浙江省台州市2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2021九下·台州开学考）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2020000000=2.02×109.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是一种记数的方法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法.
2．（2020·恩施）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据立体图形得到：
主视图为： ，
左视图为： ，
俯视图为： ，
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图解答即可.
3．（2021九下·台州开学考）分式 的值是零，则的值为（ ）
A．2 B．5 C．-2 D．-5
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x+5=0且x-2≠0，
解得x=-5.
故答案为：D.
【分析】分式值为零的条件：分子为0，分母不为0.
4．（2020·宁波）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
5．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ， ，点 在 边上，以 ， 为边作 BCDE，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°.
∵四边形EBCD为平行四边形，
∴∠E=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】首先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据平行四边形对角相等就可得到∠E的度数.
6．（2021九下·台州开学考）如图，把 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到 ，则顶点 对应点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：顶点C（0，-1）的对应点的坐标为（0+3，-1+2），即（3，1）.
故答案为：D.
【分析】点A（m，n）向右平移a（a>0）个单位，得到（m+a，n）；点A（m，n）向左平移a（a>0）个单位，得到（m-a，n）；点A（m，n）向上平移a（a>0）个单位，得到（m，n+a）；点A（m，n）向下平移a（a>0）个单位，得到（m，n-a）.
7．（2021九下·台州开学考）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为 ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等式的性质；平均数及其计算
【解析】【解答】解：设五个数分别为a，b，c，d（最大），e（最小），则有：
x=，y=，z=，
∴y>z>x.
故答案为：A.
【分析】设五个数分别为a，b，c，d（最大），e（最小），根据平均数的计算方法表示出x、y、z，最后结合不等式的基本性质比较即可.
8．（2020八下·泰兴期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；中心对称及中心对称图形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
故答案为：B.
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况.
9．（2021九下·台州开学考）如图，已知 是 的直径，半径 ，点 在劣弧 上（不与点 ，点 重合）， 与 交于点 .设 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ OA⊥BC，
∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠COD=90°-β，∠CBD=90°-∠BEO=90°-∠AED=90°-α.
∵∠COD=2∠CBD，
∴90°-β=2(90°-α)，
∴2α-β=90°.
故答案为：D.
【分析】首先由直角三角形两锐角互余得到∠COD=90°-β，∠CBD=90°-α，由圆周角定理可得∠COD=2∠CBD，代入化简即可.
10．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点 作 于点 ，再过点 作 分别交边 ， 于点 ， .若 ， ，则 的长为
A．14 B．15 C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J.
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ，
∴△ECP∽△HCQ，
∴.
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a.
∵PQ⊥CR， CR⊥AB，
∴CQ∥AB.
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=，
∴AC=，BC=.
∵·AC·BC=·AB·CJ，
∴CJ==4.
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
【分析】连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2021九下·台州开学考）分解因式： .
【答案】（m-5）（m+5）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：m2-25=m2-52=(m-5)(m+5).
故答案为：(m-5)(m+5).
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
12．（2020·温州）不等式组 的解为 。
【答案】-2≤x<3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得 ；
解②得 ．
故不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，灾情调查不等式组的解集。
13．（2021九下·台州开学考）设 ， ， .若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：x+y=1，x-y=2，
∴x=，y=，
∴P=xy=×()=.
故答案为：.
【分析】由题意可得x+y=1，x-y=2，然后分别将两式子相加、相减可求出x、y的值，最后根据P=xy计算即可.
14．（2020·衢州）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”。已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为 dm。
【答案】4+
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，
∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是 dm，
∴图2中h的值为（4+ ）dm．
故答案为：（4+ ）．
【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．
15．（2020·绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD。若BD的长为2 ，则m的值为 。
【答案】2或
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由作图知，点 在 的垂直平分线上，
是等边三角形，
点 在 的垂直平分线上，
垂直平分 ，
设垂足为 ，
，
，
当点 、 在 的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点 、 在 的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述， 的值为2或 ，
故答案为：2或 ．
【分析】根据作图可知点D和点B在AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质及等边三角形的性质，利用解直角三角形求出BE的长，再分情况讨论：当点D，B在AC的两侧时；当点B，D在AB的同侧时，分别求出m的值即可。
16．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（2021九下·台州开学考）
（1）计算： .
（2）化简： .
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解： .
【知识点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）将化为最简二次根式，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，根据有理数的乘方法则可得(-1)2020=1，接下来代入计算即可；
（2）由完全平方公式以及单项式与多项式的乘法法则可将原式化为：x2+2xy+y2-x2-2xy，然后合并同类项即可.
18．（2021九下·台州开学考）如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出一个以 为边的 ABDE，使顶点 ， 在格点上.
（2）在图2中画出一条恰好平分 周长的直线 （至少经过两个格点）.
【答案】（1）解：如图平行四边形 即为所求（点 的位置还有6种情形可取）.
（2）解：如图，直线 即为所求、
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等即可画出图形；
（2）根据图形可知：AC=2，BC=4，故符合条件的直线应该经过AB的中点，且把AC+BC平分，据此画出直线即可.
19．（2021九下·台州开学考）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
【答案】（1）解：抽查的学生数： （人 ，
抽查人数中“基本满意”人数： （人 ，补全的条形统计图如图所示：
（2）解： ，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为 ；
（3）解： （人 ，
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用非常满意的人数除以所占的百分比可得抽查的人数，用抽查的人数减去非常满意、满意以及不满意的人数，即为基本满意的人数，进而补全条形统计图；
（2）利用满意的人数除以抽查的人数，然后乘以360°即为所对应的圆心角的度数；
（3）首先求出非常满意以及满意的人数所占的百分比之和，然后乘以1000即可.
20．（2021九下·台州开学考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点 .点 的坐标是 .
（1）求 ， 两点的坐标，并根据图象直接写出当 时的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点 恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】（1）解：把 代入 ，得 ，解得 ，
， ，
对称轴 ， ， 关于 对称， ，
当 时， .
（2）解： ，
点 平移到 ，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）首先将点B坐标代入可得a的值，进而写出二次函数的解析式，得到点A的坐标，由对称轴以及B点的坐标可得C点的坐标，根据函数图象以及B、C的坐标可得y>0时x的范围；
（3）由点D平移到A，可得抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，然后根据"左加右减，上加下减"的法则就可得到平移后对应的二次函数的解析式.
21．（2021九下·台州开学考）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 ， 可分别沿等长的立柱 ， 上下移动， .
（1）若移动滑块使 ，求 的度数和棚宽 的长.
（2）当 由 变为 时，问棚宽 是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
【答案】（1）解： ，
是等边三角形， ，
连接 并延长交 于 ，则 ，
是等边三角形， ，
， ，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
，
答：当 由 变为 时，棚宽 是减少了，减少了 .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据题意可得△AEF为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠AFE的度数，连接MF并延长交AE于点K，则FM=2FK，接下来在Rt△AKF中应用勾股定理可得FK的值，然后求出FM的值，最后根据BC=4FM求解即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠AFK的度数，然后根据锐角三角函数的概念求出FM的值，进而得到BC的值，据此比较即可.
22．（2021九下·台州开学考）某经销商3月份用18000元购进一批 恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元.
（1）4月份进了这批 恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①用含的代数式表示 .
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值.
【答案】（1）解：设3月份购进x件 T 恤衫，
，解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
则 ，
答：4月份进了这批 恤衫300件；
（2）解：①每件 恤衫的进价为： （元 ，
化简，得 ；
②设乙店的利润为 元，
乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
∴a≤b，即
解得，a≤50，
当 时， 取得最大值，此时 ，
答：乙店利润的最大值是3900元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设3月份购进x件T恤衫，分别表示出3月份每件的进价以及4月份每件的进价，然后根据4月份每件的进价比3月份涨了10元可列出关于x的方程，求解即可；
（2）①首先求出每件T恤衫的进价，然后表示出甲、乙两商家的利润，根据利润相同可得关于a、b的方程，化简即可用含a的代数式表示出b；
②根据题意，首先列出乙店的利润，然后根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量可得a≤b，进而求出a的范围，据此可得利润的最大值.
23．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ，将 沿直线 翻折得到 ，连接 交 于点 . 是线段 上的点，连接 . 是 的外接圆与 的另一个交点，连接 ， .
（1）求证： 是直角三角形；
（2）求证： ；
（3）当 ， 时，在线段 上存在点 ，使得 和 互相平分，求 的值.
【答案】（1）证明： ， ，
，
， 是直角三角形.
（2）证明： ， ，
， ，
， ， ， ，
， ， ，
， .
（3）解：设 交 于 .连接 .
与 互相平分，四边形 是平行四边形，
，即 ，
， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
即 ，解得 （负根已经舍弃）.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，然后将其两边分别相加可推出∠BEF=90°，据此证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可推出∠EFB=∠BCD，然后由同角的余角相等可得∠BCD=∠CAB，得到∠EFB=∠CAB，最后根据相似三角形的判定方法证明即可；
（3）由题意可推出四边形AFBE是平行四边形，进而推出EF∥BD，结合AJ=JB可得AF=FD，则FJ为△ABD的中位线，然后表示出EF，由△ABC∽△CBM，△BEJ∽△BME，结合相似三角形对应边成比例可分别表示出BM、BE，然后由 △BEF∽△BCA以及相似三角形的性质可得关于m的方程，求解即可.
24．（2021九下·台州开学考）如图，在四边形 中， ， ， 分别平分 ， ，并交线段 ， 于点 ， （点 ， 不重合）.在线段 上取点 ， （点 在 之间），使 .当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 .记 ， ，已知 ，当 为 中点时， .
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）求 ， 的长.
（3）若 .
①当 时，通过计算比较 与 的大小关系.
②连结 ，当 所在直线经过四边形 的一个顶点时，求所有满足条件的的值.
【答案】（1）解： 与 的位置关系为： ，理由如下：
如图1所示：
， ，
、 分别平分 、 ， ， ，
，
， ， ；
（2）解：令 ，得 ， ，
令 ，得 ， ，
把 代入 ，
解得： ，即 ， ，
是 中点， ，
， ，
解得： ， ， ；
（3）解：①连接 并延长交 于点 ，如图2所示：
， ，四边形 是平行四边形， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
当 时， ，解得： ，
，
， ；
②（Ⅰ）当 经过点 时，如图3所示：
，则 ；
（Ⅱ）当 经过点 时，如图4所示：
， ， ， ， ，
， ， ， ，解得： ；
（Ⅲ）当 经过点 时，如图5所示：
， ， ，
由勾股定理得： ，
， ，
解得： ，
由图可知， 不可能过点 ；
综上所述，当 或 或 时， 所在的直线经过四边形 的一个顶点.
【知识点】平行线的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数-动态几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先由四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后根据角平分线的定义可得∠ADE+∠ABF的度数，结合∠ADE+∠AED=90°可得∠AED与∠ABF的数量关系，进而判断DE与BF的位置关系；
（2）分别令x=0、y=0求出对应的y、x的值，即为DE、MN的值，把y=代入求出x的值，即为NQ的值，然后根据QM=MN-NQ求出QM的值，由Q为BF的中点以及BM=2FN可得到关于FN的等式，进而求出FN的值，最后根据BF=FN+MN+MB计算即可；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，可推出四边形DFME为平行四边形，由平行四边形的性质以及平行线的性质可求得∠DEA，∠ADE，∠DFM，∠MEB，∠EHB的度数，进一步得到MH、EH的值，然后利用勾股定理求出HB、BE的值，利用DP=DF可得关于x的方程，求解即可；
②当PQ经过点C时，首先求出CF、CD的值，由△CFQ∽△CDP可得关于x的方程，求解即可；当PQ经过点A时，易证△APE∽△AQB，由勾股定理求出AE的值，进而得到AB的值，然后利用相似三角形对应边成比例可得关于x的方程，求解即可.
1 / 1浙江省台州市2021届九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2021九下·台州开学考）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
2．（2020·恩施）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）.
A． B． C． D．
3．（2021九下·台州开学考）分式 的值是零，则的值为（ ）
A．2 B．5 C．-2 D．-5
4．（2020·宁波）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ， ，点 在 边上，以 ， 为边作 BCDE，则 的度数为
A． B． C． D．
6．（2021九下·台州开学考）如图，把 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到 ，则顶点 对应点的坐标为
A． B． C． D．
7．（2021九下·台州开学考）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为 ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则
A． B． C． D．
8．（2020八下·泰兴期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
9．（2021九下·台州开学考）如图，已知 是 的直径，半径 ，点 在劣弧 上（不与点 ，点 重合）， 与 交于点 .设 ， ，则
A． B．
C． D．
10．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点 作 于点 ，再过点 作 分别交边 ， 于点 ， .若 ， ，则 的长为
A．14 B．15 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2021九下·台州开学考）分解因式： .
12．（2020·温州）不等式组 的解为 。
13．（2021九下·台州开学考）设 ， ， .若 ， ，则 .
14．（2020·衢州）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”。已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为 dm。
15．（2020·绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD。若BD的长为2 ，则m的值为 。
16．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（2021九下·台州开学考）
（1）计算： .
（2）化简： .
18．（2021九下·台州开学考）如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出一个以 为边的 ABDE，使顶点 ， 在格点上.
（2）在图2中画出一条恰好平分 周长的直线 （至少经过两个格点）.
19．（2021九下·台州开学考）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
20．（2021九下·台州开学考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点 .点 的坐标是 .
（1）求 ， 两点的坐标，并根据图象直接写出当 时的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点 恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
21．（2021九下·台州开学考）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 ， 可分别沿等长的立柱 ， 上下移动， .
（1）若移动滑块使 ，求 的度数和棚宽 的长.
（2）当 由 变为 时，问棚宽 是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
22．（2021九下·台州开学考）某经销商3月份用18000元购进一批 恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元.
（1）4月份进了这批 恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①用含的代数式表示 .
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值.
23．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ，将 沿直线 翻折得到 ，连接 交 于点 . 是线段 上的点，连接 . 是 的外接圆与 的另一个交点，连接 ， .
（1）求证： 是直角三角形；
（2）求证： ；
（3）当 ， 时，在线段 上存在点 ，使得 和 互相平分，求 的值.
24．（2021九下·台州开学考）如图，在四边形 中， ， ， 分别平分 ， ，并交线段 ， 于点 ， （点 ， 不重合）.在线段 上取点 ， （点 在 之间），使 .当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 .记 ， ，已知 ，当 为 中点时， .
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）求 ， 的长.
（3）若 .
①当 时，通过计算比较 与 的大小关系.
②连结 ，当 所在直线经过四边形 的一个顶点时，求所有满足条件的的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2020000000=2.02×109.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是一种记数的方法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据立体图形得到：
主视图为： ，
左视图为： ，
俯视图为： ，
故答案为：A.
【分析】根据几何体的三视图解答即可.
3．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x+5=0且x-2≠0，
解得x=-5.
故答案为：D.
【分析】分式值为零的条件：分子为0，分母不为0.
4．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°.
∵四边形EBCD为平行四边形，
∴∠E=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】首先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据平行四边形对角相等就可得到∠E的度数.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：顶点C（0，-1）的对应点的坐标为（0+3，-1+2），即（3，1）.
故答案为：D.
【分析】点A（m，n）向右平移a（a>0）个单位，得到（m+a，n）；点A（m，n）向左平移a（a>0）个单位，得到（m-a，n）；点A（m，n）向上平移a（a>0）个单位，得到（m，n+a）；点A（m，n）向下平移a（a>0）个单位，得到（m，n-a）.
7．【答案】A
【知识点】等式的性质；平均数及其计算
【解析】【解答】解：设五个数分别为a，b，c，d（最大），e（最小），则有：
x=，y=，z=，
∴y>z>x.
故答案为：A.
【分析】设五个数分别为a，b，c，d（最大），e（最小），根据平均数的计算方法表示出x、y、z，最后结合不等式的基本性质比较即可.
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；中心对称及中心对称图形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
故答案为：B.
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ OA⊥BC，
∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠COD=90°-β，∠CBD=90°-∠BEO=90°-∠AED=90°-α.
∵∠COD=2∠CBD，
∴90°-β=2(90°-α)，
∴2α-β=90°.
故答案为：D.
【分析】首先由直角三角形两锐角互余得到∠COD=90°-β，∠CBD=90°-α，由圆周角定理可得∠COD=2∠CBD，代入化简即可.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J.
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ，
∴△ECP∽△HCQ，
∴.
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a.
∵PQ⊥CR， CR⊥AB，
∴CQ∥AB.
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=，
∴AC=，BC=.
∵·AC·BC=·AB·CJ，
∴CJ==4.
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
【分析】连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题.
11．【答案】（m-5）（m+5）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：m2-25=m2-52=(m-5)(m+5).
故答案为：(m-5)(m+5).
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
12．【答案】-2≤x<3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得 ；
解②得 ．
故不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，灾情调查不等式组的解集。
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：x+y=1，x-y=2，
∴x=，y=，
∴P=xy=×()=.
故答案为：.
【分析】由题意可得x+y=1，x-y=2，然后分别将两式子相加、相减可求出x、y的值，最后根据P=xy计算即可.
14．【答案】4+
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，
∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是 dm，
∴图2中h的值为（4+ ）dm．
故答案为：（4+ ）．
【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．
15．【答案】2或
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由作图知，点 在 的垂直平分线上，
是等边三角形，
点 在 的垂直平分线上，
垂直平分 ，
设垂足为 ，
，
，
当点 、 在 的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点 、 在 的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述， 的值为2或 ，
故答案为：2或 ．
【分析】根据作图可知点D和点B在AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质及等边三角形的性质，利用解直角三角形求出BE的长，再分情况讨论：当点D，B在AC的两侧时；当点B，D在AB的同侧时，分别求出m的值即可。
16．【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
17．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解： .
【知识点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）将化为最简二次根式，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，根据有理数的乘方法则可得(-1)2020=1，接下来代入计算即可；
（2）由完全平方公式以及单项式与多项式的乘法法则可将原式化为：x2+2xy+y2-x2-2xy，然后合并同类项即可.
18．【答案】（1）解：如图平行四边形 即为所求（点 的位置还有6种情形可取）.
（2）解：如图，直线 即为所求、
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等即可画出图形；
（2）根据图形可知：AC=2，BC=4，故符合条件的直线应该经过AB的中点，且把AC+BC平分，据此画出直线即可.
19．【答案】（1）解：抽查的学生数： （人 ，
抽查人数中“基本满意”人数： （人 ，补全的条形统计图如图所示：
（2）解： ，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为 ；
（3）解： （人 ，
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用非常满意的人数除以所占的百分比可得抽查的人数，用抽查的人数减去非常满意、满意以及不满意的人数，即为基本满意的人数，进而补全条形统计图；
（2）利用满意的人数除以抽查的人数，然后乘以360°即为所对应的圆心角的度数；
（3）首先求出非常满意以及满意的人数所占的百分比之和，然后乘以1000即可.
20．【答案】（1）解：把 代入 ，得 ，解得 ，
， ，
对称轴 ， ， 关于 对称， ，
当 时， .
（2）解： ，
点 平移到 ，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）首先将点B坐标代入可得a的值，进而写出二次函数的解析式，得到点A的坐标，由对称轴以及B点的坐标可得C点的坐标，根据函数图象以及B、C的坐标可得y>0时x的范围；
（3）由点D平移到A，可得抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，然后根据"左加右减，上加下减"的法则就可得到平移后对应的二次函数的解析式.
21．【答案】（1）解： ，
是等边三角形， ，
连接 并延长交 于 ，则 ，
是等边三角形， ，
， ，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
，
答：当 由 变为 时，棚宽 是减少了，减少了 .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据题意可得△AEF为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠AFE的度数，连接MF并延长交AE于点K，则FM=2FK，接下来在Rt△AKF中应用勾股定理可得FK的值，然后求出FM的值，最后根据BC=4FM求解即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠AFK的度数，然后根据锐角三角函数的概念求出FM的值，进而得到BC的值，据此比较即可.
22．【答案】（1）解：设3月份购进x件 T 恤衫，
，解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
则 ，
答：4月份进了这批 恤衫300件；
（2）解：①每件 恤衫的进价为： （元 ，
化简，得 ；
②设乙店的利润为 元，
乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
∴a≤b，即
解得，a≤50，
当 时， 取得最大值，此时 ，
答：乙店利润的最大值是3900元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设3月份购进x件T恤衫，分别表示出3月份每件的进价以及4月份每件的进价，然后根据4月份每件的进价比3月份涨了10元可列出关于x的方程，求解即可；
（2）①首先求出每件T恤衫的进价，然后表示出甲、乙两商家的利润，根据利润相同可得关于a、b的方程，化简即可用含a的代数式表示出b；
②根据题意，首先列出乙店的利润，然后根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量可得a≤b，进而求出a的范围，据此可得利润的最大值.
23．【答案】（1）证明： ， ，
，
， 是直角三角形.
（2）证明： ， ，
， ，
， ， ， ，
， ， ，
， .
（3）解：设 交 于 .连接 .
与 互相平分，四边形 是平行四边形，
，即 ，
， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
即 ，解得 （负根已经舍弃）.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，然后将其两边分别相加可推出∠BEF=90°，据此证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可推出∠EFB=∠BCD，然后由同角的余角相等可得∠BCD=∠CAB，得到∠EFB=∠CAB，最后根据相似三角形的判定方法证明即可；
（3）由题意可推出四边形AFBE是平行四边形，进而推出EF∥BD，结合AJ=JB可得AF=FD，则FJ为△ABD的中位线，然后表示出EF，由△ABC∽△CBM，△BEJ∽△BME，结合相似三角形对应边成比例可分别表示出BM、BE，然后由 △BEF∽△BCA以及相似三角形的性质可得关于m的方程，求解即可.
24．【答案】（1）解： 与 的位置关系为： ，理由如下：
如图1所示：
， ，
、 分别平分 、 ， ， ，
，
， ， ；
（2）解：令 ，得 ， ，
令 ，得 ， ，
把 代入 ，
解得： ，即 ， ，
是 中点， ，
， ，
解得： ， ， ；
（3）解：①连接 并延长交 于点 ，如图2所示：
， ，四边形 是平行四边形， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
当 时， ，解得： ，
，
， ；
②（Ⅰ）当 经过点 时，如图3所示：
，则 ；
（Ⅱ）当 经过点 时，如图4所示：
， ， ， ， ，
， ， ， ，解得： ；
（Ⅲ）当 经过点 时，如图5所示：
， ， ，
由勾股定理得： ，
， ，
解得： ，
由图可知， 不可能过点 ；
综上所述，当 或 或 时， 所在的直线经过四边形 的一个顶点.
【知识点】平行线的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数-动态几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先由四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后根据角平分线的定义可得∠ADE+∠ABF的度数，结合∠ADE+∠AED=90°可得∠AED与∠ABF的数量关系，进而判断DE与BF的位置关系；
（2）分别令x=0、y=0求出对应的y、x的值，即为DE、MN的值，把y=代入求出x的值，即为NQ的值，然后根据QM=MN-NQ求出QM的值，由Q为BF的中点以及BM=2FN可得到关于FN的等式，进而求出FN的值，最后根据BF=FN+MN+MB计算即可；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，可推出四边形DFME为平行四边形，由平行四边形的性质以及平行线的性质可求得∠DEA，∠ADE，∠DFM，∠MEB，∠EHB的度数，进一步得到MH、EH的值，然后利用勾股定理求出HB、BE的值，利用DP=DF可得关于x的方程，求解即可；
②当PQ经过点C时，首先求出CF、CD的值，由△CFQ∽△CDP可得关于x的方程，求解即可；当PQ经过点A时，易证△APE∽△AQB，由勾股定理求出AE的值，进而得到AB的值，然后利用相似三角形对应边成比例可得关于x的方程，求解即可.
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