安徽省六安市舒城县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

舒城县2020－2021学年度第二学期期末质检
高一数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数z满足false，则false（ ）
A.1 B.2 C. false D.false
2.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球
C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球
3.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果false，那么向量false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A.甲班不及格率高于乙班不及格率 B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C.甲班学生比乙班学生发挥稳定 D.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
5.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）
A.0.32 B.0.45 C.0.64 D.0.67
6.已知圆锥的表面积为3false，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.设m，n是两条不同直线，false，false是两个不同平面，则下列说法错误的是（ ）
A.若m⊥false，n⊥false，则m//n； B.若false//false，m⊥false，则m⊥false；
C．若m//false，n//false，则m//n； D.若m⊥false，m//false，则false⊥false．
8.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位舒城县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ）
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
9.若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，那么△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
10.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点．则false的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.false D.2＋false
11.【市示范选做】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，当t＝4时的概率是（ ）
A.false B.false C.false D.false
11.【省示范选做】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，则下列说法正确的是（ ）
A.事件“t＝12”的概率为false B.事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件
C.事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件 D.事件“t＞8且mn＜32”的概率为false
12.【市示范选做】如图，正方体false的棱长为1，则下列四个命题错误的是（ ）
A.若点M，N分别是线段false的中点，则false
B.点C到平面false的距离为false
C.直线BC与平面false所成的角等于false
D.三棱柱false的外接球的表面积为3false
12.【省示范选做】如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则下列结论错误的是（ ）
A.AP⊥EF
B.点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心
C.二面角A－EF－P的余弦值为false
D.若四面体P－AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24false
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
488 932 812 458 989 431 257 390 024 556
734 113 537 569 683 907 966 191 925 271
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 ．
14.已知false，向量false与向量false的夹角为false，则向量false在向量false方向上的投影向量的坐标为 ．
15.【市示范选做】一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若false，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 ．
15.【省示范选做】一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”如213），若false，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 ．
16.【市示范选做】如图，在三棱锥V－ABC中，AB＝false，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V－AB－C的余弦值是 ．
16.【省示范选做】已知正方体false棱长为4，P是false中点，过点false作平面false，满足CP⊥平面false，则平面false与正方体false的截面周长为 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分10分）
已知false（其中i为虚数单位）
（1）若false为纯虚数，求实数a的值；
（2）若false（其中false是复数false的共扼复数），求实数a的取值范围．
18.（本小题满分12分）某校命制了一套调査间巻（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数．
19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，false．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）求四边形OABC的面积．
20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3
（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD．
21.【市示范选做】（本小题满分12分）
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）两人都射中的概率；
（2）两人中至少有一人射中的概率．
21.【省示范选做】（本小题满分12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为false，恰有一人答对的概率为false．
（1）求p和q的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
22.【市示范选做】（本小题满分12分）
某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娛乐设施建筑用地，AB＝AD＝2CD＝6，BC＝9
（1）求儿童娱乐设施建筑用地的面积；
（2）若A，C，D不动，在圆弧false上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值．
22.【省示范选做】（本小题满分12分）
如图所示，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知，AD＝6m，AE＝6m，AP＝2m，∠MPN＝false．记∠EPM＝false（rad），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为Sfalse．
（1）求S关于false的函数关系式，并写出false的取值范围；（参考数据：false）
（2）求S的最小值．
参考答案
一、选择题
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11市
11
省
12
市
12
省
答案
D
D
B
A
B
A
C
C
B
D
B
D
B
D
二、填空题
0.3 ； 14、false ； 15市、false ；
15省、false ； 16市、 false ； 16省、4false＋6false．
三、解答题
17、【解析】（1）由false，false，
得false，－－－－－－3分
falsefalse为纯虚数，falsefalse，且false，falsefalse．－－－－－－－5分
（2）false，－－－－－－－6分
falsefalse，falsefalse，即false，－－－－－－8分
解得false．－－－－－－－10分
18、（1）由频率分布直方图得，第4组的频率为为1﹣（0.01＋0.03＋0.03＋0.01）×10＝0.2，
所以x＝0.02； － －－－－－－2分
所以抽到50名学生成绩的平均数为
false＝（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01）×10＝74；
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4， －－－－－－－5分
前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，所以中位数在第3组；
设中位数为t分，则有（t﹣70）×0.03＝0.1，解得t＝false；所以所求中位数是false．－－－－－－－8分
（2）由（1）知50学生中不低于70分的的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，
用样本估计总体，估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为
2000×0.6＝1200（人）． －－－－－－－12分
19、【解析】（1）在平面直角坐标系xOy中，设false，则
因为false，所以A（2，0）． －－－－－－－－－2分
又false．所以false，false
所以点false． －－－－－－－－4分
又 false，所以false，
所以点false －－－－－－－－6分
由（1）可得false，false，－－－－－－－8分
所以false 又false，所以四边形OABC为等腰梯形，－－－－－－－10分
如图，延长CB交x轴于点D，则DC＝ DO，BD＝AD．
又false，则false，false均为等边三角形．
∴四边形false的面积false－－－－－－－－12分
20、【解析】（1）证明：连接false，易知false，false．
又由false，故false．
又因为false平面false，false平面false，所以false平面false； －－－－－－－－6分
（2）证明：如图，取棱false的中点false，连接false． 依题意得false，
又因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，
又false平面false，故false．
又已知false，false，所以false平面false； －－－－－－－12分
【市示范选做】
设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．事件A与B是相互独立的．
（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72. －－－－－－－5分
（2）两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有击中的概率，
∴所求的概率等于 1﹣P（false）＝1﹣P（false）?P（false）＝1﹣0.2×0.1＝0.98. －－－－－－－12分
21、【省示范选做】
【详解】（1）设false{甲同学答对第一题}，false{乙同学答对第一题}，则false，false．
设false{甲、乙二人均答对第一题}，false{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则false，false．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以false与false相互独立，false与false相互互斥，所以false，false
false．
由题意可得false
即false解得false或false
由于false，所以false，false．
（2）设false{甲同学答对了false道题}，false{乙同学答对了false道题}，false，1，2.
由题意得，false，false，
false，false．
设false{甲乙二人共答对3道题}，则false．
由于false和false相互独立，false与false相互互斥，
所以false．
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为false．
22、【市示范选做】
．【解析】（1）连接AC（图略），由题意可得false ，
则false．①
由余弦定理可得
false，
则false．②
由①②可得false，从而false．
故四边形ABCD的面积为
falsefalse．
（2）由余弦定理可得false．
由（1）可得false，
由余弦定理可得false，则false，
从而△AEC的面积false．
由（1）可知△ACD的面积为false ，
则儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积为false．
22、【省示范选做】
【解析】（1）解法1：在false中，false，false，false，false，由正弦定理得false，
所以false． －－－－－－2分
同理，在false中，由正弦定理得false，
所以false． －－－－－－－4分
所以false的面积
falsefalsefalse
falsefalse，
当false与false重合时，false；
当false与false重合时，false，即false，false，所以false．
综上，可得false，false．－－－－－－－－6分
解法2：在false中，false，false，false，false，由正弦定理可知，false，
所以false． －－－－－－－2分
在false中，由正弦定理可知false，
所以false． －－－－－－－－－4分
所以false．
又点false到false的距离为false，
所以false的面积
falsefalsefalsefalse
false，
当false与false重合时，false；当false与false重合时，false，
即false，false，所以false．
综上，可得false，false． －－－－－－－6分
（2）false －－－－－－－8分
当false，即false时，false －－－－－－－10分
false取得最小值为false．
所以可视区域false面积的最小值为false． －－－－－－12分