江苏省苏州市吴中区校2021届九年级下学期数学开学考试试卷

江苏省苏州市吴中区校2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·吴中开学考）把一元二次方程 化成一般形式，则a，b，c的值分别是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021九下·吴中开学考）方程 的根为（　　）
A．0或-2 B．-2 C．0 D．1或-1
3．（2021九下·吴中开学考）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是（2，1） D．与 轴有两个交点
4．（2021九下·吴中开学考）在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 9，BC = 12，则其外接圆的半径为（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．3
5．（2021九下·吴中开学考）如图，点A，B，C在 上，且 ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021九下·吴中开学考）关于 的一元二次方程 有一个实数根 ，则下面关于该方程的判别式 的说法正确的是(　　）
A． B． C． D．无法确定
8．（2021九下·吴中开学考）书架上摆放有5本书，其中2本教科书，3本文学书，任意从书架上抽取1本，抽到教科书的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019九上·海南期末）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2021九下·吴中开学考）已知点O是 的外心，作正方形 ，下列说法：①点O是 的外心；②点O是 的外心；③点O是 的外心；④点O是 的外心.其中说法一定正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2019八下·北京房山期末）方程 的解为　 　．
12．（2021九下·吴中开学考）二次函数 的图象的顶点坐标为　 　.
13．（2020·常州）若关于x的方程 有一个根是1，则 　 　.
14．（2021九下·吴中开学考）已知 的半径为 ， ，则点P在 的　 　.（填“上面”“内部”或“外部”）
15．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是　 　 .
16．（2021九下·吴中开学考）圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则圆锥的底面圆半径 　 　 .
17．（2021九下·吴中开学考）若关于x的一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是　 　.
18．（2021九下·吴中开学考）如图，在 中， ， ， ，P是 所在平面内一点，且满足 ，则 的最大值为　 　.
三、解答题
19．（2021九下·吴中开学考）计算： .
20．（2021九下·吴中开学考）解方程：
（1） ；
（2） .
21．（2021九下·吴中开学考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是直角三角形时，求k的值.
22．（2021九下·吴中开学考）若二次函数 的图象经过点(1，0)和点(2，1).
（1）求a、b的值；
（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.
23．（2021九下·吴中开学考）某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
24．（2021九下·吴中开学考）如图， 中， ，且 ，以 为直径作 ，点D为 上一点，且 .连接 并延长交 的延长线于点E.
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求 的面积.
25．（2021九下·吴中开学考）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 经过点C.线段 在线段 上移动，点P的横坐标为t， ，分别过点P，Q作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点，交直线 于D，G两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数t，使得 ？如果存在，请求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.
26．（2021九下·吴中开学考）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线 上一点 ，满足 .
显然点A也是点 的反演点.即点A与点 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径.这种从点A到点 的变换或从点 到点A的变换称为反演变换.
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ；若C关于 的反演点分别为 .
（ 1 ）求点 的坐标；
（ 2 ）连接 、 ，求 的最小值.
解：（ 1 ）由反演变换的定义知： ，其中 ， .
∴ ，故点 的坐标为 ；
（ 2 ）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
故 的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 .
（1）点D关于 的反演点 的坐标为　 　；
（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有的特征是　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：x2-3x+10=0，
则a=1，b=-3，c=10.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可.
2．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+1）2=1，
两边直接开平方得：x+1=±1，
故x1=0，x2=-2，
故答案为：A.
【分析】首先两边直接开平方得：x+1=±1，然后再解一元一次方程即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】A、二次函数 的图象，开口向上，故此选项错误；
B、对称轴是直线x＝2，故此选项错误；
C、顶点坐标是（2，1），故此选项正确；
D、二次函数 的图象，开口向上，最小值为1，与x轴没有交点，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，而AC=9，BC=12，
∴AB= =15.
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用90°的圆周角所对的弦是直径，可知AB是是Rt△ABC的外接圆的直径，由此可求出其外接圆的半径.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OB=OC，∠BOC=2∠BAC=2×25°=50°，
∴∠OCB=∠OBC= （180°-50°）=65°.
故答案为：A.
【分析】首先连接OB，由圆周角定理可求得∠BOC的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案.
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=1，
∴a-2a-b=0,
∴b=-a,
∴Δ=4a2-4a×(-b)=0,
故答案为：B.
【分析】先把x=1代入方程，得到b=-a,再判定Δ即可.
8．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由于共有5本书，其中教科书有2本，
则恰好抽到教科书的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】用教科书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本，是教科书的概率.
9．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A.
【分析】将点（-2，0）代入二次函数y=ax2+1算出a的值，将a的值代入方程a（x-2）2+1=0后利用直接开平方法即可求出该方程的两个根。
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OE=OC＜OD，
∴OA=OB=OC=OE≠OD，
∴OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，故①正确；
OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心，故②错误；
OB=OC=OE，即O是△BCE的外心，故③正确；
OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可.
11．【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
x(x-1)=0
解得x1=1，x2=0.
【分析】根据因式分解法即可求解一元二次方程.
12．【答案】（0，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2+3图象的顶点坐标是（0，3）.
故答案为：（0，3）.
【分析】二次函数y=ax2+k（a≠0）图象的顶点坐标位（0，k），由此可得到已知函数的顶点坐标.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
14．【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在圆内部.
故答案为：内部.
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内.
15．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
16．【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的母线长是7cm，侧面积是21πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l= =6πcm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r= =3cm，
故答案为：3.
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可.
17．【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围.
18．【答案】 +2
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC，又AC=4，
∴ ，
解得：BC= ，
∵PA⊥PC，即∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆O上，
如图，当P、O、B三点共线时，PB最大，
∵BC= ，OC= AC=2，
∴BO= = ，
∴PB= +2，
故答案为： +2.
【分析】由于∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接BO，然后根据点与圆的位置关系确定PB的最大值.
19．【答案】解：
=
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.
20．【答案】（1）解：由原方程，移项，得 ，
开平方，得 ，
∴x1=3，x2=-1；
（2）解：由原方程，移项，得 ，
变形得： ，
∴x-1=0，x+1=0，
∴x1=1，x2=-1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，利用直接开平方法求解；（2）先移项，利用因式分解法求解.
21．【答案】（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，
解得：x1=k，x2=k+1.
当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52，
解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）.
答：k的值为12或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论.
22．【答案】（1）解：把(1,0)和(2，1)代入 得
，
∴ ，
∴
（2）解：∵
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把已知两点坐标代入即可得出二次函数的解析式；（2）根据顶点坐标公式即可得出答案.
23．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得： ，解得： ，
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）.
（2）解：由已知得：W=（x-20）（-2x+340）
=-2x2+380x-6800
=-2×（x-95）2+11250，
∵-2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为-2×（40-95）2+11250=5200元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值.
24．【答案】（1）解：CD与⊙O相切.
理由如下：
连接OC，如图，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OEB=∠CED，∠EBO=∠EDC，
∴△OEB∽△CED，
∴ ，
∵AB=BC=CD=6，
∴OD=OB=3，
∴ ，
∴CE=2OE，DE=2BE，
设OE=x，则CE=2x，
∴BE=CE-BC=2x-6，
∴DE=2BE=4x-12，
∵DE=OE+OD=x+3，
则有4x-12=x+3，
解得：x=5，即OE=5，
∴DE=8，
∴△CDE的面积为 =24.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，证明△COD≌△COB得到∠CDO=∠CBO=90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；（2）证明△OEB∽△CED，得到 ，设OE=x，根据DE的长得到关于x的方程，求出x值即OE，从而得到DE，根据三角形面积公式即可求出结果.
25．【答案】（1）解：∵直线 过点C，且点C在y轴，
令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意可得：
设P（t，0），∵PQ=1，
则Q（t+1，0），
∴D（t， ），G（t+1， ），
E（t， ），F（t+1， ），
∵DE=GF，
∴ -（ ）= -（ ）
解得：t= ，
∴存在实数t= ，使得DE=GF.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线表达式求出点C坐标，代入抛物线表达式，求出a值即可；（2）设P（t，0），根据已知条件表示出D，E，F，G的坐标，从而得到DE和GF，根据DE=GF得到方程，求出t值即可.
26．【答案】（1）
（2）解：连接 ，
由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ .
∴ ，
即 .
∴ .
故 的最小值13.
（3）过点A且与x轴垂直的一条直线
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， .
∴ ，
∴点D关于 的反演点 的坐标为
故答案为： ；
（ 3 ）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和
由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ ，
∴
∵OA为 的直径
∴ 90°
∴ =90°
∴ ⊥x轴
∴ 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线
故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线.
【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论；（2）连接 ，根据相似三角形的判定定理证出 ，列出比例式即可求出 ，然后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论；（3）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和 ，根据相似三角形的判定定理证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，然后根据直径所对的圆周角是直角即可求出 =90°，从而得出结论.
1 / 1江苏省苏州市吴中区校2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·吴中开学考）把一元二次方程 化成一般形式，则a，b，c的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：x2-3x+10=0，
则a=1，b=-3，c=10.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可.
2．（2021九下·吴中开学考）方程 的根为（　　）
A．0或-2 B．-2 C．0 D．1或-1
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+1）2=1，
两边直接开平方得：x+1=±1，
故x1=0，x2=-2，
故答案为：A.
【分析】首先两边直接开平方得：x+1=±1，然后再解一元一次方程即可.
3．（2021九下·吴中开学考）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是（2，1） D．与 轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】A、二次函数 的图象，开口向上，故此选项错误；
B、对称轴是直线x＝2，故此选项错误；
C、顶点坐标是（2，1），故此选项正确；
D、二次函数 的图象，开口向上，最小值为1，与x轴没有交点，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案.
4．（2021九下·吴中开学考）在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 9，BC = 12，则其外接圆的半径为（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，而AC=9，BC=12，
∴AB= =15.
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用90°的圆周角所对的弦是直径，可知AB是是Rt△ABC的外接圆的直径，由此可求出其外接圆的半径.
5．（2021九下·吴中开学考）如图，点A，B，C在 上，且 ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OB=OC，∠BOC=2∠BAC=2×25°=50°，
∴∠OCB=∠OBC= （180°-50°）=65°.
故答案为：A.
【分析】首先连接OB，由圆周角定理可求得∠BOC的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案.
6．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
7．（2021九下·吴中开学考）关于 的一元二次方程 有一个实数根 ，则下面关于该方程的判别式 的说法正确的是(　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=1，
∴a-2a-b=0,
∴b=-a,
∴Δ=4a2-4a×(-b)=0,
故答案为：B.
【分析】先把x=1代入方程，得到b=-a,再判定Δ即可.
8．（2021九下·吴中开学考）书架上摆放有5本书，其中2本教科书，3本文学书，任意从书架上抽取1本，抽到教科书的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由于共有5本书，其中教科书有2本，
则恰好抽到教科书的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】用教科书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本，是教科书的概率.
9．（2019九上·海南期末）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A.
【分析】将点（-2，0）代入二次函数y=ax2+1算出a的值，将a的值代入方程a（x-2）2+1=0后利用直接开平方法即可求出该方程的两个根。
10．（2021九下·吴中开学考）已知点O是 的外心，作正方形 ，下列说法：①点O是 的外心；②点O是 的外心；③点O是 的外心；④点O是 的外心.其中说法一定正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OE=OC＜OD，
∴OA=OB=OC=OE≠OD，
∴OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，故①正确；
OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心，故②错误；
OB=OC=OE，即O是△BCE的外心，故③正确；
OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可.
二、填空题
11．（2019八下·北京房山期末）方程 的解为　 　．
【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
x(x-1)=0
解得x1=1，x2=0.
【分析】根据因式分解法即可求解一元二次方程.
12．（2021九下·吴中开学考）二次函数 的图象的顶点坐标为　 　.
【答案】（0，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2+3图象的顶点坐标是（0，3）.
故答案为：（0，3）.
【分析】二次函数y=ax2+k（a≠0）图象的顶点坐标位（0，k），由此可得到已知函数的顶点坐标.
13．（2020·常州）若关于x的方程 有一个根是1，则 　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
14．（2021九下·吴中开学考）已知 的半径为 ， ，则点P在 的　 　.（填“上面”“内部”或“外部”）
【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在圆内部.
故答案为：内部.
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内.
15．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是　 　 .
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
16．（2021九下·吴中开学考）圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则圆锥的底面圆半径 　 　 .
【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的母线长是7cm，侧面积是21πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l= =6πcm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r= =3cm，
故答案为：3.
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可.
17．（2021九下·吴中开学考）若关于x的一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围.
18．（2021九下·吴中开学考）如图，在 中， ， ， ，P是 所在平面内一点，且满足 ，则 的最大值为　 　.
【答案】 +2
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC，又AC=4，
∴ ，
解得：BC= ，
∵PA⊥PC，即∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆O上，
如图，当P、O、B三点共线时，PB最大，
∵BC= ，OC= AC=2，
∴BO= = ，
∴PB= +2，
故答案为： +2.
【分析】由于∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接BO，然后根据点与圆的位置关系确定PB的最大值.
三、解答题
19．（2021九下·吴中开学考）计算： .
【答案】解：
=
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.
20．（2021九下·吴中开学考）解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：由原方程，移项，得 ，
开平方，得 ，
∴x1=3，x2=-1；
（2）解：由原方程，移项，得 ，
变形得： ，
∴x-1=0，x+1=0，
∴x1=1，x2=-1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，利用直接开平方法求解；（2）先移项，利用因式分解法求解.
21．（2021九下·吴中开学考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是直角三角形时，求k的值.
【答案】（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，
解得：x1=k，x2=k+1.
当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52，
解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）.
答：k的值为12或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论.
22．（2021九下·吴中开学考）若二次函数 的图象经过点(1，0)和点(2，1).
（1）求a、b的值；
（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）解：把(1,0)和(2，1)代入 得
，
∴ ，
∴
（2）解：∵
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把已知两点坐标代入即可得出二次函数的解析式；（2）根据顶点坐标公式即可得出答案.
23．（2021九下·吴中开学考）某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得： ，解得： ，
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）.
（2）解：由已知得：W=（x-20）（-2x+340）
=-2x2+380x-6800
=-2×（x-95）2+11250，
∵-2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为-2×（40-95）2+11250=5200元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值.
24．（2021九下·吴中开学考）如图， 中， ，且 ，以 为直径作 ，点D为 上一点，且 .连接 并延长交 的延长线于点E.
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求 的面积.
【答案】（1）解：CD与⊙O相切.
理由如下：
连接OC，如图，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OEB=∠CED，∠EBO=∠EDC，
∴△OEB∽△CED，
∴ ，
∵AB=BC=CD=6，
∴OD=OB=3，
∴ ，
∴CE=2OE，DE=2BE，
设OE=x，则CE=2x，
∴BE=CE-BC=2x-6，
∴DE=2BE=4x-12，
∵DE=OE+OD=x+3，
则有4x-12=x+3，
解得：x=5，即OE=5，
∴DE=8，
∴△CDE的面积为 =24.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，证明△COD≌△COB得到∠CDO=∠CBO=90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；（2）证明△OEB∽△CED，得到 ，设OE=x，根据DE的长得到关于x的方程，求出x值即OE，从而得到DE，根据三角形面积公式即可求出结果.
25．（2021九下·吴中开学考）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 经过点C.线段 在线段 上移动，点P的横坐标为t， ，分别过点P，Q作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点，交直线 于D，G两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数t，使得 ？如果存在，请求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵直线 过点C，且点C在y轴，
令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意可得：
设P（t，0），∵PQ=1，
则Q（t+1，0），
∴D（t， ），G（t+1， ），
E（t， ），F（t+1， ），
∵DE=GF，
∴ -（ ）= -（ ）
解得：t= ，
∴存在实数t= ，使得DE=GF.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线表达式求出点C坐标，代入抛物线表达式，求出a值即可；（2）设P（t，0），根据已知条件表示出D，E，F，G的坐标，从而得到DE和GF，根据DE=GF得到方程，求出t值即可.
26．（2021九下·吴中开学考）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线 上一点 ，满足 .
显然点A也是点 的反演点.即点A与点 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径.这种从点A到点 的变换或从点 到点A的变换称为反演变换.
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ；若C关于 的反演点分别为 .
（ 1 ）求点 的坐标；
（ 2 ）连接 、 ，求 的最小值.
解：（ 1 ）由反演变换的定义知： ，其中 ， .
∴ ，故点 的坐标为 ；
（ 2 ）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
故 的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 .
（1）点D关于 的反演点 的坐标为　 　；
（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有的特征是　 　.
【答案】（1）
（2）解：连接 ，
由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ .
∴ ，
即 .
∴ .
故 的最小值13.
（3）过点A且与x轴垂直的一条直线
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， .
∴ ，
∴点D关于 的反演点 的坐标为
故答案为： ；
（ 3 ）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和
由反演变换知 ，
即 ，而 ，
∴ ，
∴
∵OA为 的直径
∴ 90°
∴ =90°
∴ ⊥x轴
∴ 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线
故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线.
【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论；（2）连接 ，根据相似三角形的判定定理证出 ，列出比例式即可求出 ，然后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论；（3）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和 ，根据相似三角形的判定定理证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，然后根据直径所对的圆周角是直角即可求出 =90°，从而得出结论.
1 / 1