帮你归纳总结（二十）：函数中的易错题剖析

帮你归纳总结（二十）：函数中的易错题剖析
1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称.
（1）函数的奇偶性为 .
【错解】偶函数.
【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.
【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数
2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：
（2），若时，，则x1、x2满足的条件是 ；
【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题.
【分析】可以判断出f(x)是偶函数，且在上是增函数.
【正解】由f(x)在上的图象可知答案为.
3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：
（3）函数当时，则a的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【错解】只想到一种情况，选D
【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.
【正解】正确答案为：C
4、不理解函数的定义：
(4) 函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是 （ ）
（A）至少有一个 （B） 至多有一个 （C）必有一个 （D） 有一个或两个
【错解】选A、C或D
【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域
内的一个x值只能对应一个y值）.
【正解】正确答案为：B
（5）在同一坐标系内，函数的图象关于 （ ）
（A） 原点对称 （B）x轴对称 （C）y轴对称 （D） 直线y=x对称
【错解】没有思路.
【分析】要知道两函数的图象关于y轴对称.
【正解】的图象由的图象向左平移1个单位而得到，＝
的图象由的图象向右平移一个单位而得到.故选C.
5、定义在R上的偶函数满足，当时,，则 ( )
A．f(sin)＜f(cos) B．f(sin)＞f(cos)
C．f(sin1)＜f(cos1) D.f(sin)＜f(cos)
【错解】 A ， 由知T=2为f(x)的一个周期．
设x∈[-1，0]知x+4∈[3，4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2．
∴在[-1，0]上是增函数 又为偶函数．∴f(x)=f(-x)
∴x∈[0，1]时,f(x)=x+2，即f(x)在[0，1]上也是增函数．
又∵sin＜cos f(sin)＜f(cos)．
【分析】 上面解答错在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2这一步上，导致错误的原因主要
是对偶函数图像不熟悉．
【正解】 C 由f(x)=f(x+2)知T=2为的一个周期，设x∈[-1，0]，知x+4∈ ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴在[-1，0]上是增函数．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称．
∴f(x)在[0，1]上是减函数．
A：sinf(cos)
B：sin＞cosf(sin)＞f(cos)．
C：sin1>cos1f(sin1)若函数是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得
的x的取值范围是 ( )
A．(-∞，2) B．(2，+∞) C．(-∞，-2)∪(2，+∞) D．(-2，2)
【错解】 C f(-x)=f(x)＜0=f(2)．∴x＞2或x<-2．
【分析】 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反．错误地认为f(x)在
[0，+∞]上仍是减函数，导致答案选错．
【正解】 ∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)．∴f(x)<0．f(|x|)＜f(2)．
又∵f(x)在(-∞，0)上是减函数，∴f(x)在[0，+∞]上是增函数，
|x|＜2-2设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=对称，则 f(1)+f(2)+
f(3)+f(4)+f(5)=_______
【错解】 -f(0)
∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)．
又f(x)的图像关于x=对称．
∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0． ∴f(x)+f(x-1)=0
∴f(5)+f(4)=0．f(3)+f(2)=0．f(1)+f(0)=0．
∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)
【分析】 上面解答忽视了奇函数性质的运用．即f(x)在x=0处有定义f(0)=0．
【正解】 填0
依题意f(-x)=-f(x)．f(x)=f(1-x)．∴f(-x)=-f(1-x)
即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0
∴f(5)+f(4)=0，f(3)+f(2)=0．f(1)+f(0)=0．
又∵f(x)在x=0处有定义，∴f(0)=0
∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O.
小结：1．函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进
行化简．
2．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化
关系和图像的对称性解决有关问题．
3．解题中要注意以下性质的灵活运用.
(1)f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)．
(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0.