四川省自贡市2021届九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2021九下·自贡开学考）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九下·自贡开学考）抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5）
C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
3．（2021九下·自贡开学考）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．（2021九下·自贡开学考）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
5．（2021九下·自贡开学考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝86°，则∠BCD的度数是（ ）
A．86° B．94° C．107° D．137°
6．（2021九下·自贡开学考）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．（2021九下·自贡开学考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
8．（2021九下·自贡开学考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°).若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
9．（2021九下·自贡开学考）如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九下·自贡开学考）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到△AEF，若AC＝ ，则阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
11．（2021九下·自贡开学考）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)中，若b2=4a，则（ ）
A．y最大=5 B．y最小=5 C．y最大=3 D．y最小=3
12．（2021九下·自贡开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜ ；⑤b＞1，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
14．（2021九下·自贡开学考）将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的解析式为 .
15．（2021九下·自贡开学考）如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是 .
16．（2021九下·自贡开学考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为 ．
17．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
18．（2021九下·自贡开学考）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为 .
19．（2021九下·自贡开学考）解方程：x2﹣4x﹣12=0．
20．（2021九下·自贡开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）.
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算在该旋转过程中Rt△A1B1C1扫过部分的面积.
21．（2021九下·自贡开学考）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
22．（2021九下·自贡开学考）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
23．（2021九下·自贡开学考）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0.
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式.
24．（2021九下·自贡开学考）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
25．（2021九下·自贡开学考）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 ，CE＝1，试求BD的长.
26．（2021九下·自贡开学考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2（x+3）2+5，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），故答案为：B．
【分析】抛物线的顶点式为y=2（x+h）2+k，根据顶点坐标（-h,k）直接写出即可。
3．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】A、购买1张彩票可能中奖，也可能不中奖，是随机事件，不符合题意；
B、 “概率为0.0001的事件”也有可能发生，只是发生的概率很小，是随机事件，不符合题意；
C、任意三角形的内角和等于180°， 是必然事件，符合题意；
D、 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件、不可能事件和随机事件等的定义分别判断，一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，不可能出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0。
解得：k＞﹣1且k≠0。
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得△＞0且k≠0，据此求出k的范围即可.
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=86°，
∴∠BAD=∠BOD=43°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-43°=137°，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍可求∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的大小即可.
6．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故答案为：A．
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长可组成一个等边三角形，从而求出结论.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在 中，由勾股定理得：
故答案为：D.
【分析】先求出BC的长度，再根据勾股定理计算出OC的值即可。
8．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可知∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，由旋转可知∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，根据对顶角相等可得∠2=∠1=112°，由四边形的内角和可得∠3=180°-∠2=68°，再根据∠3+∠α=90°即可求出∠α的大小 .
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、对于函数y＝ax+b，b>0，不符合题意；
B、对于函数y＝ax+b，a>0，b<0，y＝ax2+bx+c，a>0，∵->0，∴b<0，符合题意；
C、对于函数y＝ax+b，a>0，b<0，y＝ax2+bx+c，a<0，∵->0，∴b>0，不符合题意；
D、对于函数y＝ax+b，b>0，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的正负性，排除b>0的选项，然后再结合抛物线的开口和对称轴看a、b的正负性和一次函数的a、b的正负性是否一致即可.
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，取AB和EF的交点D点，
∠FAD=∠BAC-∠CAF=45°-15°=30°，
∵AF=AC= ，
∴FD==1，
∴S阴影=S△AFD=FD×AF=××1= ，
故答案为：C.
【分析】取AB和EF的交点D点，根据旋转的性质求得∠FAD=30°，于是根据含30°的直角三角形的性质求出FD的长度，则阴影部分的面积可求.
11．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵b2=4a＞0，
∴a＞0，
∴二次函数 y=ax2+bx+4(a≠0) 有最小值，
∴y最小值=
故答案为：D.
【分析】由b2≥0且b2=4a(a≠0），可得4a＞0，即a＞0，从而可得二次函数 y=ax2+bx+4(a≠0) 有最小值，利用最值公式计算即可.
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上可得a>0，交y轴于负半轴可得c< 0，
由-<0，可得b>0，∴abc<0 ，故 ① 错误；∵当x=1时，y=2，∴a+b+c=2 ，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点， b2-4ac>0，故③正确；由图可知，当x=-1时，对应的点在第三象限，
将x=-1代入y= ax2 +bx+c，得a-b+c< 0，将a-b+c<0与a+b+c=2相减，得-2b<-2，即b>1，故⑤正确；∵对称轴x=->-1，∴a>，故 ④ 错误.
综上，正确的是 ②③⑤ ，
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点（1，2），进而对所得结论进行判断．
13．【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0，
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
14．【答案】y＝x2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，
∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，
∵将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位得到新的抛物线，
∴新抛物线的顶点为(0，-1)，
∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，
故答案为：y=x 2 -1.
【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.
15．【答案】0.6
【知识点】频数（率）分布折线图
【解析】【解答】解：由图可知，通过大量重复的实验可以发现，针尖朝上的频率稳定在0.6左右，于是可以估计 针尖朝上的概率是0.6，
故答案为：0.6.
【分析】通过大量重复的实验可以发现，如果事件的频率稳定在某个值左右，则概率就是这个值.
16．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，
∴∠B＝∠BDC＝50°，
∴∠BCD＝80°＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴∠A＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形内角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性质可求解．
17．【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x，
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82，
整理得，x2+8x-5=0，
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x， 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
18．【答案】0
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：将抛物线y= -x2- 4x( - 4≤x≤0 )沿y轴折叠后得另一条抛物线为y= - x2+4x( 0≤x≤4 )
画出函数如图：
当直线y=x+b经过原点时有两个公共点，此时b=0，
解，
整理得x2-3x+b=0，
若直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
则△=9-4b>0，
解得b<，
∴0故答案为：0【分析】 根据题意画出图象，利用数形结合的方法讨论即可.
19．【答案】解：
或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】用因式分解法解一元二次方程。
20．【答案】（1）解：如图， Rt△A1B1C1为所求，
（2）解：A1C1=，
∴S扫=πA1C12+OB2×B2C2=π+3.
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）( 1 )根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1旋转后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可， Rt△A1B1C1扫过部分的面积等于以A1C1为半径的90°扇形的面积和△A2B2C2的面积之和.
21．【答案】解：四边形OACB是菱形，理由如下：
∵ C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC是等边三角形，
∴OA=AC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】根据同弧所对的圆心角相等，可得∠AOC=∠BOC=60°，结合同圆的半径相等，得出△AOC和△BOC是等边三角形，从而根据四边形的四条边相等判断出四边形OACB是菱形.
22．【答案】（1）
（2）解：将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：
所以P（两名教师来自同一所学校）= =
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是 = ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
23．【答案】（1）证明：当m=0时，
x+3=0，
∴x=-3，
△=（3m+3）2-4×3×m
=9m2-6m+9
=(3m-1)2+8＞0，
∴ 不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：令 mx2+（3m+1）x+3=0，
（mx+1）（x+3）=0，
∴x=-或-3，
∵方程有两个不同的整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴y=x2+4x+3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当m=0时，是一元一次方程，有解；当m≠0，利用判别式判断即可；
（2）令 mx2+（3m+1）x+3=0，解关于x的一元二次方程，结合方程有两个不同的正整数，且m为正整数，得出m的值，则可得出解析式.
24．【答案】（1）解：y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100
（2）解：设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元
（3）解：由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x=52时，销售300+30×8=540，
当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．
25．【答案】（1）证明：连接OB，
∵OB=OA， DE= DB ，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD ，
又∵CD⊥OA ，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD= 90° ，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：如图，作OH⊥AB，
⊙O的半径为 ，点C是半径OA的中点，
∴AC=OA=，
∵CE=1 ，
∴tan∠A== .
∴∠A=30° ，
∵∠ACE=90°，
∴∠DEB=∠AEC=60°，
∵DF垂直平分BE ，
∴DE= DB，
∴△DEB是等边三角形，
∴BE=BD，
设EF=BF=x，AB= 2x+2，
过O作OH⊥AB于H，
∴AH=BH=x+1，
AO=2√5 ，
.△DEB是等边三角形，
..BE= BD ，
设EF= BF=x，
.AB= 2x+2，
过O作OH⊥AB于H，
∴AH= BH=x+1，
∵ AO=2AO=3，
∴AH=
∴AB=6 ，
∴BD=BE=AB-AE=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】( 1 )连接OB ，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）根据三角函数的定义得到tan∠A== ，求得∠A=30°，得到∠DEB=∠AEC=60，推出△DEB是等边三角形，到BE=BD，设EF=BF=x，求得AB=2x+2，过O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论.
26．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 +bx+c ( a≠0 )与x轴交于点A(1 ，0)和点B( -3，0) ，
∵OB=3，
∴OC=OB=3 ，
∴c=3，
，
解得：，
∴所求抛物线解析式为： y=-x2-2x+3 ；
（2）解：如图2，
过点E作EF⊥x轴于点F ，设E(a， -a2-2a+3 ) ( -3∴EF=-a2-2a+3 ， BF=a+3 ， OF=-a ，
∴S四边形BOCE= BF·EF+(OC+EF )OF=(a+3)(-a2-2a+3)+(-a2 -2a+6)(-a)
=-a2-a+=-(a+)2+，
∴当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
此时，点E的坐标为（-，）；
（3）解：∵抛物线y=-x2 - 2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
设P(-1，m)，
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，如图3，
∴PA=PA1，∠APA'=90°，
①当m≥0时，
如图3，过A作A1N1对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，
∴∠NA1P=∠MPA，
在△A1NP与△APM中，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=m，PN=AM=2，
∴A1(m-1，m+2)，
代入y=-x2-2x+3得： m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3，
解得：m=1，m=-2（舍），
②当m<0时，要使P2A=P2A2，由图可知，
A2点与点B重合，
∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，
∴P2（-1，-2），
∴P(-1，1)，(-1，-2) .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A1NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A1坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
1 / 1四川省自贡市2021届九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2021九下·自贡开学考）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合。
2．（2021九下·自贡开学考）抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5）
C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2（x+3）2+5，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），故答案为：B．
【分析】抛物线的顶点式为y=2（x+h）2+k，根据顶点坐标（-h,k）直接写出即可。
3．（2021九下·自贡开学考）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】A、购买1张彩票可能中奖，也可能不中奖，是随机事件，不符合题意；
B、 “概率为0.0001的事件”也有可能发生，只是发生的概率很小，是随机事件，不符合题意；
C、任意三角形的内角和等于180°， 是必然事件，符合题意；
D、 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件、不可能事件和随机事件等的定义分别判断，一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，不可能出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件.
4．（2021九下·自贡开学考）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0。
解得：k＞﹣1且k≠0。
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得△＞0且k≠0，据此求出k的范围即可.
5．（2021九下·自贡开学考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝86°，则∠BCD的度数是（ ）
A．86° B．94° C．107° D．137°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=86°，
∴∠BAD=∠BOD=43°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-43°=137°，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍可求∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的大小即可.
6．（2021九下·自贡开学考）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故答案为：A．
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长可组成一个等边三角形，从而求出结论.
7．（2021九下·自贡开学考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在 中，由勾股定理得：
故答案为：D.
【分析】先求出BC的长度，再根据勾股定理计算出OC的值即可。
8．（2021九下·自贡开学考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°).若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可知∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，由旋转可知∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，根据对顶角相等可得∠2=∠1=112°，由四边形的内角和可得∠3=180°-∠2=68°，再根据∠3+∠α=90°即可求出∠α的大小 .
9．（2021九下·自贡开学考）如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、对于函数y＝ax+b，b>0，不符合题意；
B、对于函数y＝ax+b，a>0，b<0，y＝ax2+bx+c，a>0，∵->0，∴b<0，符合题意；
C、对于函数y＝ax+b，a>0，b<0，y＝ax2+bx+c，a<0，∵->0，∴b>0，不符合题意；
D、对于函数y＝ax+b，b>0，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的正负性，排除b>0的选项，然后再结合抛物线的开口和对称轴看a、b的正负性和一次函数的a、b的正负性是否一致即可.
10．（2021九下·自贡开学考）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到△AEF，若AC＝ ，则阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，取AB和EF的交点D点，
∠FAD=∠BAC-∠CAF=45°-15°=30°，
∵AF=AC= ，
∴FD==1，
∴S阴影=S△AFD=FD×AF=××1= ，
故答案为：C.
【分析】取AB和EF的交点D点，根据旋转的性质求得∠FAD=30°，于是根据含30°的直角三角形的性质求出FD的长度，则阴影部分的面积可求.
11．（2021九下·自贡开学考）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)中，若b2=4a，则（ ）
A．y最大=5 B．y最小=5 C．y最大=3 D．y最小=3
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵b2=4a＞0，
∴a＞0，
∴二次函数 y=ax2+bx+4(a≠0) 有最小值，
∴y最小值=
故答案为：D.
【分析】由b2≥0且b2=4a(a≠0），可得4a＞0，即a＞0，从而可得二次函数 y=ax2+bx+4(a≠0) 有最小值，利用最值公式计算即可.
12．（2021九下·自贡开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜ ；⑤b＞1，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上可得a>0，交y轴于负半轴可得c< 0，
由-<0，可得b>0，∴abc<0 ，故 ① 错误；∵当x=1时，y=2，∴a+b+c=2 ，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点， b2-4ac>0，故③正确；由图可知，当x=-1时，对应的点在第三象限，
将x=-1代入y= ax2 +bx+c，得a-b+c< 0，将a-b+c<0与a+b+c=2相减，得-2b<-2，即b>1，故⑤正确；∵对称轴x=->-1，∴a>，故 ④ 错误.
综上，正确的是 ②③⑤ ，
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点（1，2），进而对所得结论进行判断．
13．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0，
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
14．（2021九下·自贡开学考）将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的解析式为 .
【答案】y＝x2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，
∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，
∵将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位得到新的抛物线，
∴新抛物线的顶点为(0，-1)，
∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，
故答案为：y=x 2 -1.
【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.
15．（2021九下·自贡开学考）如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是 .
【答案】0.6
【知识点】频数（率）分布折线图
【解析】【解答】解：由图可知，通过大量重复的实验可以发现，针尖朝上的频率稳定在0.6左右，于是可以估计 针尖朝上的概率是0.6，
故答案为：0.6.
【分析】通过大量重复的实验可以发现，如果事件的频率稳定在某个值左右，则概率就是这个值.
16．（2021九下·自贡开学考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，
∴∠B＝∠BDC＝50°，
∴∠BCD＝80°＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴∠A＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形内角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性质可求解．
17．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x，
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82，
整理得，x2+8x-5=0，
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x， 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
18．（2021九下·自贡开学考）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为 .
【答案】0【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：将抛物线y= -x2- 4x( - 4≤x≤0 )沿y轴折叠后得另一条抛物线为y= - x2+4x( 0≤x≤4 )
画出函数如图：
当直线y=x+b经过原点时有两个公共点，此时b=0，
解，
整理得x2-3x+b=0，
若直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
则△=9-4b>0，
解得b<，
∴0故答案为：0【分析】 根据题意画出图象，利用数形结合的方法讨论即可.
19．（2021九下·自贡开学考）解方程：x2﹣4x﹣12=0．
【答案】解：
或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】用因式分解法解一元二次方程。
20．（2021九下·自贡开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）.
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算在该旋转过程中Rt△A1B1C1扫过部分的面积.
【答案】（1）解：如图， Rt△A1B1C1为所求，
（2）解：A1C1=，
∴S扫=πA1C12+OB2×B2C2=π+3.
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）( 1 )根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1旋转后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可， Rt△A1B1C1扫过部分的面积等于以A1C1为半径的90°扇形的面积和△A2B2C2的面积之和.
21．（2021九下·自贡开学考）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
【答案】解：四边形OACB是菱形，理由如下：
∵ C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC是等边三角形，
∴OA=AC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】根据同弧所对的圆心角相等，可得∠AOC=∠BOC=60°，结合同圆的半径相等，得出△AOC和△BOC是等边三角形，从而根据四边形的四条边相等判断出四边形OACB是菱形.
22．（2021九下·自贡开学考）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
【答案】（1）
（2）解：将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：
所以P（两名教师来自同一所学校）= =
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是 = ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
23．（2021九下·自贡开学考）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0.
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式.
【答案】（1）证明：当m=0时，
x+3=0，
∴x=-3，
△=（3m+3）2-4×3×m
=9m2-6m+9
=(3m-1)2+8＞0，
∴ 不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：令 mx2+（3m+1）x+3=0，
（mx+1）（x+3）=0，
∴x=-或-3，
∵方程有两个不同的整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴y=x2+4x+3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当m=0时，是一元一次方程，有解；当m≠0，利用判别式判断即可；
（2）令 mx2+（3m+1）x+3=0，解关于x的一元二次方程，结合方程有两个不同的正整数，且m为正整数，得出m的值，则可得出解析式.
24．（2021九下·自贡开学考）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案】（1）解：y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100
（2）解：设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元
（3）解：由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x=52时，销售300+30×8=540，
当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．
25．（2021九下·自贡开学考）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 ，CE＝1，试求BD的长.
【答案】（1）证明：连接OB，
∵OB=OA， DE= DB ，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD ，
又∵CD⊥OA ，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD= 90° ，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：如图，作OH⊥AB，
⊙O的半径为 ，点C是半径OA的中点，
∴AC=OA=，
∵CE=1 ，
∴tan∠A== .
∴∠A=30° ，
∵∠ACE=90°，
∴∠DEB=∠AEC=60°，
∵DF垂直平分BE ，
∴DE= DB，
∴△DEB是等边三角形，
∴BE=BD，
设EF=BF=x，AB= 2x+2，
过O作OH⊥AB于H，
∴AH=BH=x+1，
AO=2√5 ，
.△DEB是等边三角形，
..BE= BD ，
设EF= BF=x，
.AB= 2x+2，
过O作OH⊥AB于H，
∴AH= BH=x+1，
∵ AO=2AO=3，
∴AH=
∴AB=6 ，
∴BD=BE=AB-AE=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】( 1 )连接OB ，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）根据三角函数的定义得到tan∠A== ，求得∠A=30°，得到∠DEB=∠AEC=60，推出△DEB是等边三角形，到BE=BD，设EF=BF=x，求得AB=2x+2，过O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论.
26．（2021九下·自贡开学考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 +bx+c ( a≠0 )与x轴交于点A(1 ，0)和点B( -3，0) ，
∵OB=3，
∴OC=OB=3 ，
∴c=3，
，
解得：，
∴所求抛物线解析式为： y=-x2-2x+3 ；
（2）解：如图2，
过点E作EF⊥x轴于点F ，设E(a， -a2-2a+3 ) ( -3∴EF=-a2-2a+3 ， BF=a+3 ， OF=-a ，
∴S四边形BOCE= BF·EF+(OC+EF )OF=(a+3)(-a2-2a+3)+(-a2 -2a+6)(-a)
=-a2-a+=-(a+)2+，
∴当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
此时，点E的坐标为（-，）；
（3）解：∵抛物线y=-x2 - 2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
设P(-1，m)，
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，如图3，
∴PA=PA1，∠APA'=90°，
①当m≥0时，
如图3，过A作A1N1对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，
∴∠NA1P=∠MPA，
在△A1NP与△APM中，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=m，PN=AM=2，
∴A1(m-1，m+2)，
代入y=-x2-2x+3得： m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3，
解得：m=1，m=-2（舍），
②当m<0时，要使P2A=P2A2，由图可知，
A2点与点B重合，
∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，
∴P2（-1，-2），
∴P(-1，1)，(-1，-2) .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A1NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A1坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
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