北京市中关村2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

中关村2020—2021学年度高二第二学期期末数学考试
2021.07
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置．
1．若集合false，false，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．在复平面内，复数false对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为false和false，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为false和false．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．双曲线false（false）的一条渐近线的方程为false，则双曲线的实轴长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．盒中有false个螺丝钉，其中有false个是坏的，现从盒中随机地抽取false个，那么概率是false的事件为（ ）
A．恰有false个是坏的 B．恰有false个是好的
C．false个全是好的 D．至多有false个是坏的
6．设函数false（false为常数），则“false”是“false为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布false，已知成绩在false分以上（含false分）的学生有false名．则参赛的学生总数约为（ ）
（参考数据：false，false，
false）
A．false人 B．false人 C．false人 D．false人
8．已知函数false的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移false（false）个单位长度，得到函数false的图象．若函数false的图象关于原点对称，则false的最小值（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．期末考试结束后，某班要安排false节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ）
A．false种 B．false种 C．false种 D．false种
10．在棱长为false的正方体false中，false，false分别为false，false的中点，点false在正方体的表面上运动，且满足false，则下列说法正确的是（ ）
A．点false可以是棱false的中点 B．线段false的最大值为false
C．点false的轨迹是正方形 D．点false轨迹的长度为false
二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．
11．二项式false的展开式中false的系数为false，则false________（用数字作答）．
12．数列false是公差为false的等差数列，记false的前false项和为false，且false，false，false成等比数列，则false________；false________．
13．函数false的一个单调递减区间是________．
14．已知抛物线false：false（false）的焦点为false，过点false作false轴的垂线交抛物线false于点false，且满足false，则抛物线false的方程为________；设直线false交抛物线false于另一点false，则点false的纵坐标为________．
15．已知函数false，关于函数false给出下列命题：
①函数false为偶函数；
②函数false在区间false单调递增；
③函数false存在两个零点；
④函数false存在极大值和极小值．
其中正确命题的序号是________．
16．炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前false天每天的供应量和销售量，结果如下表：
6月1日
6月2日
6月3日
6月4日
6月5日
6月6日
供应量
false
false
false
false
false
false
销售量
false
false
false
false
false
false
记false为6月false日冰激凌的供应量，false为6月false日冰激凌的销售量，其中false．
用销售指数false，（false，false）来评价从6月false日开始连续false天的冰激凌的销售情况．当false时，false表示6月false日的日销售指数．
给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是________．
①在6月1日至6日这false天中，false最小，false最大；
②在6月1日至6日这false天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③false；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相符，则对任意false，都有false
三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．
17．设false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false．
（Ⅰ）求角false的大小；
（Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求其面积．
①false，false
②false，false
③false边上的高false，false
18．在四棱锥false中，底面false为直角梯形，false，false，false，false为线段false的中点．false底面false，点false是棱长false的中点，平面false与棱false相交于点false．
（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）若false与false所成的角为false，求直线false与平面false所成角的正弦值．
19．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．新冠肺炎疫情后，我国迅速控制了疫情，经济逐渐复苏．据统计，在2020年这一年内从false市到false市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取false人次作为样本，得到下表（单位：人次）：
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
false分（满意）
false
false
false
false
false
false
false分（一般）
false
false
false
false
false
false
false分（不）
false
false
false
false
false
false
（Ⅰ）在样本中任取false人，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（Ⅱ）在2020年从false市到false市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取false人次，记其中老年人出行的人次为false，以频率作为概率，求false的分布列和数学期望．
（Ⅲ）如果甲将要从false市出发到false市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．
20．已知椭圆false：false（false）的长轴长为false，离心率为false，点false在椭圆false上．
（Ⅰ）求椭圆false的标准方程；
（Ⅱ）已知点false，点false，若以false为直径的圆恰好经过线段false的中点，求false的取值范围．
21．已知函数false，其中false．
（Ⅰ）求函数false的零点；
（Ⅱ）讨论false在区间false上的单调性；
（Ⅲ）在区间false上，false是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说理由．
中关村中学高二年级第二学期期末练习答案
数学学科 2021.07
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．
11．false 12．false，false 13．false（答案不唯一）
14．false，false 15．①②④ 16．①④
三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．
17．解：（Ⅰ）false，由正弦定理得false，
在false中，false，
即false，
false，false．
（Ⅱ）选①，false，由正弦定理得false，
由余弦定理false，得false，
解得false，false．
满足三角形false只有唯一解
false．
选②，由余弦定理false，得false，
解得false，
false或false
经检验false或false均成立，不满足三角形false只有唯一解
所以选②不成立．
选③，因为false边上的高false，false
所以false
则false，且false，
所以false为等边三角形，
满足三角形false只有唯一解
false
18．（Ⅰ）证明：因为false为false中点，
所以false．
又因为false，
所以false．
在梯形false中，false，
所以四边形false为平行四边形．
所以false．
又因为false平面false，且false平面false，
所以false平面false．
因为false平面false，平面false平面false，
所以false．
（Ⅱ）解：（解法1）因为false平面false，且false，false平面false，
所以false，且false．
因为四边形false为平行四边形，false，
所以false．
以false为坐标原点，如图建立空间直角坐标系false．
则false，false，false，false，false．
设false（false），
所以false，false．
因为false与false所成角为false，
所以false．
所以false．
则false，false．
所以false，false，false．
设平面false的法向量为false，
则false即false
令false，则false，
所以false．
所以false．
所以直线false与平面false的所成角的正弦值为false．
19．解：表格数据重新整理加工．如图：
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
false
false
false
false
false
false
false
false
false
（Ⅰ）设事件false“本中任取false个，这个出行人恰好不是青年人”，事件false包含的事件总数为false，false
（Ⅱ）由题意false的所有可能取值为false，false，false．
因为“在2020年从false市到false市乘坐高铁的所有成年人中随机选取false人次”，这相当于两次独立重复试验，每次抽取到老年人的概率都是false，
故随机变量false，
false，
false，
false．
所以随机变量false的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
故false
（Ⅲ）思路1：可以从满意度的均值来分析问题如下：我们再次分析表格数据，乘坐高铁满意的（false分）人有false人，一般的（false分）有false人，不满意（false分）有false人，
乘坐飞机满意的人（false分）有false人，一般的（false分）有false人，不满意的有（false分）有false人，
所以乘坐高铁的人满意度均值为：false，
乘坐飞机的人满意度均值为：false，
因为false，
所以建议甲乘坐高铁从false市到false市．
思路2：可以从满意率的角度来分析问题如下：由表可知乘坐高铁的满意度为false，乘坐飞机的满意率为false，
因为false，
所以建议甲乘坐高铁从false市到false市．
20．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长false，得false，又离心率false，
所以false
所以false．
所以椭圆false的方程为：false．
（Ⅱ）法一：
设点false，则false
所以false的中点false
false，false．
因为以false为直径的圆恰好经过线段false的中点
所以false，则false
即false．
又因为false，
所以false
所以false，false．
函数false，false的值域为false
所以false
所以false．
法二：
设点false，则false．
设false的中点为false，
因为以false为直径的圆恰好经过线段false的中点
所以false是线段false的垂直平分线
所以false
即false
所以false．
函数false，false的值域为false
所以false．
所以false．
21．解：（Ⅰ）false，得false，
所以函数false的零点为false．
（Ⅱ）false，false，
令false，得false，false，
因为false，
所以false，false．
当在区间false上变化时，false的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极大值
false
所以在区间false上false是增函数，在区间false上是减函数．
（Ⅲ）在区间false上false存在最小值false．
说明：由（Ⅰ）知false是函数false的零点．
因为false，
所以false．
由false知，当false时，false．
又函数false在false上是减函数，且false，
所以函数false在false上的最小值为false，且计算得false．