广东省中大附中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（文）试题

考生注意事项：
⒈本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，用黑色钢笔、签字笔在答题卷上作答；
⒉考试时间 120分钟，全卷满分150分；
第Ⅰ卷 选择题（50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数等于
A. B. C. D.
2. “a＞0” 是 “＞0” 的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点
A . (2 , 2) B. (1 , 2) C. (1.5 , 4) D (1.5 , 0)
4．函数，已知f (x) 在x＝－3时取得极值，则a＝
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
5． 抛物线的准线方程是
A． B． ( http: / / www. / ) C． D． ( http: / / www. / )
6．下列说法错误的是：
A．命题“”的逆否命题是：“”.
B．“ x>1 ” 是 “” 的充分不必要条件.
C．若且为假命题，则均为假命题.
D．命题 ，则
7．设，那么
A． ( http: / / www. / ) 　 B．
C． ( http: / / www. / ) D．
8．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x为
A.13 B.12 C.22 D．11
9．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
A. B . C . D.
10．规定记号“”表示一种运算，即 （为正实数），
若，则=
A． B． C． 或 D．
第II 卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．命题：“若，则或”的逆否命题是
12．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形：
　　
13．已知点A(2，1，4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式为______．
14．椭圆的两个焦点是F1、F2，以| F1F2 |为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为__________
三．解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(本题满分12分)
已知复数满足: 求的值.
16.（本小题满分12分）
已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆 ( http: / / www. / )有相同的焦点，求此双曲线方程．
17、（本小题满分14分）
若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋．
请用反证法证明：a，b，c中至少有一个大于0．
18．（本小题满分14分）
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
19．（本小题满分14分）
已知顶点在原点，准线方程是的抛物线与过点的直线交于，两点，若直线和直线的斜率之和为1
（Ⅰ）求此抛物线的标准方程； （Ⅱ）求直线的方程。
20．(本小题满分14分)
已知函数f (x)＝x 4－2ax2， aR．
(1)当a ≤ 0时，求函数f (x)的单调区间；
(2)当a ＜x＜2a时，函数f (x)存在极小值，求a的取值范围；
(3)若x (0，1]时， 函数f (x)图象上任一点处的切线斜率均小于4， 求a的取值范围．
中大附中2011～2012学年度第二学期期中检测
高二数学答案（文科）
三、解答题：
15．解：设，而即
则--------------8分
------------------12分
16.解：∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），……………………4分
则可设双曲线方程为 ( http: / / www. / )（a＞0，b＞0），………………6分
∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝2．……………………………8分
∴ ( http: / / www. / )＝12． ………10分；故所求双曲线方程为．　…………12分
17．证明：　假设a、b、c都不大于0---------------------------------------------2分
即a≤0，b≤0，c≤0---------------------------------------------------------------4分
所以a＋b＋c≤0---------------------------------------------------------------------6分
而a＋b＋c
＝＋＋----------------------------------8分
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3----------------------------------------------10分
所以a＋b＋c>0
这与a＋b＋c≤0矛盾--------------------------------------------------------------12分
故a、b、c中至少有一个大于0-------------------------------------------------14分
18．解：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=…………4分
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=
∴cos<，>=…………..10分
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M…………….14 分。
19．解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在轴正半轴，设抛物线的标准方程为
由准线方程是，可得
所以抛物线的标准方程为 6分
（Ⅱ）设直线的方程为：，
代人抛物线的标准方程消整理得
设，，则 ①
因为，，代人①，得 ②
因为，，代人②得
所以直线的方程为： 14分
20．解：(1)由题设知f '(x)＝4x3－4ax，
令 f '(x)＝0，得4x(x2－a)＝0，
当a≤0时，得x＝0， x＜0时，f '(x)＜ 0；x＞0时，f '(x)＞0，
∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)；单调递增区间是(0，＋∞)．---4分
(2)∵a＜x＜2a，∴a＞0．
当a＞0时，令f '(x)＝0，得x＝0或x＝， ……………………..6分
列表如下：
x (－∞，－) (－，0) (0，) (，＋∞)
f '(x) － ＋ － ＋
f(x) 递减 递增 递减 递增
得x＝－或x＝时，f(x)极小＝ f(±)＝－a2．
取x＝－，由条件得 a＜－＜2a ，无解．
取x＝， 由条件得 a＜＜2a ，解得＜a＜1．
综合上述：＜a ＜1． -----------------------10分
图