帮你归纳总结（十九）：不等式中的易错题剖析

帮你归纳总结（十九）：不等式中的易错题剖析
1、已知：、都是正数，且，，，求的最小值。
错解：、都是正数，
，即的最小值为4。
正解：、都是正数，且，
当且仅当时，的最小值为。
剖析：中等号成立的条件是当且仅当，而
中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾，
因此解题中忽视了条件，从而造成错误。
2、已知二次函数满足，，求的取值范围。
错解：，，
又
正解：设，则有，即
又， ，
剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大， 因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。
3、已知，求的最大值。
错解：
，即的最大值为。
正解1：
因此，当且仅当时，的最大值为。
正解2：（用导数知识解），
，令，得或
又，且当时，；当时，
当时，的最大值为。
剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、 三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式 都不成立。
4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。
错解：
正解：因为关于的不等式的解集是，所以，故
或
故原不等式的解集是。
剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正 确解法。
5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：
例题1、若, 则关于的不等式的解集是 .
错解：或
正解: 或
剖析: 错解中解集没写成了不等式的形式；也没搞清和的大小关系。
6、解不等式.
错解一：原不等式可化为， 解得x≥2．
∴原不等式的解集是{x|x≥2}.
错解二：在不等式f(x)·≥0中，按f(x)的取值情况分类，
有，或．
当，即时，原不等式等价于，解得x ≥ 2；
当，即时，显然无意义，其解集为．
综上所述，原不等式的解集为{x|x ≥ 2}．
正解一：原不等式可化为(I)(x-1)> 0，或(Ⅱ)．
(I)中,由得x > 2；
(Ⅱ)中，由，或x – 1 = O，
且有意义，得x = 1，或x = 2．
∴原不等式的解集为{x|≥2，或x = - 1}．
正解二：分两种情况讨论．
（1） 当，即x > 2，或x < - 1时，
原不等式等价于．解得x > 2．
(2) 当，即x = 2，或x = - 1时，
显然有意义，是原不等式的解．
综上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x = - 1}．
剖析：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解．原因是
忽略了不等式中“≥”具有相等与不相等的双重性．事实上，
不等式f(x)·≥0与或g(x) = 0同解.
错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况
即当x – l < 0，且时也合乎条件，即补上x = - 1．
故原不等式的解集为{x|x≥2，或x = - 1}．
小结：（1）符号“≥”是由符号“>”“ = ”合成的，故不等式可转 化为f(x)· > 0或f(x)· = 0．
（2）在不等式中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：
（i)g(x) > 0时,等式等价于(ii)g(x) = 0时'只须f(x)有意义即可.
7、设函数，其中，解不等式．
错解：∵不等式f(x)≤1，∴≤1 + ax．两边平方，得x2 + 1≤(1 + ax)2 ,
即x·[(a2 - 1)x + 2a]≥0．又，
∴当a > 1时，x ≥ 0，或x ≤-；
当0 < a < 1时，0 ≤ x ≤．
正解：不等式f(x)≤1，即≤1 + ax． 由此得1≤1 + ax，即ax≥O，其中a > 0．
∴原不等式等价于不等式组即
∴当0 < a <1时，原不等式的解集为{x|0≤x≤}；
当a≥1时,原不等式的解集为{x|x≥O}．
剖析：未能从已知条件中挖掘出隐含条件：“1 + ax ≥ 1”，即“ax≥0”，进而由a > 0
可得x≥0．
小结：解不等式常见的思维误区有：
（1）概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等.
（2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.如例题6.
（3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7.