又由已知，∴O为CD的
中点，不妨设，则(∵两者等底同高)，，
，△AOB的面积与△AOC的面积之比为3：2，选B．
3. 在边长为1的正三角形中，求的值．
错解：
　　 ．
　　分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量与，与，与 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定 义理解不透造成的．
正解：
　　 ．
　　注意：向量与的夹角为锐角的充要条件是且与不共线．这里，与不 共线不能忽略．
4. 向量、都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求 与的夹角．
　　错解：由题意，得，① ，②
　　 将①、②展开并相减，得，③
　　 ∵，故，④ 将④代入②，得，
　　 则， 设与夹角为，则．
　　 ∵，∴．
　　分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去 律，所以即使，也不能随便约去．
　　正解：设向量、的夹角为，由上面解法有，代入①式、②式均可得 ，则，∴． 又∵，∴．5. 已知三点的坐标分别为，，，试判断的形状。
错解：∵，，
， ∴为钝角三角形．
　　 分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论．事实上，由点的坐标可以 确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状．
　　 正解：，，
　 　 ∵，∴．
　　 故为直角三角形．