浙江省杭州市萧山城区六校2021届九年级下学期数学开学联考试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2021九下·杭州开学考）已知 （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九下·杭州开学考）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．若实数 ，则
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直
3．（2021九下·杭州开学考）下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）
A．矩形，菱形 B．矩形，正方形
C．菱形，正方形 D．平行四边形，菱形
4．（2021九下·杭州开学考）若二次函数 过P(1,4)，则这个函数必过点（ ）
A．(-3,4) B．(-1,4) C．(0,3) D．(2,4)
5．（2021九下·杭州开学考）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠ ，那么钢管AB的长为（ ）
A．m sin B．m cos C． D．
6．（2021九下·杭州开学考）若扇形面积为36 ，圆心角为120°，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九下·杭州开学考）如图，四边形ABCD内接于 O，连结对角线AC与BD交于点E，且BD为 O的直径，已知∠BDC=40°，∠AEB=110°，则∠ABC=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．（2021九下·杭州开学考）已知函数 ， （a、b、c为常数），如图所示，y2=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（ ）
A． B．当x＞3时，ax+b＜0
C．当x＞2时，y1＞y2. D．有两个不同的解
10．（2021九下·杭州开学考）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2021九下·杭州开学考）已知一个正多边形的每个内角为120°，则它是正 边形.
12．（2021九下·杭州开学考）把只有颜色不同的1个白球和2个红球放入不透明的盒子中搅匀，然后从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出1个球，两次都摸到白球的概率为 .
13．（2021九下·杭州开学考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 （米）与经过的时间 （秒）满足以下函数关系： ，则该球从弹起回到地面需要经过 秒，距离地面的最大高度为 米.
14．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
15．（2021九下·杭州开学考） 在中，若AB= AC，则 =
16．（2021九下·杭州开学考）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧BC上任意一点，线段AF与弦CD交于点G，连结FD和AD.
（1）若 ，则AD=
（2）在(1)的条件下，若CD= ,则 O的直径为 .
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17．（2021九下·杭州开学考）在平面直角坐标中，二次函数 的图像经过点(1,4).
（1）求 的值；
（2）自变量 在什么范围内， 随 增大而增大.
18．（2021九下·杭州开学考）甲、乙两人进行摸牌游戏：有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5。现将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上。
（1）甲从中随机抽一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率.
（2）若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释.
19．（2021九下·杭州开学考）如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（B,C,D三点共线），测得旗杆顶部的仰角为75°，且CD=8米.
（1）求D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高度（保留根号）.
20．（2021九下·杭州开学考）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，OD交AC于点E， = .
（1）求证：OD//BC;
（2）若AC=10，DE=4，求BC的长.
21．（2021九下·杭州开学考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4.5，BD＝3.5.AC＝6.△ABC的角平分线AE交CD于点F.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AF=4，求AE的长度.
22．（2021九下·杭州开学考）在平面直角坐标系内，设二次函数 （ ）.
（1）若函数 的图像经过点（1，2），求函数 的表达式；
（2）若 的图像与一次函数 （ ）的图像有且仅有一个交点，求 值；
（3）已知 （ ）在函数 的图像上，当 时，求证： .
23．（2021九下·杭州开学考）如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵, ∴3a=2b,
A、∵ ，2a=3b, 错误；
B、∵ ,∴2a=3b, 错误；
C、∵ ,∴3a=2b, 正确；
D、 ，∴ab=6, 错误；
故答案为：C.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此分别判断即可.
2．【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、∵掷一枚骰子，朝上一面的点数可能为5，∴是随机事件，错误；
B、三角形内角和是180°，∴ 任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件，正确；
C、若实数 ，则 ，是必然事件，错误；
D、在纸上画两条直线，这两条直线可能互相垂直，∴是随机事件，错误；
故答案为： B.
【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角互补，四点共圆，菱形对角不互补，四点不共圆，错误；
B、矩形的对角互补，四点共圆， 正方形的对角互补，四点共圆，正确；
C、菱形对角不互补，四点不共圆，正方形的对角互补，四点共圆，错误；
D、平行四边形和菱形对角都不互补，四点不共圆， 错误；
故答案为：B.
【分析】对角互补的四边形是圆内接四边形，然后结合矩形、正方形、菱形和平行四边形的性质分别判断即可.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：4=a+2a,
解得a=,
∴y=x2+x,
A、当x=-3时，y=×9+×（-3）=12-8=4，正确；
B、当x=-1时，y=×1+×（-1）=-=-，错误；
C、当x=0时，y=0，错误；
D、当x=2时，y=×4+×2=+=，错误；
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法先求出二次函数解析式，再把各点分别代入函数式验证即可判断.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，
sin==
AB= ,
故答案为：C.
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦三角函数即可求出AB的长.
6．【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形面积==36π，
解得r=6，
∴扇形周长==4π，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式列式求出半径长，再根据扇形的弧长公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
8．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BDC和∠BAC所对的弧都是BC弧，
∴∠BDC=∠BAC=40°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-110°=30°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+50°=80°，
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理，结合三角形内角和定理求出∠BAC的大小，然后根据直径所对的圆周角是直角，结合余角的性质求出∠CBD，最后根据角的和差关系求∠ABC即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的开口向下，则a<0，∵x=->0, 则b>0, 抛物线与y轴的交点在y的正半轴，∴c>0，正确；
B、∵=1, ∴b=-2a, ∴ax+b=ax-2a=a(x-2), ∴当x>3, ∴x-2>0, a(x-2)<0, 即ax+b<0, 正确；
C、设y=y1-y2=ax2+bx+c-ax-b=ax2-3ax+c+2a=a(x-)2+c-a, ∵a<0, ∴x=时，函数有最大值c-a>0，∴当x>2时，y随x的增大减小，无法判断y是否大于0，错误；
D、ax2+bx+c-ax-b=ax2-（a-b）x+c-b=ax2-3ax+c+2a=0, ∴△=9a2-4a(c+2a)=a2-4ac, ∵a<0, c>0, ∴△=a2-4ac>0, 正确；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴方程判断b的符号，由抛物线与y轴的交点在y的正半轴，可以判断c的正负性；根据b=-2a, 将ax+b化成a(x-2), 结合x>3即可判断ax+b<0；设y=y1-y2配方求出y的最值，因为当x>2时，y随x的增大减小，无法判断y是否大于0；先求出△的表达式，结合a、c的符号即可判断D.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
11．【答案】六
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵每个内角为120°，
∴每个外角为60°，
∴n==6，
故答案为：六.
【分析】先根据邻补角的性质求出正多边形的每个外角的度数，则根据多边形的外角和定理即可求出其边数.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能情况，两次摸到白球的次数有1种，
∴两次摸到白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】 画树状图，共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有1种情况，再由概率公式求解即可．
13．【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在h=-5t2+15t中，令h=0，
则-5t2+15t=0，
∴5t（3-t）=0，
∴t1=0，t2=3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3-0=3(秒)；
∵h=15t-5t2
=-5（t-）2+，
∴当t=，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，.
【分析】 在h=-5t2+15t中，令h=0得关于t的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地面的时间；将h=-5t2+15t写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
14．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ,
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴,
∴a2=b2,
∴,
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a , 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式,计算即可
15．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
当BC为斜边时，
设AC=1，则AB=，BC=2，
cosB==，
当BC为直角边时，
则BC=，
cosB=，
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况求解，即当BC为斜边和当BC为直角边时，设AC=1，分别用勾股定理求出BC长，再利用余弦三角函数定义求值即可.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）连接FB、DB，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，∠ADB=90°，
∴∠AFB=∠AEG=90°，
∵∠EAG=∠FAB，
∴△AEG∽△AFB，
∴,
∴AE×AB=AF×AF=15，
∵∠AEB=∠ADB，∠DAE=∠BAD，
∴△AEB∽△ADB，
∴，
∴AD2=AE×AB=15，
∴AD= ,
故答案为： ；
（2）∵CD⊥AB ,
∴ED=EC=，
∴AE=,
∵AD2=AE×AB,
∴AB==，
故答案为：.
【分析】（1）连接FB、DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，∠ADB=90°，则可证明△AEG∽△AFB，△AEG∽△AFB，利用相似三角形的性质推得AD2=AE×AB=15，即可求出AD的长；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，然后代入AD2=AE×AB即可求出AB.
17．【答案】（1）解：将(1,4)代入二次函数 中，
得 ，则
（2）解： ， 开口向下，
对称轴：直线 ,
结合图像可得：当 时， 随 增大而增大
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出a值；
（2）因为a<0，开口向下，结合对称轴方程，可知在对称轴左边 随 增大而增大，即可得出x的范围.
18．【答案】（1）解：列表或列树状图如下，
2 3 5
2 甲2乙2 甲2乙3 甲2乙5
3 甲3乙2 甲3乙3 甲3乙5
5 甲5乙2 甲5乙3 甲5乙5
或
（2）解：P（甲获胜）=；
P（乙获胜）=；
∵P（甲获胜）≠P（乙获胜）
∴ 不平等
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】 （1）利用列表法或树状图得到所有可能出现的结果，再找出两人抽取的数字相同的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
19．【答案】（1）解：过点D作DE⊥AC于点E，
测得旗杆顶部的仰角为45°,即∠C=45°，CD=8m，
DE=CD sin45° = m，即D到CA的距离为 m
（2）解： C测得旗杆顶部的仰角为45°,即∠C=45°，
又 D测得旗杆顶部的仰角为75°,即∠ADB=75°，
∠CAD=∠ADB-∠C=30°，
在 中，∠CAD=30°，
AE= DE=4 ,
AC=AE+EC=AE+ED=(4 +4 )m，
在 中，∠C=45°，
AB=(4+4 )m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 （1）作DE⊥AC于点E，根据sinC=,即可得DE；
（2）由∠C=45°可得CE，由tan∠EAD=可得AE，则AC的长可求，再在Rt△ABC中，根据sinC=即可得AB的长．
20．【答案】（1）解： = ，
OD⊥AC，
又 AB是 O的直径，
∠ACB=90°，即BC⊥AC，
：OD//BC
（2）解： AD=CD,
OD⊥AC于点E且AE=CE,
又 ,
,
，设 O半径为 ，则
在 中， ，即 ,
求得 ，
又 O，E为AB，AC的中点，
// ，
BC=2OE= .
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）根据垂径定理和AB为直径求得∠AEO=∠ACB=90°，则由平行线的判定定理可得结论．
（2）设半径为R，则OE=R-4，利用勾股定理求出半径R，则OE可求，利用三角形的中位线定理可得结论．
21．【答案】（1）证明： AD＝4.5，BD＝3.5.AC＝6,
,
，
即 ，
又 ∠BAC=∠CAD，
△ACD∽△ABC.
（2）解：由(1)可知，△ACD∽△ABC，
∠ADC=∠ACB，
又∵∠BAC的角平分线AE交CD于点F，
∴∠DAF=∠CAE，
∴ ∽ ，
∴ ，又∵AF=4，AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AB、AC、AD的长可得 ，,结合∠CAD=∠BAC即可证出△ACD~ △ABC ;
( 2 )利用相似三角形的性质可得出∠ACD=∠B , 由AE平分∠BAC可得出∠DAF=∠CAE ,进而可得出 ∽ ,再利用相似三角形的性质即可求出AF和AE的比值，则AE的值可求.
22．【答案】（1）解：将（1，2）代入 ，
得到 ，解得
∴ 或
（2）解：①∵ 的图像与一次函数 （ ）的图像有且仅有一个交点
∴ 有两个相等的实数根，
即 有两个相等的实数根，
∴
∴ ，解得 （3）（ ）在函数 的图像上，当 时，求证： .
（3）解：∵ ，∴
结合函数图象，可得
∴ ，即
∴
，∴ ，即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用
【解析】【分析】（1） 将（1，2）代入 中，解方程即可求出a值；
（2） 与 联立，由于两个图象有且仅有一个交点，根据△=0列关系式即可求出b值；
（3）由变形得，结合函数图象推得 ，则由二次函数图象的坐标特征可得 ，从而得出关系式，将右式配方即可求出n的范围.
23．【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴ ≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD= ，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴ ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
解得 ， (舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15， ，
即 ，∴ ，
∴AB=AC= AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF= AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵ ，∴OD=kr，
由（2）可知 ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在 和 中，
，即
解得 ，∴ =
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1） 连结OC，利用边边边定理证明 ≌ ，则对应角∠BAO=∠CAO，即可得出AO为∠BAC的角平分线；
（2）作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，设OD= ， 证明 ∽ ，根据相似三角形的性质列比例式求解，得出OD的长，则可求出BD，再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE//
CF，结合AC=CD，得出CF= AE，然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；
（3）设OB=r ，把OD用含r的代数式表示，根据 ∽ OE=x，在 和 中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据Rt△AOE中即可求出cos∠AOB的值.
1 / 1浙江省杭州市萧山城区六校2021届九年级下学期数学开学联考试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2021九下·杭州开学考）已知 （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵, ∴3a=2b,
A、∵ ，2a=3b, 错误；
B、∵ ,∴2a=3b, 错误；
C、∵ ,∴3a=2b, 正确；
D、 ，∴ab=6, 错误；
故答案为：C.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此分别判断即可.
2．（2021九下·杭州开学考）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．若实数 ，则
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直
【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、∵掷一枚骰子，朝上一面的点数可能为5，∴是随机事件，错误；
B、三角形内角和是180°，∴ 任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件，正确；
C、若实数 ，则 ，是必然事件，错误；
D、在纸上画两条直线，这两条直线可能互相垂直，∴是随机事件，错误；
故答案为： B.
【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．
3．（2021九下·杭州开学考）下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）
A．矩形，菱形 B．矩形，正方形
C．菱形，正方形 D．平行四边形，菱形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角互补，四点共圆，菱形对角不互补，四点不共圆，错误；
B、矩形的对角互补，四点共圆， 正方形的对角互补，四点共圆，正确；
C、菱形对角不互补，四点不共圆，正方形的对角互补，四点共圆，错误；
D、平行四边形和菱形对角都不互补，四点不共圆， 错误；
故答案为：B.
【分析】对角互补的四边形是圆内接四边形，然后结合矩形、正方形、菱形和平行四边形的性质分别判断即可.
4．（2021九下·杭州开学考）若二次函数 过P(1,4)，则这个函数必过点（ ）
A．(-3,4) B．(-1,4) C．(0,3) D．(2,4)
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：4=a+2a,
解得a=,
∴y=x2+x,
A、当x=-3时，y=×9+×（-3）=12-8=4，正确；
B、当x=-1时，y=×1+×（-1）=-=-，错误；
C、当x=0时，y=0，错误；
D、当x=2时，y=×4+×2=+=，错误；
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法先求出二次函数解析式，再把各点分别代入函数式验证即可判断.
5．（2021九下·杭州开学考）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠ ，那么钢管AB的长为（ ）
A．m sin B．m cos C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，
sin==
AB= ,
故答案为：C.
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦三角函数即可求出AB的长.
6．（2021九下·杭州开学考）若扇形面积为36 ，圆心角为120°，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形面积==36π，
解得r=6，
∴扇形周长==4π，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式列式求出半径长，再根据扇形的弧长公式求解即可.
7．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
8．（2021九下·杭州开学考）如图，四边形ABCD内接于 O，连结对角线AC与BD交于点E，且BD为 O的直径，已知∠BDC=40°，∠AEB=110°，则∠ABC=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BDC和∠BAC所对的弧都是BC弧，
∴∠BDC=∠BAC=40°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-110°=30°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+50°=80°，
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理，结合三角形内角和定理求出∠BAC的大小，然后根据直径所对的圆周角是直角，结合余角的性质求出∠CBD，最后根据角的和差关系求∠ABC即可.
9．（2021九下·杭州开学考）已知函数 ， （a、b、c为常数），如图所示，y2=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（ ）
A． B．当x＞3时，ax+b＜0
C．当x＞2时，y1＞y2. D．有两个不同的解
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的开口向下，则a<0，∵x=->0, 则b>0, 抛物线与y轴的交点在y的正半轴，∴c>0，正确；
B、∵=1, ∴b=-2a, ∴ax+b=ax-2a=a(x-2), ∴当x>3, ∴x-2>0, a(x-2)<0, 即ax+b<0, 正确；
C、设y=y1-y2=ax2+bx+c-ax-b=ax2-3ax+c+2a=a(x-)2+c-a, ∵a<0, ∴x=时，函数有最大值c-a>0，∴当x>2时，y随x的增大减小，无法判断y是否大于0，错误；
D、ax2+bx+c-ax-b=ax2-（a-b）x+c-b=ax2-3ax+c+2a=0, ∴△=9a2-4a(c+2a)=a2-4ac, ∵a<0, c>0, ∴△=a2-4ac>0, 正确；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴方程判断b的符号，由抛物线与y轴的交点在y的正半轴，可以判断c的正负性；根据b=-2a, 将ax+b化成a(x-2), 结合x>3即可判断ax+b<0；设y=y1-y2配方求出y的最值，因为当x>2时，y随x的增大减小，无法判断y是否大于0；先求出△的表达式，结合a、c的符号即可判断D.
10．（2021九下·杭州开学考）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2021九下·杭州开学考）已知一个正多边形的每个内角为120°，则它是正 边形.
【答案】六
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵每个内角为120°，
∴每个外角为60°，
∴n==6，
故答案为：六.
【分析】先根据邻补角的性质求出正多边形的每个外角的度数，则根据多边形的外角和定理即可求出其边数.
12．（2021九下·杭州开学考）把只有颜色不同的1个白球和2个红球放入不透明的盒子中搅匀，然后从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出1个球，两次都摸到白球的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能情况，两次摸到白球的次数有1种，
∴两次摸到白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】 画树状图，共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有1种情况，再由概率公式求解即可．
13．（2021九下·杭州开学考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 （米）与经过的时间 （秒）满足以下函数关系： ，则该球从弹起回到地面需要经过 秒，距离地面的最大高度为 米.
【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在h=-5t2+15t中，令h=0，
则-5t2+15t=0，
∴5t（3-t）=0，
∴t1=0，t2=3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3-0=3(秒)；
∵h=15t-5t2
=-5（t-）2+，
∴当t=，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，.
【分析】 在h=-5t2+15t中，令h=0得关于t的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地面的时间；将h=-5t2+15t写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
14．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ,
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴,
∴a2=b2,
∴,
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a , 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式,计算即可
15．（2021九下·杭州开学考） 在中，若AB= AC，则 =
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
当BC为斜边时，
设AC=1，则AB=，BC=2，
cosB==，
当BC为直角边时，
则BC=，
cosB=，
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况求解，即当BC为斜边和当BC为直角边时，设AC=1，分别用勾股定理求出BC长，再利用余弦三角函数定义求值即可.
16．（2021九下·杭州开学考）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧BC上任意一点，线段AF与弦CD交于点G，连结FD和AD.
（1）若 ，则AD=
（2）在(1)的条件下，若CD= ,则 O的直径为 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）连接FB、DB，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，∠ADB=90°，
∴∠AFB=∠AEG=90°，
∵∠EAG=∠FAB，
∴△AEG∽△AFB，
∴,
∴AE×AB=AF×AF=15，
∵∠AEB=∠ADB，∠DAE=∠BAD，
∴△AEB∽△ADB，
∴，
∴AD2=AE×AB=15，
∴AD= ,
故答案为： ；
（2）∵CD⊥AB ,
∴ED=EC=，
∴AE=,
∵AD2=AE×AB,
∴AB==，
故答案为：.
【分析】（1）连接FB、DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，∠ADB=90°，则可证明△AEG∽△AFB，△AEG∽△AFB，利用相似三角形的性质推得AD2=AE×AB=15，即可求出AD的长；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，然后代入AD2=AE×AB即可求出AB.
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17．（2021九下·杭州开学考）在平面直角坐标中，二次函数 的图像经过点(1,4).
（1）求 的值；
（2）自变量 在什么范围内， 随 增大而增大.
【答案】（1）解：将(1,4)代入二次函数 中，
得 ，则
（2）解： ， 开口向下，
对称轴：直线 ,
结合图像可得：当 时， 随 增大而增大
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出a值；
（2）因为a<0，开口向下，结合对称轴方程，可知在对称轴左边 随 增大而增大，即可得出x的范围.
18．（2021九下·杭州开学考）甲、乙两人进行摸牌游戏：有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5。现将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上。
（1）甲从中随机抽一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率.
（2）若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释.
【答案】（1）解：列表或列树状图如下，
2 3 5
2 甲2乙2 甲2乙3 甲2乙5
3 甲3乙2 甲3乙3 甲3乙5
5 甲5乙2 甲5乙3 甲5乙5
或
（2）解：P（甲获胜）=；
P（乙获胜）=；
∵P（甲获胜）≠P（乙获胜）
∴ 不平等
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】 （1）利用列表法或树状图得到所有可能出现的结果，再找出两人抽取的数字相同的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
19．（2021九下·杭州开学考）如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（B,C,D三点共线），测得旗杆顶部的仰角为75°，且CD=8米.
（1）求D到CA的距离；
（2）求旗杆AB的高度（保留根号）.
【答案】（1）解：过点D作DE⊥AC于点E，
测得旗杆顶部的仰角为45°,即∠C=45°，CD=8m，
DE=CD sin45° = m，即D到CA的距离为 m
（2）解： C测得旗杆顶部的仰角为45°,即∠C=45°，
又 D测得旗杆顶部的仰角为75°,即∠ADB=75°，
∠CAD=∠ADB-∠C=30°，
在 中，∠CAD=30°，
AE= DE=4 ,
AC=AE+EC=AE+ED=(4 +4 )m，
在 中，∠C=45°，
AB=(4+4 )m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 （1）作DE⊥AC于点E，根据sinC=,即可得DE；
（2）由∠C=45°可得CE，由tan∠EAD=可得AE，则AC的长可求，再在Rt△ABC中，根据sinC=即可得AB的长．
20．（2021九下·杭州开学考）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，OD交AC于点E， = .
（1）求证：OD//BC;
（2）若AC=10，DE=4，求BC的长.
【答案】（1）解： = ，
OD⊥AC，
又 AB是 O的直径，
∠ACB=90°，即BC⊥AC，
：OD//BC
（2）解： AD=CD,
OD⊥AC于点E且AE=CE,
又 ,
,
，设 O半径为 ，则
在 中， ，即 ,
求得 ，
又 O，E为AB，AC的中点，
// ，
BC=2OE= .
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）根据垂径定理和AB为直径求得∠AEO=∠ACB=90°，则由平行线的判定定理可得结论．
（2）设半径为R，则OE=R-4，利用勾股定理求出半径R，则OE可求，利用三角形的中位线定理可得结论．
21．（2021九下·杭州开学考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4.5，BD＝3.5.AC＝6.△ABC的角平分线AE交CD于点F.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AF=4，求AE的长度.
【答案】（1）证明： AD＝4.5，BD＝3.5.AC＝6,
,
，
即 ，
又 ∠BAC=∠CAD，
△ACD∽△ABC.
（2）解：由(1)可知，△ACD∽△ABC，
∠ADC=∠ACB，
又∵∠BAC的角平分线AE交CD于点F，
∴∠DAF=∠CAE，
∴ ∽ ，
∴ ，又∵AF=4，AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AB、AC、AD的长可得 ，,结合∠CAD=∠BAC即可证出△ACD~ △ABC ;
( 2 )利用相似三角形的性质可得出∠ACD=∠B , 由AE平分∠BAC可得出∠DAF=∠CAE ,进而可得出 ∽ ,再利用相似三角形的性质即可求出AF和AE的比值，则AE的值可求.
22．（2021九下·杭州开学考）在平面直角坐标系内，设二次函数 （ ）.
（1）若函数 的图像经过点（1，2），求函数 的表达式；
（2）若 的图像与一次函数 （ ）的图像有且仅有一个交点，求 值；
（3）已知 （ ）在函数 的图像上，当 时，求证： .
【答案】（1）解：将（1，2）代入 ，
得到 ，解得
∴ 或
（2）解：①∵ 的图像与一次函数 （ ）的图像有且仅有一个交点
∴ 有两个相等的实数根，
即 有两个相等的实数根，
∴
∴ ，解得 （3）（ ）在函数 的图像上，当 时，求证： .
（3）解：∵ ，∴
结合函数图象，可得
∴ ，即
∴
，∴ ，即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用
【解析】【分析】（1） 将（1，2）代入 中，解方程即可求出a值；
（2） 与 联立，由于两个图象有且仅有一个交点，根据△=0列关系式即可求出b值；
（3）由变形得，结合函数图象推得 ，则由二次函数图象的坐标特征可得 ，从而得出关系式，将右式配方即可求出n的范围.
23．（2021九下·杭州开学考）如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴ ≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD= ，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴ ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
解得 ， (舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15， ，
即 ，∴ ，
∴AB=AC= AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF= AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵ ，∴OD=kr，
由（2）可知 ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在 和 中，
，即
解得 ，∴ =
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1） 连结OC，利用边边边定理证明 ≌ ，则对应角∠BAO=∠CAO，即可得出AO为∠BAC的角平分线；
（2）作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，设OD= ， 证明 ∽ ，根据相似三角形的性质列比例式求解，得出OD的长，则可求出BD，再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE//
CF，结合AC=CD，得出CF= AE，然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；
（3）设OB=r ，把OD用含r的代数式表示，根据 ∽ OE=x，在 和 中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据Rt△AOE中即可求出cos∠AOB的值.
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