【精品解析】江苏省苏州市高新区胥江中学2021届九年级下学期数学开学考试试卷

江苏省苏州市高新区胥江中学2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020·常熟模拟）下列四个实数中，无理数是（　　）
A． B． C．－2 D．
2．（2020·常熟模拟）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九下·苏州开学考）据统计，2019年末我市常住人口约为1519000人，将1519000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九下·苏州开学考）用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九下·苏州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2018九上·广州期中）由二次函数 ，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
7．（2021九下·苏州开学考）如图，圆 为 的外接圆， ，则 的度数为（　　）
A．15° B．18° C．28° D．30°
8．（2021九下·苏州开学考）如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（　　）
A．π B． C．2π D．
9．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴相交.则下列关于 、 的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021九下·苏州开学考）如图，在 中， ， ， ， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，则 （　　）
A． B．2 C． D．3
二、填空题
11．（2018·淮安）计算： ＝　 　．
12．（2017·嘉兴模拟）因式分解： =　 　.
13．（2021九下·苏州开学考）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为　 　.
14．（2021九下·苏州开学考）如图，正方形 是一飞镖游戏板，其中点 ， ， ， 分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是　 　.
15．（2021九下·苏州开学考）已知一圆锥的母线为 ，底面圆的直径为 ，则此圆锥的侧面积为　 　 （保留 ）.
16．（2021九下·苏州开学考）如图，已知点 在 轴正半轴上，圆 与 轴相切于原点 ，平行于 轴的直线交圆 于 两点，点 在点 的下方，且点 的坐标是 ，则圆 的半径为　 　.
17．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　 　.
18．（2021九下·苏州开学考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　 　.
三、解答题
19．（2021九下·苏州开学考）计算
20．（2020·常熟模拟）解不等式组：
21．（2017八下·姜堰期末）某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？
22．（2021九下·苏州开学考）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字 ，0，1，2四个数字，这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀.
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为　 　（直接写出答案）；
（2）若先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球.请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率.
23．（2021九下·苏州开学考）如图，在四边形 中， ， ， . .
（1）求 的长；
（2）求四边形 的面积.
24．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 ，
（1）若该二次函数的图象与 轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，如果该抛物线的顶点到 轴的距离为2，求 的值.
25．（2021九下·苏州开学考）如图所示，建筑物 座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物 在坡顶平地上的一部分影子 米，在斜坡 上的另一部分影子 米，且斜坡 的坡度为 （即 ） 求建筑物 的高度.（结果保留根号）
26．（2021九下·苏州开学考）如图， ，以 为直径的 交 于点D，点E为弧 的中点，连结 交 于点F，且 .
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ，求 的长.
27．（2021九下·苏州开学考）如图， 中， ， .动点 从点 出发，在 边上以每秒1cm的速度向终点 匀速运动，同时动点 从点 出发，沿 以每秒 的速度向终点 匀速运动，连接 ，设运动时间为 （秒）.
（1）当 秒时，则 的面积 　 　 ；（直接写出答案）
（2）以 为直径作圆 ，在点 ， 的运动过程中，当圆 与 的一边所在直线相切时，求 的值.
28．（2021九下·苏州开学考）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一交点为 ，连接 ，点 为 上方的抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接 ，交线段 于点 ，若 ，求此时点 的坐标；
（3）如图②，连接 .过点 作 轴，交线段 于点 ，若 与 相似，求出点 的横坐标及线段 长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ ＝2，
∴由无理数的定义可知，四个实数中，是无理数的是 .
故答案为：A.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式 在实数范围内有意义，则
解得： .
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1519000＝1.519×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2﹣4x=﹣2，
x2﹣4x+4=﹣2+4，
（x﹣2）2=2.
故答案为：D.
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理可得： ，
∴tanA= ，
故答案为：D .
【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由二次函数y=2(x 3)2+1，可知：
A.∵a>0，其图象的开口向上，故此选项不合题干要求；
B.∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项合题干要求；
C.其最小值为1，故此选项正确；
D.当x<3时，y随x的增大而减小，故此选项不合题干要求.
故答案为：C.
【分析】（1）先由a值判断图像向上，（2）根据顶点横坐标求得函数的对称轴，（3）利用a值知道函数图象开口向上，然后根据顶点纵坐标求得函数最小值。（4）因为图像开口向上，因为x＜3，所以在对称轴的左侧图像下降，y随x的增大而减小。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵ ，
∴∠BOC=2∠A=144°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC= (180-144)=18°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系，求出∠BOC，再利用等腰三角形的性质求∠BOC.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】连结BC，设扇形的圆心为A点，
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径，
∴BC=4，
在Rt△BAC中，由AB=AC，
由勾股定理AB=AC= ，
∴S扇形BAC= .
故答案为：C.
【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线与y轴负半轴相交， 、 ，
∴
由 ，抛物线开口向上，
∵另一根 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 满足的条件是 ，
故答案为：B.
【分析】由二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，可得 ，由抛物线与y轴负半轴相交，可知 ， 时，抛物线开口向上，另一根 利用函数值得不等式组 解不等式得 ；可得 满足的条件是 .
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，作 于H，作 于G，作 于F，
∵ 与 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
设 = ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ = ，即 ，
解得：x=2，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】连接CD，作 于H，作 于G，作 于F，根据角平分线的性质得 ，设 = ，利用三角形的面积求出 ，由 可得 ，则 ，利用相似三角形的性质即可求解.
11．【答案】a6
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：原式=a6.
故答案为：a6.
【分析】根据幂的乘方公式计算即可得出答案.
12．【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△＝（ 1）2 4×1×（k 1）≥0，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率
【解析】【解答】解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF的面积，
设正方形ABCD的边长是 ，则 ，
∵F是BC中点，
∴ ，
∴ ，
概率是 .
故答案是： .
【分析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD的面积得到概率.
15．【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为12cm，
∴底面周长=12πcm，
∴圆锥的侧面积= ×12π×10=60π（cm2），
故答案为：60π.
【分析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，再利用圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长求出即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设圆 M 的半径为r，圆 M与y轴的另一交点为N，则N的坐标为（0，2r），连结PN、OP，
由题意可得：
，
∴ ，
解之得： ，
故答案为 .
【分析】设圆 M 的半径为r，圆 M与y轴的另一交点为N，则由 可以得到关于r的方程，解方程即可得到r的值.
17．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
18．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM= ×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC= = = .
故答案为 .
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数，再利用角平分线的定义求出∠CAB的度数；将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，利用旋转的性质，可求出∠E的度数及BE的长，同时可证得∠ABC+∠EBC=180°，AC=CE，可推出点A，B，E在同一条直线上；过C作CM⊥AE于M，利用等腰三角形的性质求出AM的长，然后在Rt△AMC中，利用解直角三角形求出AC的长.
19．【答案】解：
=
=
=
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
20．【答案】解：
由①得， ；
由②得， ；
∴不等式组的解集为： .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可
21．【答案】解：设这位顾客买了x双运动鞋，由题意得： 解得： ∵单价不能低于150元，∴ 240 6 ( x 10 ) ≥ 150.∴x≤25，∴x=20.答：这位顾客买了20双运动鞋.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设这位顾客买了x双运动鞋由题意可得一元二次方程x[240 6(x 10)]=3600.解之即可.再由单价不能低于150元，得240 6 ( x 10 ) ≥ 150.从而得出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
一共有12种可能性，其中数字之和是1的有4种，
∴概率是 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）4个球其中有1个是数字2的球，概率是 ，
故答案是： ；
【分析】（1）用数字是2的球的个数除以球的总数得到概率；（2）画出树状图，找出所有可能性中符合条件的情况，求出概率.
23．【答案】（1）解：如图作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N.
∵∠B＝∠NMB＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNAB是矩形，
∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∠BAN＝90°，
∵∠C+∠B+∠ADC+∠BAD＝360°，∠C＝60°，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAN＝∠BAD﹣∠BAN＝30°，
在Rt△AND中，∵AD＝2，∠DAN＝30°，
∴DN＝ AD＝1，AN＝ ，
在Rt△DMC中，∵DM＝DN+MN＝6，∠C＝60°，
∴∠CDM＝30°，
∴CD＝2MC，设MC＝x，则CD＝2x，
∵CD2＝DM2+CM2，
∴4x2＝x2+62，
∵x＞0
∴x＝ ，
∴CD＝ .
（2）解：由（1）得，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N，易知四边形MNAB是矩形，分别在Rt△ADN中求出DN，利用含60°的直角三角形求CD即可；（2）由（1）可知，四边形 的面积就是△DCM与梯形ADMB的面积和.
24．【答案】（1）解：该二次函数的图象与 轴只有一个交点，说明 有且仅有一个实数根.
∴
解得： ，
∴该二次函数的表达式为 ，改为顶点式为 ，
∴顶点坐标为(-1,0).
（2）解：根据（1），若该抛物线到x轴的距离为2，说明顶点为(-1,2)或(-1,-2).
∴该二次函数的表达式为 或 .
变为一般式为 或 .
即 或 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据图象的性质即可关联一元二次方程 有且仅有一个实数根.利用跟的判别式即可求出m的值.（2）根据题意可知该顶点为(-1,2)或(-1,-2)，即可得出该二次函数，即可得出m的值.
25．【答案】解：延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，
∵斜坡 的坡度为 （即 ） ，
∴ ，
∴ ，
∵CF平行地面，
∴∠FCD=30°，
∵当太阳光线与水平线夹角成60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFC=∠FCD+∠FDC，
∴∠FDC =∠AFC-∠FCD=60°-30°=30°，
∴CF=FD，
∵ ，
∴DG= ，
在Rt△FDG，
∠GFD=∠AFC=60°，
∴GD=FD sin60°，
∴FD= ，
∴CF=FD=5，
∴BF=BC+CF=15+5=20，
在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，由斜坡 的坡度为 （即 ） 求得 ，两直线平行内错角相等∠FCD=30°，由当太阳光线与水平线夹角成60°，知∠AFB=60°由外角性质可求∠FDC=30°，可证CF=FD，由 可求DG= ，在Rt△FDG∠GFD =60°，可由三角函数GD=FD sin60°，求得CF=FD=5，可求BF= 20，在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
26．【答案】（1）解：AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠EBD+∠BFE=90°，
∵AF=AC，
∴∠ACE=∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD=∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：∵⊙O的半为2，
∴BC=4，
在Rt△ABC中， ，
∴AB=5，
∴AC= =3，
∵AF=AC，
∴AF=3，BF=5-3=2，
∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴ ，
∴EC=2EB，
设EB=x，EC=2x，
由勾股定理得：x2+4x2=16，
∴x= （负数舍去），
即CE= .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE=90°，推出∠ACE=∠AFC，∠EBD=∠BCE，求出∠ACE+∠BCE=90°，根据切线的判定推出即可.（2）根据BC=4， ，求出AB=5，AC=3，AF=3，BF=2，根据∠EBD=∠BCE，∠E=∠E证△BEF∽△CEB，推出EC=2EB，设EB=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可.
27．【答案】（1）
（2）解：如图，过点A作 于点E，
则 ，
在 中， ，
，
由题意得： ，
①如图，当圆 与AB相切时，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解；
②如图，当圆 与BC相切时，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解；
③当圆 与AC相切时，
如图，设圆 与AC相切于点F，连接OF，过点P作 于点G，作 ，交CA延长线于点M，过点Q作 于点N，
则 ，
，
点O是PQ的中点，
，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
则由 得： ，
解得 ；
综上，当圆 与AB相切时， ；当圆 与BC相切时， ；当圆 与AC相切时， .
【知识点】切线的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作 于点D，
， ，
，
由题意，当 秒时， ，
，
在 中， ，
则 ，
故答案为： ；
【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差可求出BP、BQ的长，然后根据直角三角形的性质可得PD的长，最后利用三角形的面积公式即可得；（2）如图（见解析），先利用等腰三角形的性质、解直角三角形可得BC的长，再分圆 与AB相切、圆 与BC相切、圆 与AC相切三种情况，然后分别利用圆的切线的性质、解直角三角形即可得.
28．【答案】（1）解：直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
B（1,0），C（0,3）
抛物线 经过 ， 两点，
将B、C的坐标代入解析式可得
解得
抛物线解析式为： ；
（2）解：令抛物线 ，可得 或
A（-3,0）
C（0,3）
设直线AC的解析式为：
将A（-3,0），C（0,3）代入直线 ，得
解得：
直线AC的解析式为：
设P点坐标为（ , ）
设直线BP的解析式为：
将B（1,0），P（ , ）代入解析式 中，得
解得：
直线BP的解析式为：
联立直线BP与直线AC
解得
如图过点P作PH 轴于点H，作DG 轴于点G
，
又
PD：BD=5:16
BG：BH=16:21
BG= ，BH=
解得： 或 ，
经检验， ， 都是方程的根，
当 时， ；
当 时，
故点P的坐标为（ ， ），（ ， ）；
（3）解：设P点坐标为
， , ,
轴
又 ,
①当 时
即
解得： 或
经检验 不是方程的根，应舍去，
；
②当 时
即
解得： 或
经检验 不是方程的根，应舍去，
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点可求得B、C的坐标，再将B、C的坐标代入抛物线解析式列方程求解即可得出答案；（2）先求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AC及BP的解析式，联立得出交点D的横坐标；如图过点P作PH 轴于点H，作DG 轴于点G，证明 ，再根据相似三角形的性质列方程求解即可得出答案；（3）设P点坐标为 可得出点E的坐标，先求出PE、AC、EC的值，再分 ， 2种情况根据相似三角形的性质求得 的值，从而得出PE的值.
1 / 1江苏省苏州市高新区胥江中学2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020·常熟模拟）下列四个实数中，无理数是（　　）
A． B． C．－2 D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ ＝2，
∴由无理数的定义可知，四个实数中，是无理数的是 .
故答案为：A.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可得到答案.
2．（2020·常熟模拟）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式 在实数范围内有意义，则
解得： .
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.
3．（2021九下·苏州开学考）据统计，2019年末我市常住人口约为1519000人，将1519000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1519000＝1.519×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2021九下·苏州开学考）用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2﹣4x=﹣2，
x2﹣4x+4=﹣2+4，
（x﹣2）2=2.
故答案为：D.
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可.
5．（2021九下·苏州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理可得： ，
∴tanA= ，
故答案为：D .
【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.
6．（2018九上·广州期中）由二次函数 ，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由二次函数y=2(x 3)2+1，可知：
A.∵a>0，其图象的开口向上，故此选项不合题干要求；
B.∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项合题干要求；
C.其最小值为1，故此选项正确；
D.当x<3时，y随x的增大而减小，故此选项不合题干要求.
故答案为：C.
【分析】（1）先由a值判断图像向上，（2）根据顶点横坐标求得函数的对称轴，（3）利用a值知道函数图象开口向上，然后根据顶点纵坐标求得函数最小值。（4）因为图像开口向上，因为x＜3，所以在对称轴的左侧图像下降，y随x的增大而减小。
7．（2021九下·苏州开学考）如图，圆 为 的外接圆， ，则 的度数为（　　）
A．15° B．18° C．28° D．30°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵ ，
∴∠BOC=2∠A=144°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC= (180-144)=18°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系，求出∠BOC，再利用等腰三角形的性质求∠BOC.
8．（2021九下·苏州开学考）如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（　　）
A．π B． C．2π D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】连结BC，设扇形的圆心为A点，
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径，
∴BC=4，
在Rt△BAC中，由AB=AC，
由勾股定理AB=AC= ，
∴S扇形BAC= .
故答案为：C.
【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可.
9．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴相交.则下列关于 、 的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线与y轴负半轴相交， 、 ，
∴
由 ，抛物线开口向上，
∵另一根 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 满足的条件是 ，
故答案为：B.
【分析】由二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，可得 ，由抛物线与y轴负半轴相交，可知 ， 时，抛物线开口向上，另一根 利用函数值得不等式组 解不等式得 ；可得 满足的条件是 .
10．（2021九下·苏州开学考）如图，在 中， ， ， ， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，则 （　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，作 于H，作 于G，作 于F，
∵ 与 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
设 = ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ = ，即 ，
解得：x=2，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】连接CD，作 于H，作 于G，作 于F，根据角平分线的性质得 ，设 = ，利用三角形的面积求出 ，由 可得 ，则 ，利用相似三角形的性质即可求解.
二、填空题
11．（2018·淮安）计算： ＝　 　．
【答案】a6
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：原式=a6.
故答案为：a6.
【分析】根据幂的乘方公式计算即可得出答案.
12．（2017·嘉兴模拟）因式分解： =　 　.
【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
13．（2021九下·苏州开学考）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△＝（ 1）2 4×1×（k 1）≥0，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.
14．（2021九下·苏州开学考）如图，正方形 是一飞镖游戏板，其中点 ， ， ， 分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率
【解析】【解答】解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF的面积，
设正方形ABCD的边长是 ，则 ，
∵F是BC中点，
∴ ，
∴ ，
概率是 .
故答案是： .
【分析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD的面积得到概率.
15．（2021九下·苏州开学考）已知一圆锥的母线为 ，底面圆的直径为 ，则此圆锥的侧面积为　 　 （保留 ）.
【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为12cm，
∴底面周长=12πcm，
∴圆锥的侧面积= ×12π×10=60π（cm2），
故答案为：60π.
【分析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，再利用圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长求出即可.
16．（2021九下·苏州开学考）如图，已知点 在 轴正半轴上，圆 与 轴相切于原点 ，平行于 轴的直线交圆 于 两点，点 在点 的下方，且点 的坐标是 ，则圆 的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设圆 M 的半径为r，圆 M与y轴的另一交点为N，则N的坐标为（0，2r），连结PN、OP，
由题意可得：
，
∴ ，
解之得： ，
故答案为 .
【分析】设圆 M 的半径为r，圆 M与y轴的另一交点为N，则由 可以得到关于r的方程，解方程即可得到r的值.
17．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
18．（2021九下·苏州开学考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　 　.
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM= ×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC= = = .
故答案为 .
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数，再利用角平分线的定义求出∠CAB的度数；将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，利用旋转的性质，可求出∠E的度数及BE的长，同时可证得∠ABC+∠EBC=180°，AC=CE，可推出点A，B，E在同一条直线上；过C作CM⊥AE于M，利用等腰三角形的性质求出AM的长，然后在Rt△AMC中，利用解直角三角形求出AC的长.
三、解答题
19．（2021九下·苏州开学考）计算
【答案】解：
=
=
=
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
20．（2020·常熟模拟）解不等式组：
【答案】解：
由①得， ；
由②得， ；
∴不等式组的解集为： .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可
21．（2017八下·姜堰期末）某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？
【答案】解：设这位顾客买了x双运动鞋，由题意得： 解得： ∵单价不能低于150元，∴ 240 6 ( x 10 ) ≥ 150.∴x≤25，∴x=20.答：这位顾客买了20双运动鞋.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设这位顾客买了x双运动鞋由题意可得一元二次方程x[240 6(x 10)]=3600.解之即可.再由单价不能低于150元，得240 6 ( x 10 ) ≥ 150.从而得出答案.
22．（2021九下·苏州开学考）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字 ，0，1，2四个数字，这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀.
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为　 　（直接写出答案）；
（2）若先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球.请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率.
【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
一共有12种可能性，其中数字之和是1的有4种，
∴概率是 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）4个球其中有1个是数字2的球，概率是 ，
故答案是： ；
【分析】（1）用数字是2的球的个数除以球的总数得到概率；（2）画出树状图，找出所有可能性中符合条件的情况，求出概率.
23．（2021九下·苏州开学考）如图，在四边形 中， ， ， . .
（1）求 的长；
（2）求四边形 的面积.
【答案】（1）解：如图作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N.
∵∠B＝∠NMB＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNAB是矩形，
∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∠BAN＝90°，
∵∠C+∠B+∠ADC+∠BAD＝360°，∠C＝60°，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAN＝∠BAD﹣∠BAN＝30°，
在Rt△AND中，∵AD＝2，∠DAN＝30°，
∴DN＝ AD＝1，AN＝ ，
在Rt△DMC中，∵DM＝DN+MN＝6，∠C＝60°，
∴∠CDM＝30°，
∴CD＝2MC，设MC＝x，则CD＝2x，
∵CD2＝DM2+CM2，
∴4x2＝x2+62，
∵x＞0
∴x＝ ，
∴CD＝ .
（2）解：由（1）得，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N，易知四边形MNAB是矩形，分别在Rt△ADN中求出DN，利用含60°的直角三角形求CD即可；（2）由（1）可知，四边形 的面积就是△DCM与梯形ADMB的面积和.
24．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 ，
（1）若该二次函数的图象与 轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，如果该抛物线的顶点到 轴的距离为2，求 的值.
【答案】（1）解：该二次函数的图象与 轴只有一个交点，说明 有且仅有一个实数根.
∴
解得： ，
∴该二次函数的表达式为 ，改为顶点式为 ，
∴顶点坐标为(-1,0).
（2）解：根据（1），若该抛物线到x轴的距离为2，说明顶点为(-1,2)或(-1,-2).
∴该二次函数的表达式为 或 .
变为一般式为 或 .
即 或 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据图象的性质即可关联一元二次方程 有且仅有一个实数根.利用跟的判别式即可求出m的值.（2）根据题意可知该顶点为(-1,2)或(-1,-2)，即可得出该二次函数，即可得出m的值.
25．（2021九下·苏州开学考）如图所示，建筑物 座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物 在坡顶平地上的一部分影子 米，在斜坡 上的另一部分影子 米，且斜坡 的坡度为 （即 ） 求建筑物 的高度.（结果保留根号）
【答案】解：延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，
∵斜坡 的坡度为 （即 ） ，
∴ ，
∴ ，
∵CF平行地面，
∴∠FCD=30°，
∵当太阳光线与水平线夹角成60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFC=∠FCD+∠FDC，
∴∠FDC =∠AFC-∠FCD=60°-30°=30°，
∴CF=FD，
∵ ，
∴DG= ，
在Rt△FDG，
∠GFD=∠AFC=60°，
∴GD=FD sin60°，
∴FD= ，
∴CF=FD=5，
∴BF=BC+CF=15+5=20，
在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，由斜坡 的坡度为 （即 ） 求得 ，两直线平行内错角相等∠FCD=30°，由当太阳光线与水平线夹角成60°，知∠AFB=60°由外角性质可求∠FDC=30°，可证CF=FD，由 可求DG= ，在Rt△FDG∠GFD =60°，可由三角函数GD=FD sin60°，求得CF=FD=5，可求BF= 20，在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
26．（2021九下·苏州开学考）如图， ，以 为直径的 交 于点D，点E为弧 的中点，连结 交 于点F，且 .
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ，求 的长.
【答案】（1）解：AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠EBD+∠BFE=90°，
∵AF=AC，
∴∠ACE=∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD=∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：∵⊙O的半为2，
∴BC=4，
在Rt△ABC中， ，
∴AB=5，
∴AC= =3，
∵AF=AC，
∴AF=3，BF=5-3=2，
∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴ ，
∴EC=2EB，
设EB=x，EC=2x，
由勾股定理得：x2+4x2=16，
∴x= （负数舍去），
即CE= .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE=90°，推出∠ACE=∠AFC，∠EBD=∠BCE，求出∠ACE+∠BCE=90°，根据切线的判定推出即可.（2）根据BC=4， ，求出AB=5，AC=3，AF=3，BF=2，根据∠EBD=∠BCE，∠E=∠E证△BEF∽△CEB，推出EC=2EB，设EB=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可.
27．（2021九下·苏州开学考）如图， 中， ， .动点 从点 出发，在 边上以每秒1cm的速度向终点 匀速运动，同时动点 从点 出发，沿 以每秒 的速度向终点 匀速运动，连接 ，设运动时间为 （秒）.
（1）当 秒时，则 的面积 　 　 ；（直接写出答案）
（2）以 为直径作圆 ，在点 ， 的运动过程中，当圆 与 的一边所在直线相切时，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：如图，过点A作 于点E，
则 ，
在 中， ，
，
由题意得： ，
①如图，当圆 与AB相切时，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解；
②如图，当圆 与BC相切时，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解；
③当圆 与AC相切时，
如图，设圆 与AC相切于点F，连接OF，过点P作 于点G，作 ，交CA延长线于点M，过点Q作 于点N，
则 ，
，
点O是PQ的中点，
，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
则由 得： ，
解得 ；
综上，当圆 与AB相切时， ；当圆 与BC相切时， ；当圆 与AC相切时， .
【知识点】切线的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作 于点D，
， ，
，
由题意，当 秒时， ，
，
在 中， ，
则 ，
故答案为： ；
【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差可求出BP、BQ的长，然后根据直角三角形的性质可得PD的长，最后利用三角形的面积公式即可得；（2）如图（见解析），先利用等腰三角形的性质、解直角三角形可得BC的长，再分圆 与AB相切、圆 与BC相切、圆 与AC相切三种情况，然后分别利用圆的切线的性质、解直角三角形即可得.
28．（2021九下·苏州开学考）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一交点为 ，连接 ，点 为 上方的抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接 ，交线段 于点 ，若 ，求此时点 的坐标；
（3）如图②，连接 .过点 作 轴，交线段 于点 ，若 与 相似，求出点 的横坐标及线段 长.
【答案】（1）解：直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
B（1,0），C（0,3）
抛物线 经过 ， 两点，
将B、C的坐标代入解析式可得
解得
抛物线解析式为： ；
（2）解：令抛物线 ，可得 或
A（-3,0）
C（0,3）
设直线AC的解析式为：
将A（-3,0），C（0,3）代入直线 ，得
解得：
直线AC的解析式为：
设P点坐标为（ , ）
设直线BP的解析式为：
将B（1,0），P（ , ）代入解析式 中，得
解得：
直线BP的解析式为：
联立直线BP与直线AC
解得
如图过点P作PH 轴于点H，作DG 轴于点G
，
又
PD：BD=5:16
BG：BH=16:21
BG= ，BH=
解得： 或 ，
经检验， ， 都是方程的根，
当 时， ；
当 时，
故点P的坐标为（ ， ），（ ， ）；
（3）解：设P点坐标为
， , ,
轴
又 ,
①当 时
即
解得： 或
经检验 不是方程的根，应舍去，
；
②当 时
即
解得： 或
经检验 不是方程的根，应舍去，
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点可求得B、C的坐标，再将B、C的坐标代入抛物线解析式列方程求解即可得出答案；（2）先求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AC及BP的解析式，联立得出交点D的横坐标；如图过点P作PH 轴于点H，作DG 轴于点G，证明 ，再根据相似三角形的性质列方程求解即可得出答案；（3）设P点坐标为 可得出点E的坐标，先求出PE、AC、EC的值，再分 ， 2种情况根据相似三角形的性质求得 的值，从而得出PE的值.
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