人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试题（Word含解析）

《一元二次函数、方程和不等式》单元测试
一、单选题
1．已知，则有（
）
A．最大值为1
B．最小值为
C．最大值为4
D．最小值为4
2．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．
3．下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．函数（）的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（
）
A．
B．或
C．或
D．
6．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知正数，是关于的方程的两根，则的最小值为（
）
A．8
B．4
C．9
D．6
8．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
10．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知关于的不等式的解集是，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知，为正实数，且，则（
）
A．的最大值为2
B．的最小值为4
C．的最小值为3
D．的最小值为
三、填空题
13．已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
14．若关于的不等式的解集是，则______.
15．若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
16．设，，且恒成立，则n的最大值为___________.
四、解答题
17．求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
19．已知，都是正数.求证：
；
20．（1）设，求的最小值；
（2）设正数满足，求的最小值.
21．已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
22．（1）已知，求证：>．
（2）已知，求证：．
参考解析
1．C【解析】因为，根据基本不等式可得，
所以，即，当且仅当时等号成立.故选：C
2．A【解析】不等式变形为，即，
所以不等式的解集为：，即为.故选：A
3．B【解析】对于A，若，则，此时，所以A错误；
对于B，因为，，所以，所以B正确；
对于C，若，则，此时，所以C错误；
对于D，若，则，此时，所以D错误，
故选：B
4．B【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，故选：B
5．D【解析】不等式的解集为，
和2是方程的两个根，且，
，可得，
则不等式化为，
由，则可整理得，解得，
故不等式的解集为.故选：D.
6．D【解析】当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，
综上可知，，故选：D.
7．A【解析】由题意，正数是关于的方程的两根，
，，则，当且仅当时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.
故选：A.
8．A【解析】设，
所以，解得：，，
因为，，所以，
故选：A.
9．ABC【解析】对A选项：，，，
，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；
对B选项：，而成立，成立，故B选项正确；
对C选项：，
（当且仅当时等号成立），故C选项正确；
对D选项：，（当且仅当时等号成立），，故D选项错误.
故选：ABC.
10．AB【解析】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.故选：AB.
11．ABC【解析】由关于的不等式的解集是，
，，是一元二次方程的两根
．
，．
．
由，可得：是错误的．故选：．
12．ABD【解析】因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．
故选：ABD．
13．>【解析】因为,
又，，所以，所以，故答案为：>.
14．1【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，
15．【解析】由题意是真命题，
时，不等式为，符合题意，
时，则，，
综上：．
16．4【解析】由，可得，，，
由，可得，
则
，
当时，上式取得等号，
由题意可得，即的最大值为4．
故答案为：4．
17．【解析】（1）因为，
所以原不等式可化为，即，
两边开平方得，从而可知或，因此或，
所以原不等式的解集为．
（2）因为，
所以原不等式可化为，即，
两边开平方得，从而可知，因此，
所以原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为，又因为，所以上述不等式可化为．
注意到只要，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为．
（4）原不等式可以化为．因为，
所以原不等式可以化为，即，
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．
18．【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得；
（2）由（1）可知不等式化为，
即；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
19．【解析】证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，（当且仅当时取得等号）.
20．【解析】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5；
（2）正数满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
21．【解析】（1）∵，
∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，
因为，，为正数，且满足，
∴，
∴，即，
（2）∵，
∴
当且仅当，，时，上式等号成立．
22．【解析】（1）∵，∴
∵，∴，又∵，∴，
∴，又，∴>
（2）因为
所以，同理
所以
(当且仅当时等号成立)