湖北省重点高中智学联盟2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题 Word版含答案

1088390010883900湖北省重点高中智学联盟2022届高二（下）期末联考
数学试题
考试时间：7月10日上午9：30—11：30命题人：程全贵审题人：李杰、童问
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.下列与集合false相等的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
2.若函数false的定义域为（ ）
A.false（false）
B.false（false）
C.false（false）
D.false（false）
3.下列各函数中，值域为false的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
4.若false为第三象限角，则（ ）
A.false B.false
C.false D.false
5.下列选项中，false可表示为false的函数是（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知false是数列false的前false项和，则“false”是“数列false是公差为2的等差数列”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.集合false，false，若false，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
8.若函数false在区间false上是单调函数，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
二.多选题（共4小题，每小题5分，共20分；漏选2分，错选0分。）
9.已知函数false的导函数false的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A.函数false在false处取得极小值
B.false是函数false的极值点
C.false在区间false上单调递减
D.false的图象在false处的切线斜率大于零
10.若集合false，false满足：false，false，则下列关系可能成立的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
11.先将曲线false上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移false个单位，得到false的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.false
B.false在false上的值域为false
C.false的图象关于点false对称
D.false的图象可由false的图象向右平移false个单位长度得到
12.函数false是定义在false上的奇函数，当false时，false，则下列结论正确的是（ ）
A.当false时，false
B.关于false的不等式false的解集为false
C.关于false的方程false有三个实数解
D.false，false
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数false为定义在false上的奇函数，且满足false，若false，则false______.
14.请根据右矩形图表信息，补齐不等式：false______.
15.若函数false在区间false只有一个极值点，则实数false的取值范围为______.
16.法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”。在三角形false中，角false，以false、false、false为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为false、false、false，若三角形false的面积为false，则三角形false的周长最小值为_____.
四、解答题（共6小题，70分）
17.（10分）设全集为false，不等式false的解集为false，不等式false的解集为false.
（1）求false；
（2）求false.
18.（12分）在①false，②false，③false中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知false，_____，false.
（1）求false的值；
（2）求false.
19.（12分）已知函数false.
（Ⅰ）求定义域及单调区间；
（Ⅱ）求false的极值点.
20.（12分）已知函数false.
（1）求曲线false过点false处的切线方程；
（2）求false在false上的最大值和最小值.
21.如图所示，某市有一块正三角形状空地false，其中测得false千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖false，其中点false在false边上，点false在false边上，点false在false边上，false，false，剩余部分需做绿化，设false.
（1）若false，求false的长；
（2）当false变化时，false的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.
22.（12分）已知函数false（false）.
（1）当false时，讨论函数false的单调性：
（2）若函数false恰有两个极值点false，false（false），且false，求false的最大值.
湖北省重点高中智学联盟2022届高二（下）期末联考
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1.【解答】解：∵false，
∴与集合false相等的是false.故选：D.
【点评】本题考查相等集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2.【解答】解：要使函数有意义，则false，即false，
即false，false，得false，false，
即函数的定义域为false（false）.故选：B.
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题.
3.【解答】解：false，
∴false的值域是false，不满足条件.
∵false，则函数的值域为false，不满足条件.
false，即函数的值域为false，满足条件
false，不满足条件.
故选：B.
【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题.
4.【解答】解：因为false为第三象限角，
所以false，false，false，故false符号不定，故选项A错误；
false，故选项B错误；
false，故其符号不能确定，故选项C错误；
false，故选项D正确.故选：D.
【点评】本题考查了三角函数在各个象限符号的判定，二倍角公式以及诱导公式的运用，属于基础题.
5.【解答】解：对于A：令false，没有false的值与之对应，故A错误，
对于B：令false，false可以取false，故B错误，
对于C：false，是一一对应的关系，符合函数的定义，故C正确
对于D：false不是函数故D错误，
故选：C.
【点评】本题考查了函数的定义，考查一一对应的关系，是基础题.
6.【解答】解：①当false时，则false，
当false时，false，
又∵false满足上式，
∴false，所以数列false是公差为2的等差数列，
②当数列false是公差为2的等差数列时，
因为不知首项，所以数列false的前false项和false，不确定，
∴false是数列false是公差为2的等差数列的充分不必要条件，
故选：C.
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，属于基础题.
7.【解答】解：∵false，
∴①当false时，即false无解，此时false，满足题意.
②当false时，即false有解，当false时，可得false，
要使false，则需要false，解得false.
当false时，可得false，要使false，则需要false，解得false，
综上，实数false的取值范围是false.
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查了分类讨论思想.属基础题.
8.【解析】解：false
（1）若false，当false时，false在false上单调递减，符合题意；
（2）若false，则false在false上单调递减，在false上单调递增，
若false在false上是单调函数，false，则false；
（3）若false，则false在false上单调递减，在false上单调递增，
若false在false上是单调函数，则false，所以false.
即综上，false的取值范围是false.
故选：A.
【点评】本题考查了分段函数的单调性，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题.
二.多选题（共4小题）
9.【解答】解：结合图象，false时，false，false时，false，
∴false在false递增，在false上递减，故false是函数的极大值点，
故选：BC.
【点评】本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查数形结合思想，是基础题.
10.【解答】解：存在当false，false时，不满足“false，false”，则A不正确，B正确.
若false，则“false，false”成立，则C正确.
存在当false，false时满足条件“false，false”且有false，则D正确.
故选：BCD.
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，解题的关键是找具体的例子使得选项“可能成立”，属于简单题.
11.【解析】解：∵false
false
false
false，
∴将曲线false上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移false个单位，得到false.
则false，故A正确；
由false，得false，可得false，故B不正确；
由false，可得false的图象关于点false对称，故C正确；
对于D，由false的图象向右平移false个单位长度，
得到false的图象，故D不正确.
故选：AC.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查false型函数的图象与性质，是中档题.
12.【解答】解：设false，则false，false，选项A错误；
当false时，false，当false时，false，
结合函数的解析式绘制函数图像如图所示，
函数为奇函数，不等式false即false，
很明显函数在false上单调递增，故不等式等价于false，解得false，选项B正确；
当false时，false即false，解得false或false，即方程在区间false上有一个实数根，
由对称性可知函数在false上也有一个实数根，选项C正确；
由函数的解析式和函数图像可知函数的值域为false，故false，false，选项D正确.故选：BCD.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题.
三、填空题（共4小题）
13.【解答】解：∵函数false为定义在false上的奇函数，false且满足false，
∴false，
即false，则false
则函数false的周期为4，
∵false，∴false，false，false，false，
则false，
则false，
故答案为：3.
【点评】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期，利用函数的周期和奇偶性进行转化是解决本题的关键.难度不大.
14.【解答】解：由勾股定理知，false，
false，false，
如图中的false，根据三角形的两边之和大于第三边，知false，
当且仅当false，false，false三点共线时，等号成立，
∴false
故答案为：false
【点评】本题考查利用不等式表示不等关系，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
15.【解答】解：false，则false，
若false在区间false上只有一个极值点，则false在false只有一个异号零点，
所以false只有一个解，又因为false
故答案为：false.
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题.
16.【解答】解：由题意知false为等边三角形，设边长为false，
则false，解得false，
设false，false，false，如图所示：在false中，false，
由false，可知false，
在等腰false中，由false，解得false，同理false，
在false中，由余弦定理，得false，
即false，即false，
在false中，由余弦定理知，false，∴false，
又∵false，∴false，
∴false的周长为false，
又∵false，∴false，∴false.
令false（false），则false，
∴false在false上单调递减，
∴当false时取得最小值为false，
∴false，即false的周长最小值为6.
故答案为：6.
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，利用构造函数求最值和利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属于难题.
四、解答题（共6小题）
17.【解答】解：（1）由题意可知，false且false，
解得false，则false，（2分）
false，解得false，则false，（4分）
故false；（6分）
（2）根据题意，false，false，则false，（8分）
故false.（false没考虑的扣2分，不重复扣分）（10分）
【点评】本题考查不等式的解法，涉及集合交并补的计算，属于基础题.
18.【解答】解：（1）∵false，∴false，false，（2分）
若选①false，由false得false，false.（4分）
若选②false，则false，∵false，∴false，（2分）
则false.（4分）
若选③false，则false，（2分）
则由false得（3分）
则false，false.
综上false，false.（4分）
false（6分）
（2）∵false，∴false，∴false，（8分）
∵false，∴false，（10分）
∴false
false
false
false，（11分）
∴false.（12分）
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题.
19.【解答】解：（1）false的定义域是false，（1分）
false.false，false，（2分）
令false，解得：false，令false，解得：false，（4分）
故false的递减区间是false，递增区间是false，（6分）
（Ⅱ）∵false，∴false，由false得false，（8分）
又∵false，∴false，∴false，false；false，false，
∴false在false递减，在false递增.（10分）
false极小值点是false，无极大值点.（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道基础题.
20.【解答】解：（1）由false得，false，（1分）
设切点false，则false（2分）
切线方程：false
切线过点false∴false，∴false或false（4分）
∴false和false为所求（6分）
（2）令false可得false或false，令false可得false，
∴函数false在false上单调递减增，false上单调递减，在false上单调递减增.（8分）
又∵false，false，false，（10分）
∴false，false（12分）
【点评】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题.
21【解答】解：（1）设false千米，当false时，false为等边三角形，所以false，
由false，false，得false，（2分）
false中，false，false，所以false，所以false，（3分）
所以false，解得false，所以false千米；（5分）
（2）false中，false，由正弦定理得false，
解得false；（7分）
false中，false，由正弦定理得false，
解得false；（8分）
由false，得false，
即false，
解得false；false（10分）
由false，（11分）
因为false，所以当false取得最小值false时，
false的面积取得最小值为false.（12分）
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与方程、函数思想，是难题.
22.【解答】解：（1）函数的定义域为false，false，（1分）
当false时，false恒成立，false在false上单调递增；（2分）
当false时，令false，则false，设false，则false，
易知，当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增，
∴false，
∴false，false在false上单调递增；（4分）
综上，当false时，false在false上单调递增；（5分）
（2）依题意，false，则false（6分）
两式相除得，false，设false，（7分）
则false，false，false，∴false，false，
∴false，（8分）
设false（false），（9分）
则false，
设false，则false，
所以false在false单调递增，（10分）
则false，
∴false，则false在false单调递增，（11分）
又false，且false
∴false，
∴false，即false的最大值为false.（12分）
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化与化归思想，函数与方程思想，考查逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题.