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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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四川省眉山市东坡区2021届九年级下学期数学开学试卷
一、选择题 (每题3分,共36分)
1.(2021九下·东坡开学考)要使代数式 有意义,则x的取值范围是( )
A. x>﹣1 B. x≥﹣1 C. x≠0 D. x>﹣1且x≠0
2.(2021九下·东坡开学考)下列四组线段中,是成比例线段的是( )
A. 2cm,3cm,4cm,5cm B. 3cm,6cm,0.2dm,5cm
C. 2cm,4cm,6cm,8cm D. 12cm,8cm,15cm,10cm
3.(2021九下·东坡开学考) 化简后的结果为( )
A. B. C. D.
4.(2021九下·东坡开学考)关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 总有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
5.(2021九下·东坡开学考)如图,已知△ACD∽△ADB,AC=4,AD=2,则AB的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.(2017·兰州模拟)在△ABC中,若cosA= ,tanB= ,则这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7.(2021九下·东坡开学考)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD边上一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F.若S△DEF=2,则S△ABE=( )
A. 15.5 B. 16.5 C. 17.5 D. 18.5
8.(2021九下·东坡开学考)如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连结BE、AD,点M、N分别是线段BE、AD上的两点,且BM= BE,AN= AD,则△CMN的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形
9.(2021九下·东坡开学考)已知1<a<3,则化简 ﹣ 的结果是( )
A. 2a﹣5 B. 5﹣2a C. ﹣3 D. 3
10.(2021九下·东坡开学考)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
11.(2021九下·东坡开学考)如图,AB和CD表示两根直立于地面的柱子,AC和BD表示起固定作用的两根钢筋,AC与BD相交于点M,已知AB=8m,CD=12m,则点M离地面的高度MH为( )
A. 4 m B. m C. 5m D. m
12.(2020九上·新建期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②b﹣a>c;③4a+2b+c>0;④3a>c;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数),其中结论正确的有( )
A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
二、填空题 (每题6分,共18分)
13.(2021九下·东坡开学考)已知关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(a2﹣4)x+8=0不含一次项,则a=________.
14.(2021九下·东坡开学考)某企业两年前创办时的资金为1000万元,现在已有资金1440万元.若设该企业这两年资金的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为________.
15.(2021九下·东坡开学考)若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则 的值是________.
16.(2021九下·东坡开学考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是________.
17.(2021九下·东坡开学考)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则 ABCD的周长等于________.
18.(2021九下·东坡开学考)如图,正方形ABCD中,AB=4,E为BC中点,两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=2,若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似,则DM=________.
三、解答题
19.(2021九下·东坡开学考)计算:(2﹣ )0+(﹣ )﹣2+2sin45°﹣ .
20.(2021九下·东坡开学考)解方程:2x2+x﹣6=0.
21.(2021九下·东坡开学考)楼房AB后有一假山,其坡度为i=1: ,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米,与亭子距离CE=18米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.
22.(2021九下·东坡开学考)某校开展了“创建文明校园”活动周,活动周设置了“A:文明礼仪,B:生态环境,C:交通安全,D:卫生保洁”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图.
(1)本次随机调查的学生人数是________人;
(2)请你补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“A“所在扇形的圆心角等于________度;
(4)小明和小华两名同学准备从中各自随机参加一个主题活动,
请用画树状图或列表的方式,求他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的概率.
23.(2021九下·东坡开学考)如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M在线段OD上,连结AM并延长交边DC于点E,点N在线段OC上,且ON=OM,连结DN与线段AE交于点H,连结EN、MN.
(1)求证:AM=DN;
(2)如果EN∥BD,求证:四边形DMNE是菱形;
(3)如果EN⊥DC,求证:AN2=NC AC.
24.(2021九下·东坡开学考)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的关系式;
(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少?
25.(2021九下·东坡开学考)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:BD2=AD CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
26.(2021九下·东坡开学考)已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),
(1)求二次函数的表达式
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求使△ADC面积最大时点D的坐标;
(3)M是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N,使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形?若有,请直接写出点N的坐标
答案解析部分
一、选择题 (每题3分,共36分)
1.【答案】 A
【考点】分式有意义的条件,二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得
x+1>0
解之:x>-1.
故答案为:A.
【分析】利用分式有意义,则分母不等于0及二次根式有意义,则被开方数大于等于0,建立关于x的不等式,然后求出不等式的解集.
2.【答案】 D
【考点】比例线段
【解析】【解答】解:A、∵ 2:3≠4:5,
∴这四条线段不成比例,故A不符合题意;
B、∵3:0.2≠6:5,
∴这四条线段不成比例,故B不符合题意;
∵ 2:4≠6:8,
∴这四条线段不成比例,故C不符合题意;
∵ 8:10=4:5,12:15=4:5
∴8:10=12:15
∴这四条线段不成比例,故D符合题意;
故答案为:D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比,若线段,则是成比例的线段,由此可得答案.
3.【答案】 A
【考点】二次根式的定义,二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵1-a>0
∴原式=.
故答案为:A.
【分析】利用二次根式的定义可知1-a>0,然后化简二次根式即可.
4.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:∵b2-4ac=[-(k+2)]2-4×2k=k2+4k+4-8k=(k-2)2.
k取任意实数时,(k-2)2≥0即b2-4ac≥0
∴此方程总有实数根.
故答案为:B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出b2-4ac,再判断b2-4ac的值的情况,由此可得答案.
5.【答案】 A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ACD∽△ADB,
∴即
解之:AB=1.
故答案为:A.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例,可得比列式,然后代入求出AB的值.
6.【答案】 A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:∵cosA= ,tanB= ,
∴∠A=45°,∠B=60°.
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°.
∴△ABC为锐角三角形.
故A符合题意.
故答案为:A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求得∠A、∠B的度数,进而求出∠C的度数,可得出三角形的形状.
7.【答案】 C
【考点】平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ DE:EC=2:3
∴DE:DC=2:5,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴△DEF∽△ABF,DE:AB=2:5,
∴ ,
∴
解之:S△ABF=12.5.
∴ ,
解之:S△BEF=5
∴S△ABE=S△BEF+S△ABF=5+12.5=17.5.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件可证得DE:DC=2:5,利用平行四边形的性质可得到DC∥AB,DE:AB=2:5,同时可证得△DEF∽△ABF,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出△ABF的面积,同时可推出DF与BF的比值;然后求出△BEF的面积,根据S△ABE=S△BEF+S△ABF , 可求出△ABE的面积.
8.【答案】 C
【考点】等边三角形的判定与性质,三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴BC=AC,EC=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE与△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠MBC=∠NAC,BE=AD,
∵BM=BE,AN=AD,
∴BM=AN,
在△MBC与△NAC中
∴△MBC≌△NAC(SAS),
∴MC=NC,∠BCM=∠ACN,
∵∠BCM+∠MCA=60°,
∴∠NCA+∠MCA=60°,
∴∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形.
故答案为:C.
【分析】利用等边三角形的性质去证明BC=AC,EC=CD,∠BCE=∠ACD,利用SAS证明△BCE≌△ACD,利用全等三角形的性质可推出∠MBC=∠NAC,BE=AD,从而可证得BM=AN;再利用SAS证明△MBC≌△NAC,利用全等三角形的性质去证明MC=NC,∠MCN=60°;然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可得到△CMN的形状.
9.【答案】 A
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵1<a<3,
∴a-1>0,a-4<0
.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件:1<a<3,可得到a-1>0,a-4<0,再利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简.
10.【答案】 B
【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,连接BD,
∵正方形DCBE
∴CE⊥BD,CG=BG
在Rt△BCG中
即
解之:;
∵
在Rt△ABG中,
.
故答案为:B.
【分析】连接BD,利用正方形的性质可证得CE⊥BD,CG=BG,利用勾股定理求出BG的长,再利用勾股定理求出AB的长;然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠BAC的值.
11.【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB∥CD,
∴△ABM∽△CDM,
∴
∴
∵AB∥MH,
∴△MCH∽△ACB,
∴
∴
解之:.
故答案为:B.
【分析】由题意可知AB∥CD∥MH,可证得△ABM∽△CDM,△MCH∽△ACB,利用相似三角形的对应边成比例,可求出MC与AC的比值,同时可证得 , 代入计算可求出MH的长.
12.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数的其他应用
【解析】【解答】解:①∵对称轴在y轴的右侧,
∴ab<0,
由图象可知:c>0,
∴abc<0,
故①不符合题意;②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴b﹣a>c,
故②符合题意;③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,
故③符合题意;④∵x=﹣ =1,
∴b=﹣2a,
∵a﹣b+c<0,
∴a+2a+c<0,
3a<﹣c,
故④不符合题意;⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c(m≠1),
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),
故⑤符合题意.
故②③⑤符合题意.
故答案为:B.
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
二、填空题 (每题6分,共18分)
13.【答案】 ﹣2
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(a2﹣4)x+8=0不含一次项,
∴
解之:a=±2且a≠2
∴a=-2.
故答案为:-2.
【分析】利用一元二次方程的二次项系数不为0,可得到a-2≠0,再根据此方程不含一次项,可得到a2-4≠0,由此可求出a的值.
14.【答案】 1000(1+x)2=1440
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:由题意可得:
1000(1+x)2=1440.
故答案为:1000(1+x)2=1440.
【分析】此题的等量关系为:两年前创办时的资金×(1+增长率)2=现在已有的资金,列方程即可.
15.【答案】
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,
∴
∴.
故答案为:.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出α+β和αβ的值,再将代数式转化为 , 然后整体代入求值.
16.【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,∠B+∠A=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴.
故答案为:.
【分析】利用垂直的定义及余角的性质可证得∠A=∠BCD,再利用锐角三角函数的定义可求出tan∠BCD的值.
17.【答案】 16
【考点】平行四边形的性质,三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,
∵OE∥AB,
∴AE=ED,
∴OE是△ABD的中位线,
∴AB=2OE,AD=2AE;
∵△AOE的周长等于5,OA=1,
∴OA+AE+OE=5,
∴AE+OE=5 OA=5 1=4,
∴AB+AD=2(AE+OE)=2×4=8,
∴ ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16.
故答案为:16.
【分析】由平行四边形的性质,可证得AB=CD,AD=BC,OB=OD,由OE∥AB可得到点E是AD的中点,由此可推出OE是△ABD的中位线,利用三角形的中位线定理可得到AB=2OE,AD=2AE,再利用已知条件可求出AE+OE的长,从而可求出AB+AD的长;然后求出平行四边形ABCD的周长.
18.【答案】 或
【考点】正方形的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵点E是BC的中点,
∴BE=BC=×4=2;
∵正方形ABCD,
∴∠B=∠D=90°,
当∠BAE=∠DNM时,△ABE∽△NDM
∴
∴DN=2DM,
在Rt△DMN中,
DN2+DM2=MN2即4DM2+DM2=22
解之:;
当∠BAE=∠DMN时,△ABE∽△NDM
∴
∴DM=2DN,
在Rt△DMN中,
DN2+DM2=MN2即DM2+DM2=22
解之:;
∴
∴DM的长为:或
【分析】利用线段中点的定义可求出BE的长,利用正方形的性质可证得∠B=∠D=90°,分情况讨论:当∠BAE=∠DNM时,△ABE∽△NDM,利用相似三角形的对应边成比例可证得DN=2DM,再利用勾股定理求出DM的长;当∠BAE=∠DMN时,△ABE∽△NDM,利用相似三角形的性质可证得DM=2DN,利用勾股定理求出DN的长,即可得到DM的长.
三、解答题
19.【答案】 解:原式=1+4+2× ﹣2
=5+ ﹣2
=5﹣
【考点】实数的运算,0指数幂的运算性质,负整数指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值
【解析】【分析】此题的运算顺序:先算乘方和开方运算,同时代入特殊角的三角函数值,再算乘法运算,然后合并同类二次根式.
20.【答案】 解:(2x﹣3)(x+2)=0
2x﹣3=0 或x+2=0
∴x1=1.5
x2=-2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点:右边为0,左边可以分解因式,因此利用因式分解法求出方程的解.
21.【答案】 解:过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,
在Rt△CEF中,
∵i= = =tan∠ECF,∴∠ECF=30°,
∴EF= CE=9米,CF=9 米,
∴BH=EF=9米,HE=BF=BC+CF=(30+9 )米,
在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,
∴AH=HE=(30+9 )米,
∴AB=AH+HB=(39+9 )米.
答:楼房AB的高为(39+9 )米.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,在Rt△CEF中,利用坡度的定义可求出∠ECF的度数;利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长,同时可求出CF的长及HE的长;然后在Rt△AHE中,根据AH=HE,可求出AH的长,根据AB=AH+BH,可求出AB的长.
22.【答案】 (1)50
(2)解:C组的人数为:50-10-10-25=5.
补充条形统计图如下,
(3)72
(4)解:
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率= =
【考点】扇形统计图,条形统计图,列表法与树状图法
【解析】【解答】解:(1)总人数=25÷50%=50(人),
(3)A组的圆心角=360°× =72°
【分析】(1)本次随机调查的学生人数=B组的人数÷B组人数所占的百分比,列式计算即可.
(2)先求出C组的人数,再补全条形统计图.
(3)A组的圆心角=360°×A组人数所占的百分比,列式计算可求解.
(4)由题意可知此事件是抽取不放回,列出树状图,求出所有的可能的结果数及他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的情况数,然后利用概率公式进行计算.
23.【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,
在△AOM和△DON中,
,
∴△AOM≌△DON(SAS),
∴AM=DN;
(2)证明:如图1,连接MN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,∠ODC=∠OCD=45°,
∵ON=OM,
∴∠OMN=∠ONM=∠ODC=45°,
∴MN∥CD,又∵EN∥BD,
∴四边形DMNE是平行四边形,
在△AOM和△DON中,
∵∠AOM=∠DON=90°,OA=OD,OM=ON,
∴△AOM≌△DON(SAS), ∴∠OMA=∠OND,
∵∠OAM+∠OMA=90°, ∴∠OAM+∠OND=90°
∴∠AHN=90°. ∴DN⊥ME,
∴平行四边形DMNE是菱形;
(3)解:如图2,连接MN,
∵MN∥CD,∴△ANM∽△ACE,
∴ ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AB=DC,∠ADC=90°,
∴AD⊥DC,又∵EN⊥DC,
∴EN∥AD,∴△CEN∽△CDA,
∴ ,∵AB∥DC,
∴△ABM∽△EDM,
∴ ,∴ ,
∴AN2=NC AC.
【考点】菱形的判定,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可证得AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,可得到∠AOM=∠DON,利用SAS可证得△AOM≌△DON,利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)连接MN,利用正方形的性质可证得OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,∠ODC=∠OCD=45°,再去证明MN∥CD,EN∥BD,由此可推出四边形DMNE是平行四边形;然后证明DN⊥ME,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可证得结论.
(3)连接MN,易证△ANM∽△ACE,可得对应边成比例,利用正方形的性质可推出AB∥DC,AB=DC,∠ADC=90°,由此可推出EN∥AD,即可证得△CEN∽△CDA,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式;再证明△ABM∽△EDM, 利用相似三角形对应边成比例,即可证得结论.
24.【答案】 (1)解:销售量:500﹣5×10=450(kg);
销售利润:450×(55﹣40)=450×15=6750(元)
(2)解:y=(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]=﹣10x2+1400x﹣40000
(3)解:由于水产品不超过10000÷40=250kg,定价为x元,
则(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]=8000
解得:x1=80,x2=60
当x1=80时,进货500﹣10(80﹣50)=200kg<250kg,符合题意,
当x2=60时,进货500﹣10(60﹣50)=400kg>250kg,舍去.
【考点】二次函数的实际应用-销售问题,二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,可求出销售单价定为每千克55元时的销售量及月销售利润.
(2)利用月销售利润为y=每千克的利润×销售量,列出y与x之间的函数解析式.
(3)根据等量关系月销售利润=8000元,列方程,再求出方程的解,然后根据题意可得到符合题意的销售单价.
25.【答案】 (1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2=AD CD
(2)解:∵BM∥CD ∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA ∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD CD,且CD=6,AD=8,
∴BD2=48,∴BC2=BD2﹣CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28 ∴MC=2
∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND
∴ ,且MC=2
∴MN=
【考点】勾股定理,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可证得∠ADB=∠CDB,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABD∽△BCD;然后利用相似三角形的对应边成比例,可证得结论.
(2)利用平行线的性质可证得∠MBD=∠BDC,利用已知条件求出BD2 , 利用勾股定理求出BC2及MC的长;再由BM∥CD,可推出△MNB∽△CND,利用相似三角形的对应边成比例可求出MC的长,继而可求出MN的长.
26.【答案】 (1)解:把B(1,0),C(0,﹣3)代入y=ax2+2x+c
则有 ,
解得 , ∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3
(2)解:如图1中连接AD,CD.∵△DAC的面积最大,
设直线AC解析式为:y=kx+b,
∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴ , 解得, ,∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,
过点D作x轴的垂线交AC于点G,设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),
则G(x,﹣x﹣3),∵点D在第三象限,
∴DG=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x,
∴S△ACD= DG OA= (﹣x2﹣3x)×3=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+ )2+ ,
∴当x=﹣ 时,S最大= ,点D(﹣ ,﹣ )
(3)解:满足条件的点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(0,﹣3)或(2,5)
【考点】二次函数与一次函数的综合应用,二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解:(3)
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,点C的坐标为(0,-3)
当OB是平行四边形的边时,
∴OB=MN=1,OB∥MN,
∴N( 2, 3)或N′(0, 3),
当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,
x=2时,y=4+4 3=5,
∴N″(2,5).
∴满足条件的点N的坐标为( 2, 3)或(0, 3)或(2,5).
【分析】(1)将点B,C的坐标代入函数解析式,可得到关于a,c的方程组,解方程组求出a,c的值,可得到函数解析式.
(2)连接AD,CD.设直线AC解析式为:y=kx+b,将点A,C的坐标代入函数解析式,建立关于k,b的方程组,解方程组求出k,b的值,可得到一此函数解析式;过点D作x轴的垂线交AC于点G,设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),则G(x,﹣x﹣3),利用点D在第三象限,分别表示出DG,利用三角形的面积公式建立S S△ACD与x的函数解析式,将其函数解析式转化为顶点式,利用二次函数的性质可求出点D的坐标.
(3)根据题意画出图形,利用抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为直线x=-1,点C的坐标为(0,-3);分情况讨论:当OB是平行四边形的边时,利用平行四边形的性质可得到OB∥MN,OB=MN=1,可得到符合题意的点N的坐标;当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,即可得到点N″的纵坐标,可得到点N″的坐标.
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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四川省眉山市东坡区2021届九年级下学期数学开学试卷
一、选择题 (每题3分,共36分)
1.(2021九下·东坡开学考)要使代数式 有意义,则x的取值范围是( )
A. x>﹣1 B. x≥﹣1 C. x≠0 D. x>﹣1且x≠0
【答案】 A
【考点】分式有意义的条件,二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得
x+1>0
解之:x>-1.
故答案为:A.
【分析】利用分式有意义,则分母不等于0及二次根式有意义,则被开方数大于等于0,建立关于x的不等式,然后求出不等式的解集.
2.(2021九下·东坡开学考)下列四组线段中,是成比例线段的是( )
A. 2cm,3cm,4cm,5cm B. 3cm,6cm,0.2dm,5cm
C. 2cm,4cm,6cm,8cm D. 12cm,8cm,15cm,10cm
【答案】 D
【考点】比例线段
【解析】【解答】解:A、∵ 2:3≠4:5,
∴这四条线段不成比例,故A不符合题意;
B、∵3:0.2≠6:5,
∴这四条线段不成比例,故B不符合题意;
∵ 2:4≠6:8,
∴这四条线段不成比例,故C不符合题意;
∵ 8:10=4:5,12:15=4:5
∴8:10=12:15
∴这四条线段不成比例,故D符合题意;
故答案为:D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比,若线段,则是成比例的线段,由此可得答案.
3.(2021九下·东坡开学考) 化简后的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】二次根式的定义,二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵1-a>0
∴原式=.
故答案为:A.
【分析】利用二次根式的定义可知1-a>0,然后化简二次根式即可.
4.(2021九下·东坡开学考)关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 总有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:∵b2-4ac=[-(k+2)]2-4×2k=k2+4k+4-8k=(k-2)2.
k取任意实数时,(k-2)2≥0即b2-4ac≥0
∴此方程总有实数根.
故答案为:B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出b2-4ac,再判断b2-4ac的值的情况,由此可得答案.
5.(2021九下·东坡开学考)如图,已知△ACD∽△ADB,AC=4,AD=2,则AB的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ACD∽△ADB,
∴即
解之:AB=1.
故答案为:A.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例,可得比列式,然后代入求出AB的值.
6.(2017·兰州模拟)在△ABC中,若cosA= ,tanB= ,则这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】 A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:∵cosA= ,tanB= ,
∴∠A=45°,∠B=60°.
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°.
∴△ABC为锐角三角形.
故A符合题意.
故答案为:A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求得∠A、∠B的度数,进而求出∠C的度数,可得出三角形的形状.
7.(2021九下·东坡开学考)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD边上一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F.若S△DEF=2,则S△ABE=( )
A. 15.5 B. 16.5 C. 17.5 D. 18.5
【答案】 C
【考点】平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ DE:EC=2:3
∴DE:DC=2:5,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴△DEF∽△ABF,DE:AB=2:5,
∴ ,
∴
解之:S△ABF=12.5.
∴ ,
解之:S△BEF=5
∴S△ABE=S△BEF+S△ABF=5+12.5=17.5.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件可证得DE:DC=2:5,利用平行四边形的性质可得到DC∥AB,DE:AB=2:5,同时可证得△DEF∽△ABF,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出△ABF的面积,同时可推出DF与BF的比值;然后求出△BEF的面积,根据S△ABE=S△BEF+S△ABF , 可求出△ABE的面积.
8.(2021九下·东坡开学考)如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连结BE、AD,点M、N分别是线段BE、AD上的两点,且BM= BE,AN= AD,则△CMN的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形
【答案】 C
【考点】等边三角形的判定与性质,三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴BC=AC,EC=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE与△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠MBC=∠NAC,BE=AD,
∵BM=BE,AN=AD,
∴BM=AN,
在△MBC与△NAC中
∴△MBC≌△NAC(SAS),
∴MC=NC,∠BCM=∠ACN,
∵∠BCM+∠MCA=60°,
∴∠NCA+∠MCA=60°,
∴∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形.
故答案为:C.
【分析】利用等边三角形的性质去证明BC=AC,EC=CD,∠BCE=∠ACD,利用SAS证明△BCE≌△ACD,利用全等三角形的性质可推出∠MBC=∠NAC,BE=AD,从而可证得BM=AN;再利用SAS证明△MBC≌△NAC,利用全等三角形的性质去证明MC=NC,∠MCN=60°;然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可得到△CMN的形状.
9.(2021九下·东坡开学考)已知1<a<3,则化简 ﹣ 的结果是( )
A. 2a﹣5 B. 5﹣2a C. ﹣3 D. 3
【答案】 A
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵1<a<3,
∴a-1>0,a-4<0
.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件:1<a<3,可得到a-1>0,a-4<0,再利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简.
10.(2021九下·东坡开学考)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,连接BD,
∵正方形DCBE
∴CE⊥BD,CG=BG
在Rt△BCG中
即
解之:;
∵
在Rt△ABG中,
.
故答案为:B.
【分析】连接BD,利用正方形的性质可证得CE⊥BD,CG=BG,利用勾股定理求出BG的长,再利用勾股定理求出AB的长;然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠BAC的值.
11.(2021九下·东坡开学考)如图,AB和CD表示两根直立于地面的柱子,AC和BD表示起固定作用的两根钢筋,AC与BD相交于点M,已知AB=8m,CD=12m,则点M离地面的高度MH为( )
A. 4 m B. m C. 5m D. m
【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB∥CD,
∴△ABM∽△CDM,
∴
∴
∵AB∥MH,
∴△MCH∽△ACB,
∴
∴
解之:.
故答案为:B.
【分析】由题意可知AB∥CD∥MH,可证得△ABM∽△CDM,△MCH∽△ACB,利用相似三角形的对应边成比例,可求出MC与AC的比值,同时可证得 , 代入计算可求出MH的长.
12.(2020九上·新建期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②b﹣a>c;③4a+2b+c>0;④3a>c;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数),其中结论正确的有( )
A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数的其他应用
【解析】【解答】解:①∵对称轴在y轴的右侧,
∴ab<0,
由图象可知:c>0,
∴abc<0,
故①不符合题意;②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴b﹣a>c,
故②符合题意;③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,
故③符合题意;④∵x=﹣ =1,
∴b=﹣2a,
∵a﹣b+c<0,
∴a+2a+c<0,
3a<﹣c,
故④不符合题意;⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c(m≠1),
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),
故⑤符合题意.
故②③⑤符合题意.
故答案为:B.
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
二、填空题 (每题6分,共18分)
13.(2021九下·东坡开学考)已知关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(a2﹣4)x+8=0不含一次项,则a=________.
【答案】 ﹣2
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(a2﹣4)x+8=0不含一次项,
∴
解之:a=±2且a≠2
∴a=-2.
故答案为:-2.
【分析】利用一元二次方程的二次项系数不为0,可得到a-2≠0,再根据此方程不含一次项,可得到a2-4≠0,由此可求出a的值.
14.(2021九下·东坡开学考)某企业两年前创办时的资金为1000万元,现在已有资金1440万元.若设该企业这两年资金的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为________.
【答案】 1000(1+x)2=1440
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:由题意可得:
1000(1+x)2=1440.
故答案为:1000(1+x)2=1440.
【分析】此题的等量关系为:两年前创办时的资金×(1+增长率)2=现在已有的资金,列方程即可.
15.(2021九下·东坡开学考)若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则 的值是________.
【答案】
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,
∴
∴.
故答案为:.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出α+β和αβ的值,再将代数式转化为 , 然后整体代入求值.
16.(2021九下·东坡开学考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是________.
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,∠B+∠A=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴.
故答案为:.
【分析】利用垂直的定义及余角的性质可证得∠A=∠BCD,再利用锐角三角函数的定义可求出tan∠BCD的值.
17.(2021九下·东坡开学考)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则 ABCD的周长等于________.
【答案】 16
【考点】平行四边形的性质,三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,
∵OE∥AB,
∴AE=ED,
∴OE是△ABD的中位线,
∴AB=2OE,AD=2AE;
∵△AOE的周长等于5,OA=1,
∴OA+AE+OE=5,
∴AE+OE=5 OA=5 1=4,
∴AB+AD=2(AE+OE)=2×4=8,
∴ ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16.
故答案为:16.
【分析】由平行四边形的性质,可证得AB=CD,AD=BC,OB=OD,由OE∥AB可得到点E是AD的中点,由此可推出OE是△ABD的中位线,利用三角形的中位线定理可得到AB=2OE,AD=2AE,再利用已知条件可求出AE+OE的长,从而可求出AB+AD的长;然后求出平行四边形ABCD的周长.
18.(2021九下·东坡开学考)如图,正方形ABCD中,AB=4,E为BC中点,两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=2,若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似,则DM=________.
【答案】 或
【考点】正方形的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵点E是BC的中点,
∴BE=BC=×4=2;
∵正方形ABCD,
∴∠B=∠D=90°,
当∠BAE=∠DNM时,△ABE∽△NDM
∴
∴DN=2DM,
在Rt△DMN中,
DN2+DM2=MN2即4DM2+DM2=22
解之:;
当∠BAE=∠DMN时,△ABE∽△NDM
∴
∴DM=2DN,
在Rt△DMN中,
DN2+DM2=MN2即DM2+DM2=22
解之:;
∴
∴DM的长为:或
【分析】利用线段中点的定义可求出BE的长,利用正方形的性质可证得∠B=∠D=90°,分情况讨论:当∠BAE=∠DNM时,△ABE∽△NDM,利用相似三角形的对应边成比例可证得DN=2DM,再利用勾股定理求出DM的长;当∠BAE=∠DMN时,△ABE∽△NDM,利用相似三角形的性质可证得DM=2DN,利用勾股定理求出DN的长,即可得到DM的长.
三、解答题
19.(2021九下·东坡开学考)计算:(2﹣ )0+(﹣ )﹣2+2sin45°﹣ .
【答案】 解:原式=1+4+2× ﹣2
=5+ ﹣2
=5﹣
【考点】实数的运算,0指数幂的运算性质,负整数指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值
【解析】【分析】此题的运算顺序:先算乘方和开方运算,同时代入特殊角的三角函数值,再算乘法运算,然后合并同类二次根式.
20.(2021九下·东坡开学考)解方程:2x2+x﹣6=0.
【答案】 解:(2x﹣3)(x+2)=0
2x﹣3=0 或x+2=0
∴x1=1.5
x2=-2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点:右边为0,左边可以分解因式,因此利用因式分解法求出方程的解.
21.(2021九下·东坡开学考)楼房AB后有一假山,其坡度为i=1: ,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米,与亭子距离CE=18米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.
【答案】 解:过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,
在Rt△CEF中,
∵i= = =tan∠ECF,∴∠ECF=30°,
∴EF= CE=9米,CF=9 米,
∴BH=EF=9米,HE=BF=BC+CF=(30+9 )米,
在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,
∴AH=HE=(30+9 )米,
∴AB=AH+HB=(39+9 )米.
答:楼房AB的高为(39+9 )米.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,在Rt△CEF中,利用坡度的定义可求出∠ECF的度数;利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长,同时可求出CF的长及HE的长;然后在Rt△AHE中,根据AH=HE,可求出AH的长,根据AB=AH+BH,可求出AB的长.
22.(2021九下·东坡开学考)某校开展了“创建文明校园”活动周,活动周设置了“A:文明礼仪,B:生态环境,C:交通安全,D:卫生保洁”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图.
(1)本次随机调查的学生人数是________人;
(2)请你补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“A“所在扇形的圆心角等于________度;
(4)小明和小华两名同学准备从中各自随机参加一个主题活动,
请用画树状图或列表的方式,求他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的概率.
【答案】 (1)50
(2)解:C组的人数为:50-10-10-25=5.
补充条形统计图如下,
(3)72
(4)解:
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率= =
【考点】扇形统计图,条形统计图,列表法与树状图法
【解析】【解答】解:(1)总人数=25÷50%=50(人),
(3)A组的圆心角=360°× =72°
【分析】(1)本次随机调查的学生人数=B组的人数÷B组人数所占的百分比,列式计算即可.
(2)先求出C组的人数,再补全条形统计图.
(3)A组的圆心角=360°×A组人数所占的百分比,列式计算可求解.
(4)由题意可知此事件是抽取不放回,列出树状图,求出所有的可能的结果数及他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的情况数,然后利用概率公式进行计算.
23.(2021九下·东坡开学考)如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M在线段OD上,连结AM并延长交边DC于点E,点N在线段OC上,且ON=OM,连结DN与线段AE交于点H,连结EN、MN.
(1)求证:AM=DN;
(2)如果EN∥BD,求证:四边形DMNE是菱形;
(3)如果EN⊥DC,求证:AN2=NC AC.
【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,
在△AOM和△DON中,
,
∴△AOM≌△DON(SAS),
∴AM=DN;
(2)证明:如图1,连接MN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,∠ODC=∠OCD=45°,
∵ON=OM,
∴∠OMN=∠ONM=∠ODC=45°,
∴MN∥CD,又∵EN∥BD,
∴四边形DMNE是平行四边形,
在△AOM和△DON中,
∵∠AOM=∠DON=90°,OA=OD,OM=ON,
∴△AOM≌△DON(SAS), ∴∠OMA=∠OND,
∵∠OAM+∠OMA=90°, ∴∠OAM+∠OND=90°
∴∠AHN=90°. ∴DN⊥ME,
∴平行四边形DMNE是菱形;
(3)解:如图2,连接MN,
∵MN∥CD,∴△ANM∽△ACE,
∴ ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AB=DC,∠ADC=90°,
∴AD⊥DC,又∵EN⊥DC,
∴EN∥AD,∴△CEN∽△CDA,
∴ ,∵AB∥DC,
∴△ABM∽△EDM,
∴ ,∴ ,
∴AN2=NC AC.
【考点】菱形的判定,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可证得AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,可得到∠AOM=∠DON,利用SAS可证得△AOM≌△DON,利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)连接MN,利用正方形的性质可证得OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,∠ODC=∠OCD=45°,再去证明MN∥CD,EN∥BD,由此可推出四边形DMNE是平行四边形;然后证明DN⊥ME,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可证得结论.
(3)连接MN,易证△ANM∽△ACE,可得对应边成比例,利用正方形的性质可推出AB∥DC,AB=DC,∠ADC=90°,由此可推出EN∥AD,即可证得△CEN∽△CDA,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式;再证明△ABM∽△EDM, 利用相似三角形对应边成比例,即可证得结论.
24.(2021九下·东坡开学考)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的关系式;
(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少?
【答案】 (1)解:销售量:500﹣5×10=450(kg);
销售利润:450×(55﹣40)=450×15=6750(元)
(2)解:y=(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]=﹣10x2+1400x﹣40000
(3)解:由于水产品不超过10000÷40=250kg,定价为x元,
则(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]=8000
解得:x1=80,x2=60
当x1=80时,进货500﹣10(80﹣50)=200kg<250kg,符合题意,
当x2=60时,进货500﹣10(60﹣50)=400kg>250kg,舍去.
【考点】二次函数的实际应用-销售问题,二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,可求出销售单价定为每千克55元时的销售量及月销售利润.
(2)利用月销售利润为y=每千克的利润×销售量,列出y与x之间的函数解析式.
(3)根据等量关系月销售利润=8000元,列方程,再求出方程的解,然后根据题意可得到符合题意的销售单价.
25.(2021九下·东坡开学考)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:BD2=AD CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
【答案】 (1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2=AD CD
(2)解:∵BM∥CD ∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA ∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD CD,且CD=6,AD=8,
∴BD2=48,∴BC2=BD2﹣CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28 ∴MC=2
∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND
∴ ,且MC=2
∴MN=
【考点】勾股定理,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可证得∠ADB=∠CDB,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABD∽△BCD;然后利用相似三角形的对应边成比例,可证得结论.
(2)利用平行线的性质可证得∠MBD=∠BDC,利用已知条件求出BD2 , 利用勾股定理求出BC2及MC的长;再由BM∥CD,可推出△MNB∽△CND,利用相似三角形的对应边成比例可求出MC的长,继而可求出MN的长.
26.(2021九下·东坡开学考)已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),
(1)求二次函数的表达式
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求使△ADC面积最大时点D的坐标;
(3)M是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N,使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形?若有,请直接写出点N的坐标
【答案】 (1)解:把B(1,0),C(0,﹣3)代入y=ax2+2x+c
则有 ,
解得 , ∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3
(2)解:如图1中连接AD,CD.∵△DAC的面积最大,
设直线AC解析式为:y=kx+b,
∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴ , 解得, ,∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,
过点D作x轴的垂线交AC于点G,设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),
则G(x,﹣x﹣3),∵点D在第三象限,
∴DG=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x,
∴S△ACD= DG OA= (﹣x2﹣3x)×3=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+ )2+ ,
∴当x=﹣ 时,S最大= ,点D(﹣ ,﹣ )
(3)解:满足条件的点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(0,﹣3)或(2,5)
【考点】二次函数与一次函数的综合应用,二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解:(3)
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,点C的坐标为(0,-3)
当OB是平行四边形的边时,
∴OB=MN=1,OB∥MN,
∴N( 2, 3)或N′(0, 3),
当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,
x=2时,y=4+4 3=5,
∴N″(2,5).
∴满足条件的点N的坐标为( 2, 3)或(0, 3)或(2,5).
【分析】(1)将点B,C的坐标代入函数解析式,可得到关于a,c的方程组,解方程组求出a,c的值,可得到函数解析式.
(2)连接AD,CD.设直线AC解析式为:y=kx+b,将点A,C的坐标代入函数解析式,建立关于k,b的方程组,解方程组求出k,b的值,可得到一此函数解析式;过点D作x轴的垂线交AC于点G,设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),则G(x,﹣x﹣3),利用点D在第三象限,分别表示出DG,利用三角形的面积公式建立S S△ACD与x的函数解析式,将其函数解析式转化为顶点式,利用二次函数的性质可求出点D的坐标.
(3)根据题意画出图形,利用抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为直线x=-1,点C的坐标为(0,-3);分情况讨论:当OB是平行四边形的边时,利用平行四边形的性质可得到OB∥MN,OB=MN=1,可得到符合题意的点N的坐标;当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,即可得到点N″的纵坐标,可得到点N″的坐标.
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