河南省新乡市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

新乡市2020-2021学年高二下学期期末考试
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．复数false在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．2021年3月18日“2021亚太地区自然指数”发布，中国机构整体表现强劲.在2020年亚太地区科研产出贡献份额排名前5位中有4家中国机构，它们分别是中国科学院（第一），中国科学技术大学（第二），北京大学（第四），中国科学院大学（第五），相应的贡献份额（取整数）分别为1904，486，456，422，则这四个数的极差、中位数分别是（ ）
A．false，472 B．1482，472 C．false，471 D．1482，471
4．已知false，false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”.他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边（球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等）.人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形，在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知函数false，则false的极大值为（ ）
A．0 B．false C．false D．1
7．20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级false，其计算公式为false，其中false是被测地震的最大振幅，false是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数false，震级越大，震源放出的能量就越大.1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（false，false）（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知抛物线false的焦点为false，过false的直线false交抛物线于false，false两点，且false，则false的斜率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false.已知false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．将函数false的图象向右平移false个单位长度后得到函数false的图象，若false在false上单调递减，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．1
12．已知双曲线false的左焦点为false，点false在双曲线false的右支上，false，当false的周长最小时，false的面积为（ ）
A．false B．9 C．false D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知向量false，false，若false，则false______.
14．不等式组false表示的平面区域的面积为______.
15．已知false，则false______.
16．在直三棱柱false中，false为false的中点，false平面false，false，则异面直线false与false所成角的正切值为______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
已知数列false中，false，false且false.
（1）证明false为等差数列并求false；
（2）求数列false的前false项和false.
18．（12分）
如图，四棱锥false，侧面false平面false，且底面false为矩形，false，false，false，false为false的中点，false.
（1）证明：false平面false.
（2）求false到平面false的距离.
19．（12分）
华为false系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继false、false系统之后的全球第三大手机操作系统.为了了解手机用户对false系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成［0，15），［15，30），···，［75，90］6组，其中期待值不低于60的称为非常期待false系统，现整理数据得到如下频率分布直方图.
（1）已知样本中期待值小于15的有4人，试估计总体中期待值在区间［15，30）内的人数；
（2）已知样本中的男生有一半非常期待false系统，且样本中非常期待false系统的男、女生人数相等.请根据所提供的数据，完成下面的false列联表，并判断是否有99％的把握认为是否非常期待false系统与性别有关.
非常期待
不非常期待
合计
男
女
合计
100
附：false，其中false.
false
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．(12分)
已知椭圆false的左、右焦点分别为false，false，false为坐标原点，过右焦点false且不平行于坐标轴的动直线false与false有两个交点false，false，线段false的中点为false.
（1）记直线false的斜率为false，直线false的斜率为false，证明：false为定值.
（2）false轴上是否存在点false，使得false为等边三角形？若存在，求出点false的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（12分）
已知函数false.
（1）当false时，求false的单调递增区间；
（2）若false与false的图象上恰有两对关于false轴对称的点，求false的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为多参数），以原点为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false和曲线false的直角坐标方程；
（2）已知false，线false与曲线false交于false，false两点，若false，求false的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数false.
（1）求不等式false的解集；
（2）若false，false，求false的取值范围.
新乡市2020-2021学年高二下学期期末考试
数学参考答案（文科）
1．A 因为false，false，所以false.
2．B 因为false，所以在复平面内对应的点的坐标为false.
3．D 极差为false，中位数为false.
4．C 因为false，false，．false，所以false，故false.
5．B 设圆柱的体积为false，球的体积为false，球的半径为false，则圆柱的高为false，false，false，所以所求概率为false.
6．D 因为false，所以false在false，false上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以false的极大值为false.
7．C 因为false，所以falsefalse.
8．A 如图，该几何体为三棱锥，其外接球为长方体的外接球，长方体的长为6，宽为4，高为4，所以false，故外接球的表面积为false.
9．D 由题知false，抛物线方程为false，设false的直线方程为false，代入抛物线方程，得false，设false，false，则false，false.因为false所以false或false故false，即false的斜率为false.
10．C 因为false，所以false，即false，又false，则false，
从而false，又false，故false.
11．B 将false的图象向右平移false个单位长度后得到false的图象.因为false，所以false，因为false在false上单调递减，所以false，false，所以false的最大值为false.
12．A 如图，设false的右焦点为false，由题意可得false，false，因为false，所以false，false.
false的周长为false，即当false，false，false三点共线时，false的周长最小，此时直线false的方程为false，联立方程组false.解得false或false，即此时false的纵坐标为false，故false的面积为false.
13．false 因为false，所以false，解得false，所以false，故false.
14．3 作出可行域（图略），可知可行域是由点false，false，false围成的三角形区域，所以面积为false.
15．false 因为false，所以false，
故false.
16．false 如图所示，不妨设false.
因为false平面false，所以false，false，false.
因为false为false和中点，所以false，即false，false，所以false是等腰直角三角形.
设false为false的中点，连接false，false，则false，所以false或其补角就是异面
直线false与false所成的角，因为false，所以false，false.
17.（1）因为，false，所以false
即false，
因为false，false，所以数列false是首项为2，公差为3的等差数列，
故false.
（2）因为false，所以false是首项为4，公比为8的等比数列，
故false或（false）
18．（1）证明：连接false.因为侧面false底面false且交于false，false，所以false平面false.
因为false平面false，所以false.
在false中，false，false，所以false，即false.
因为false，false，所以false平面false.
因为false平面false，所以false.
因为false，false相交，所以false平面false.
（2）因为false平面false，false，false，false为false的中点，false，
所以三棱锥false的体积为false，
在false中，false，false，所以false的面积为false.
设false到平面false的距离为false，则false，
所以false.
19．解：（1）因为样本中期待值不小于30的频率为false，
所以样本中期待值小于30的频率为0.1，
所以样本中期待值在区间［15，30）内的人数为false，
故总体中期待值在区间［15，30）内的人数约为false.
（2）因为样本中非常期待false系统的人数为false，
所以样本中非常期待false系统的男生人数为false，
所以样本中的男生人数为false，女生人数为false.
非常期待
不非常期待
合计
男
30
30
60
女
30
10
40
合计
60
40
100
false
所以没有99%的把握认为是否非常期待false系统与性别有关.
20．解：设点false，false，
（1）因为false，false，
所以false，即false.
因为false为false的中点，所以false，所以false.
（2）设直线false的方程为false，联立方程组false
得false，
则false，false.
所以false，
所以false的坐标为false.
假设存在符合题意的点false，则直线false的斜率为false.
因为false为等边三角形，所以false.
因为false，
false，
所以false，即false，方程无实数解，
所以不存在这样的点false.
21．解：（1）当false时，false，则false.
令false，得false，所以false的单调递增区间为false.
（2）因为false与false的图象上恰有两对关于false轴对称的点，
所以方程false有两个正根，
即关于false的方程false有两个正根.
令false，
则false
当false时，false在（0，2）上单调递减，在false上单调递增，
所以false，得false.
当false时，false在（0，2），false上单调递减，在false上单调递增，
所以false或false.
而false，令false，则false.
设false，则false，所以false在（2，4）上单调递减，在false上单调递增，所以false，不满足题意.
当false时，false在false上单调递减，不满足题意.
当false时，false在false，false上单调递减，在false上单调递增，
所以false或false
而false，false，不满足题意.
综上所述，false.
22．解：（1）因为曲线false的参数方程为false（false为参数），
所以false的直角坐标方程为false.
由false，false，得曲线false的直角坐标方程为false.
（2）因为点false在直线false上，
所以可设直线false的参数方程为false（false为参数，false），
将参数方程代入曲线false的方程，得false.
设false，false所对应的参数分别为false，false，则false
因为false
所以false，false，
故直线false的斜率为false，即false.
23．解：（1）false，
所以false
由false，得false或false或false
解得false，即不等式false的解集为false.
（2）当false时，false.
因为存在false，false
因为存在false，false.
因为false，
当且仅当false，即false时取等号，
所以false，故false的取值范围为false.