2011～2012学年下学期第二次段考答案
高二理科数学 2012.5
一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．函数中的满足：
2．
3．得正态曲线关于对称
4．由题意得：的最小正周期
5．
6．
7．
8．先同年级的同学捆绑，再排列：
9．③④正确
10．①设则，
②
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．
12． ，令即可
13．
14． 过定点及
三、解答题。
15．（满分12分）已知数列满足：，且；
（1）求数列的通项公式及前项的和；（8分）
（2）如果；求证：数列是等比数列。（4分）
解：（1）是以公差的等差数列（2分）
--------（5分）
---------（8分）
（2）-----（9分）-----（11分）
得：数列是公比为的等比数列--------（12分）
16．（满分12分）在中，内角对边的边长分别是，
已知，角成等差数列；
（1）角；求；（5分）（2）若，求的面积。（7分）
解：（1）角成等差数列---（2分）
，-----（5分）
（2）---（12分）
17．（满分14分）四棱柱
的底面是平行四边形，且，
，，为的中点，
平面．
（1）证明：面；（6分）
（2）若，试求异面直线与
所成角的余弦值．（8分）
解：（1）过点作于点，得：
以为轴正半轴方向建立直角坐标系（2分）
得：
，---（4分）
又，面---（6分）
（2）设；则
又-----（10分）
得：异面直线与所成角的余弦值为----（14分）
18．（满分14分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行
统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量 1 1.5 2
频数 10 25 15
频率 0.2
（1）填充上表；（4分）
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；（4分）
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售
利润的和（单位：千元），求的分布列与期望。（6分）
解：（2）设5天中该种商品恰有天的销售量为1.5吨；
则---（6分），---（8分）
（3）可取（9分）（每个概率0.5分）
--（13分）
答：（略）----（14分）
19．（满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线
有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.
（1）求直线的方程；（4分）（2）求，及轴围成的面积。（5分）
（3）过上的，当的取最大值时，求方程及坐标。（5分）
解：（1）联立方程组：---（2分）
由题意得：即直线方程为--（4分）
（2）直线与的切点为，直线交轴于点-- （6分）
-----（9分）
（3）椭圆的焦点为；设关于的对称点为
则---（11分）
当时，，椭圆的方程为及--（14分）
20．（满分14分）已知是函数的
一个极值点，其中，
（1）求与的关系式；（4分）（2）求的单调区间；（5分）
（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率
恒大于3，求的取值范围。（5分）
解：（1）-（4分）
（2）
①当时，
②当时，或
②当时，或
（3）原命题在上恒成立（*）
由
（*）三水华侨中学2011～2012学年下学期第二次段考
高二理科数学 2012.5
命题人：骆方祥 审核人：黄 河
本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟
参考公式： 锥体积公式
一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域是（ ）
2．已知i为虚数单位，；则（ ）
3．设随机变量，若，则（ ）
4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，
则（ ）
5．阅读下图的程序框图, 该程序运行后输出的的值为（ ）
6．一空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为（ ）.
7．有人收集了春节期间平均气温与某
取暖商品销售额的有关数据如下
平均气温（℃）
销售额（万元） 20 23 27 30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温之间
线性回归方程的系数．则预测平均气温为℃
时该商品销售额为（ ）万元
8．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名
同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）种
9．有下列四个命题，真命题有（ ）个
①函数在其定义域上是减函数；
②两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件；
③给定命题、，若是真命题，则是假命题；
④双曲线的渐近线与圆相切；
10．已知圆，过点作圆的切线，
切点为；则的最小值为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11. 某社区有个家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，
低收入家庭户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是
12．的展开式的常数项是 ．（用数字作答）
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学
问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列
的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称
为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则，若，则
14．若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15．（满分12分）已知数列满足：，且；
（1）求数列的通项公式及前项的和；（8分）
（2）如果；求证：数列是等比数列。（4分）
16．（满分12分）在中，内角对边的边长分别是，
已知，角成等差数列；
（1）若角；求；（5分）
（2）若，求的面积。（7分）
17．（满分14分）四棱柱
的底面是平行四边形，且，
，，为的中点，
平面．
（1）证明：面；（6分）
（2）若，试求异面直线与所成角的余弦值．（8分）
18．（满分14分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行
统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量 1 1.5 2
频数 10 25 15
频率 0.2
（1）填充上表；（4分）
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；（4分）
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售
利润的和（单位：千元），求的分布列与期望。（6分）
19．（满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线
有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.
（1）求直线的方程；（4分）
（2）求抛物线，直线及轴围成的面积。（5分）
（3）若椭圆经过直线上的点，当椭圆的的离心率取得最大值
时，求椭圆的方程及点的坐标。（5分）
20．（满分14分）已知是函数的
一个极值点，其中，
（1）求与的关系式；（4分）（2）求的单调区间；（5分）
（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率
恒大于3，求的取值范围。（5分）
5
12
1
222011～2012学年下学期第二次段考样卷
高二理科数学 2012.5
本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟
一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，；
则（ ）
2：已知为虚数单位，；则（ ）
3．设随机变量，若，则（ ）
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
10
5．由直线，曲线以及x轴所围成图形的面积为（ ）
6．由组成没有重复数字的3位数，各位数字之和为奇数的共有
（ ）个
.
7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
.
8．函数的最小值为（ ）
9．有下列四个命题，真命题有（ ）个
①函数的最大值为；
②命题：“”是命题：“”的充要条件；
③给定命题、，若是假命题，则是真命题；
④若双曲线的渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为。
10．在中，，，，在上任取一
点，使为钝角三角形的概率为（ ）
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．函数在处的切线方程为
12．点在由不等式组确定的三角形区域内，
且的最大值是；则
13．直线与曲线有四个交点，则实数；
14．有人收集了一段期间某商品平均气温(℃)与商品销售量(万件)的有关数据如下
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售量与平均气温之间
线性回归方程的系数．则预测平均气温为℃时
该商品销售量为(万件)
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15．（满分12分）函数，且函数
的部分图像如图，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，
P的坐标为
（1）的最小正周期及的值；
（2）如；求的值。
16．（满分12分）已知数列是公差不为的等差数列，，
且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。
17．（满分14分）如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的
高分别为1和2，；
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）异面直线AQ与PB所成的角的余弦值；
（3）点P到平面ADQ的距离。
18．（满分14分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求的分布列和数学期望．
19．（满分14分）过抛物线上一定点
作两条直线分别交抛物线于；
（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；
（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，
并证明直线的斜率是非零常数。
20．（满分14分）设函数；
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（2）求函数f (x)的单调区间与极值；
（3）已知函数f (x)有三个互不相同的零点且，
若对任意的，恒成立，求的取值范围。
y P
O R x
Q
P
Q
D C
A B2011～2012学年下学期第二次段考答案
高二理科数学 2012.5
一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．函数中的满足：
2．
3．得正态曲线关于对称
4．由题意得：的最小正周期
5．
6．
7．
8．先同年级的同学捆绑，在排列：
9．③④正确
10．①设则，
②
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．
12． ，令即可
13．
14． 过定点及
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11． 12． 13． 14．
三、解答题。
15．（满分12分）已知数列满足：，且；
（1）求数列的通项公式及前项的和；（8分）
（2）如果；求证：数列是等比数列。（4分）
解：（1）是以公差的等差数列（2分）
--------（5分）
---------（8分）
（2）-----（9分）-----（11分）
得：数列是公比为的等比数列--------（12分）
16．（满分12分）在中，内角对边的边长分别是，
已知，角成等差数列；
（1）角；求；（5分）（2）若，求的面积。（7分）
解：（1）角成等差数列---（2分）
，-----（5分）
（2）---（12分）
【方法二】
17．（满分14分）四棱柱
的底面是平行四边形，且，
，，为的中点，
平面．
（1）证明：面；（6分）
（2）若，试求异面直线与
所成角的余弦值．（8分）
解：（1）过点作于点，得：
以为轴正半轴方向建立直角坐标系（2分）
得：
，---（4分）
又，面---（6分）
（2）设；则
又-----（10分）
得：异面直线与所成角的余弦值为----（14分）
【方法二】
（1）中，
以为轴正半轴方向建立直角坐标系（2分）
得：
，---（4分）
又，面---（6分）
（2）设；则
又-----（10分）
得：异面直线与所成角的余弦值为----（14分）
【方法三】
（1）中，
中，
中，---（4分）
又，面---（6分）
（2）取的中点为，连接
则是异面直线与所成角（或补角）
设；
在中，
得：异面直线与所成角的余弦值为----（14分）
18．（满分14分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行
统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量 1 1.5 2
频数 10 25 15
频率 0.2
（1）填充上表；（4分）
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；（4分）
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售
利润的和（单位：千元），求的分布列与期望。（6分）
解：（2）设5天中该种商品恰有天的销售量为1.5吨；
则---（6分），---（8分）
（3）可取（9分）（每个概率0.5分）
--（13分）
答：（略）----（14分）
19．（满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线
有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.
（1）求直线的方程；（4分）（2）求，及轴围成的面积。（5分）
（3）过上的，当的取最大值时，求方程及坐标。（5分）
解：（1）联立方程组：---（2分）
由题意得：即直线方程为--（4分）
【方法二】设公共点（切点）为
则
得：即直线方程为--（4分）
（2）直线与的切点为，直线交轴于点-- （6分）
-----（9分）
【方法二】-----（9分）
（3）椭圆的焦点为；设关于的对称点为
则---（11分）
当时，，椭圆的方程为及--（14分）
【方法二】设椭圆的方程为；则
得：
当时，，椭圆的方程为及--（14分）
20．（满分14分）已知是函数的
一个极值点，其中，
（1）求与的关系式；（4分）（2）求的单调区间；（5分）
（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率
恒大于3，求的取值范围。（5分）
解：（1）-（4分）
（2）
①当时，
②当时，或
②当时，或
（3）原命题在上恒成立（*）
由
（*）
【方法二】
原命题在上恒成立（*）
①当时，与（*）不符
①当时，的对称轴为
当时，在上是减函数
与（*）不符
当时，（*）2011～2012学年下学期第二次段考样卷答案
高二理科数学 2012.5
一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，
题号
答案
1．
2：
3．正态曲线关于对称，
4．展开式的二项式系数之和为
展开式的第项
展开式的常数项为
5．所围成图形的面积
6．①三个数均是奇数，②一奇二偶，共
7．（1）求出面的法向量
（2）BB1与面ACD1夹角：
8．
9．①函数的最大值为；
②，
③若是假命题均是假命题，则是真命题；
④若双曲线的渐近线互相垂直
10．（1）过做，交线段于点
（2）为钝角三角形或
（3）求出
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．
12． 三角形区域，在点
取最大值
13． 由是偶函数得：直线与曲线
有二个交点，由图象得：
14． （1）
（2）时，
三、解答题
15．（满分12分）函数，且函数
的部分图像如图，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，
P的坐标为
（1）函数的最小正周期及的值；
（2）如；求的值。
解：（1）函数的最小正周期
（2）由题意得：既
16．（满分12分）已知数列是公差不为的等差数列，，
且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。
解：（1）由题意得：
（2）
17．（满分14分）如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的
高分别为1和2，；
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）异面直线AQ与PB所成的角的余弦值；
（3）点P到平面ADQ的距离。
解：（1）取底面的中心为点
得：面，面
得：与共线PQ⊥平面ABCD
（2）以为轴正半轴方向建立直角坐标系
则
AQ与PB所成的角的余弦值
（3）①求出面的法向量，
②点P到平面ADQ的距离（也可用等体积法）
18．（满分14分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求的分布列和．
解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故，解得（舍）或．
（2）依题意知的所有可能取值为2，4，6．
，，
，所以随机变量的分布列为：
19．（满分14分）过抛物线上一定点
作两条直线分别交抛物线于；
（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；
（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，
并证明直线的斜率是非零常数。
解：（1）抛物线的准线为，设
点在抛物线上，
（2）由
同理：
由题意得
且
20．（满分14分）设函数；
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（2）求函数f (x)的单调区间与极值；
（3）已知函数f (x)有三个互不相同的零点且，
若对任意的，恒成立，求的取值范围。
解：（1），当时，
（2）或
由得：或
得：f (x)的递增区间为，递减区间为
时，取极小值，时，取极大值，
（3）或
由题意得：且且
由题意得：，且
y P
O R x
Q
P
Q
D C
A B三水华侨中学2011－2012学年下学期第二次段考
高二级理科数学答题卷
题号 二 三 总分
15 16 17 18 19 20
成绩
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11： ； 12： ；
13： ； 14： ；
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。
15．（满分12分）；（第一问8分，第二问4分）
（1）
（2）
16．（满分12分）（第一问5分，第二问7分）
（1）
（2）
17．（满分14分）（第一问6分，第二问8分）
（1）
（2）
18．（满分14分）（第一问4分，第二问①4分，②6分）
日销售量 1 1.5 2
频数 10 25 15
频率 0.2
（1）
（2）①
②
19．（满分14分）（第一问4分，第二问5分，第三问5分）
（1）
（2）
（3）
20．（满分14分）（第一问4分，第二问5分，第三问5分）
（1）
（2）
（3）
座位号
______级___ 班 姓名 学号 考号________________ 试室号________座位号
密 封 线 内 不 得 答 题
----------------------------------------------------------------------------密----------------------------------------------封------------------------------------------------线-------------------------------------------------------------------------
密 封 线 内 不 得 答 题
