北京市昌平区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案

昌平区 2020－2021 学年第二学期高一年级期末质量抽测
数学试卷 2021.7
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项)
i
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
1?i
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
23π
（2）sin ?
6
1 1 3 3
（A） （B）? （C） （D）?
2 2 2 2
4
（3）已知角?终边经过点P(?3,y)，且tan?? ，则cos??
3
（A） 3 3
? （B） 4
? （C） （D） 4
?
5 5 5 5
uuur uuur
（4）已知?ABC中，?C?90?,AC?2,BC?1，则AB?AC ?
（A）2 （B） 5 （C）4 （D）2 5
π
（5）已知函数 f(x)?2sin??x???(??0,?? )的部分图象如图所示，则?,? 分别
2
是
π π
（A）??1，??? （B）??2，??
6 6
π π
（C）??1，??? （D）??2，??
3 3
（6）在 2 2 2
?ABC中，若a ?c ?b ? 3ac ，则?B?
? ? 2? 5?
（A） （B） （C） （D）
6 3 3 6
π
（7）要得到函数 y ?3sin(2x? )的图象，只需将函数 y ?3sin2x的图象
6
π π
（A）向右平移 个单位长度 （B）向左平移 个单位长度
6 6
π π
（C）向右平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度
12 12
（8）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为 2. 则该正四棱锥的表面积为
（A）4 3 （B）2?4 3 （C）4?4 3 （D）4?8 3
（9）在平面直角坐标系xOy中，?AB,C?D,E?F,G?H 是单位圆上的四段弧（如图），点P在
其中一段上，角?是以Ox为始边，OP为终边.
则“点P在C?D上”是 “tan??sin??cos?” 的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）在棱长为1 的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,N 分别为 AA1,CC1的中点，O为底面
ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足NP?MO，则下列说法正确的
是
（A）点P可以是棱BB1的中点
（ 2
B）线段NP的最大值为 2
（C）点P的轨迹是平行四边形
（D）点P轨迹的长度为1+ 2
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
π
(11) 函数 y ?3tan(x? )的定义域是_____________ .
4
(12) 设a?R，复数z ?(1?i)(a?i).若复数z是纯虚数，则a ?_____ ；若复数z在复平
面内对应的点位于实轴上，则a ?_____ .
1
(13) 已知单位向量a,b满足a?b= ，则a与b夹角的大小为 ；|a?2b|= .
2
(14) 已知l是平面?外的一条直线．给出下列三个论断：
①???；②l ??；③l∥?．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
（15）已知 2
sin??3cos??0，则sin2??cos ??_________.
x x
（16）设向量m?(4cos ,0), n?(sin ,1)，函数 f(x)?m?n.若函数 f(x)的定义域为
2 2
[a,b]，值域为[?1,2]. 给出下列四个结论：
π 5π 7π
① ； ② ； ③π； ④ .
3 6 6
则b?a的值可能是___________ .（填上所有正确的结论的序号）
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
(17)（本小题满分14分）
已知 3
sin?? ，且?是第二象限角.
5
（I）求sin2?及tan2?的值；
?
（II）求 cos2 的值.
?
sin( ??)
4
(18)（本小题满分14分）
已知向量a?(1,2),b?(3,?2).
（I）求|a?b|；
（II）求向量a与向量b的夹角?的余弦值；
（III）若|c|? 10，且(2a+c)?c，求向量a与向量c 的夹角.
(19)（本小题满分14分）
7
在△ABC中， 3 3
a? c，sinC ? . 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
3 14
已知，求：
（Ⅰ）?A的大小；
（Ⅱ）cosB 和b的值．
条件①：b?a?1；
3
条件②：ccosA?? .
2
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
(20)（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱 ABCD? A1B1C1D1中， AB//CD,AB ? AD ，E为 AA1上一点，
AB ? AD ? AE ?1,CD ? 2.
（I）求证：BE ? AD ；
（II）求证：BE//平面CDD1C1；
（III）设平面EBC 与棱DD1交于点F ，确定点F 的位置，
并求出线段DF的长度.
(21)（本小题满分14分）
? ? ?
已知函数 x x 2 x 3
f(x)?sin cos ? 3cos ? （??0）.
2 2 2 2
（Ⅰ）若 f(x)的最小正周期为π，求 f(x)的单调递增区间；
3 π
（Ⅱ）若 f(x)? 在[0, ]上恒成立，求实数?的取值范围；
2 3
（Ⅲ）若 π
??1， g(x)?10f(x? )?8，证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得
3
g(x0)?0
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数学试卷参考答案及评分标准 2020.7
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D D C C A B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
3π ?
11. {x x ?kπ? ,k?Z} 12. ?1；1 13. ； 3
4 3
14. 若???，l ??，则l//?.①②?③
若l ??，l//?，则???.②③?①
1
15. ? 16. ② ③ ④
2
（第12、13题：第一空3分，第二空2分；第16题:答对一个给2分，答对两个给3分，
全对给5分，不选或有错选得0分.）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（17）（本小题满分14分）
解：（I）已知 3
sin?? ，且?是第二象限角.
5
所以 4 3
cos??? ，tan??? . ………………4分
5 4
所以 24
sin2??2sin?cos??? ， ………………6分
25
2tan? 24
tan2??
2 ?? . ………………8分
1?tan ? 7
2 2
?
（II）因为 cos2 cos ??sin ?
? ………………10分
π π π
sin( ??) sin cos??cos sin?
4 4 4
(cos??sin?)(cos??sin?)
? 2 2
cos?? sin?
2 2
(cos??sin?)(cos??sin?)
? 2 (cos??sin?)
2
cos??sin?
? 2
2
2
?? . ………………14分
5
（18）（本小题满分14分）
解：（I）因为a?(1,2),b?(3,?2)，
所以a?b?(?2,4). ………………2分
所以 2 2
|a?b|? (?2) ?4 ? 2 5. ………………4分
（II）因为a?b=1?3?2?(?2)??1， ………………5分
2 2
|a|? 1 ?2 ? 5 ， ………………6分
2 2
|b|? 3 ?(?2) ? 13 ， ………………7分
? ?
所以 a b 1 65
cos?? ? ? ? . ………………9分
|a||b| 5? 13 65
（III）因为(2a+c)?c，
所以(2a+c)?c ?0. ………………10分
即 2
2a?c+c ?0.
所以 2
2|a||c|cos a,c +|c| ?0. ………………11分
即2? 5? 10?cos a,c +10?0 ………………12分
2
所以cos a,c ?? . ………………13分
2
因为 a,c ?[0,π]，
3?
所以 a,c ? . ………………14分
4
（19）（本小题满分14分）
解：选择①：b?a?1.
（Ⅰ）在△ 7 3 3
ABC 中，因为a? c，sinC ? ，
3 14
所以由正弦定理得 a 3
sinA? sinC ? . ………………2分
c 2
因为b?a?1，
所以a?b.
所以 π
0??A? . ………………3分
2
所以 π
?A? . ………………5分
3
（Ⅱ）因为 7
a? c，
3
所以a?c.
所以 π
0??C ? . ………………6分
2
因为 3 3
sinC ? ，
14
所以 2 13
cosC ? 1?sin C ? . ………………7分
14
所以cosB?cos[π?(A?C)]??cos(A?C) ………………8分
?sinAsinC?cosAcosC
3 3 3 1 13 1
? ? ? ? ?? . ………………10分
2 14 2 14 7
法一：
所以 2 4 3
sinB? 1?cos B ? . ………………11分
7
由正弦定理得 b a
? ，即7b?8a. ………………12分
4 3 3
7 2
因为b?a?1，
所以b?8. ………………14分
法二：
因为b?a?1，
所以a?b?1.
因为 7
a? c，
3
所以 3 3
c? a? (b?1). ………………11分
7 7
所以 2 2 2
b ?a ?c ?2accosB
2 9 2 3 1
?(b?1) ? (b?1) ?2(b?1)? (b?1)?(? ) . ………………12分
49 7 7
所以 2 2
49b ?64(b?1) .
所以7b?8(b?1).
所以b?8. ………………14分
（或 2
15b ?128b?64?0 .即(15b?8)(b?8)?0 . ………………12分
所以 8
b? 或b?8.
15
因为b?a?1，
所以 8
b? （舍）.
15
所以b?8. ………………14分
3
解：选择②：ccosA?? .
2
（Ⅰ）在△ 7 3 3
ABC 中，因为a? c，sinC ? ，
3 14
所以由正弦定理得 a 3
sinA? sinC ? . ………………2分
c 2
3
在△ABC 中，ccosA?? ，
2
所以π ??A?π. ………………3分
2
所以 2π
?A? . ………………5分
3
（Ⅱ）因为 7
a? c，
3
所以a?c.
所以 π
0??C ? . ………………6分
2
因为 3 3
sinC ? ，
14
所以 2 13
cosC ? 1?sin C ? . ………………7分
14
所以cosB?cos[π?(A?C)]??cos(A?C) ………………8分
?sinAsinC?cosAcosC
3 3 3 1 13 11
? ? ? ? ? . ………………10分
2 14 2 14 14
法一：
所以 2 5 3
sinB? 1?cos B ? . ………………11分
14
3
因为ccosA?? ，
2
3
?
所以c? 2 ?3. ………………12分
1
?2
由正弦定理得 b c
? ，
5 3 3 3
14 14
所以b?5. ………………14分
法二：
3
因为ccosA?? ，
2
3
?
所以c? 2 ?3. ………………11分
1
?2
7
所以a? c?7. ………………12分
3
所以 2 2 2
b ?a ?c ?2accosB
11
?49?9?2?7?3? ?25.
14
所以b?5. ………………14分
（20）（本小题满分14分）
解：（I）在直四棱柱ABCD? A1B1C1D1中，
因为AA1 ?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AA1 ? AD.
因为AB ? AD，ABI AA1 ? A,
所以AD?平面ABB1A1.
因为BE ?平面ABB1A1，
所以BE ? AD . ………………5分
（II）法一：
因为AB//CD,AA1//DD1,ABIAA1 ? A,CDIDD1 ?D ,
所以平面ABB1A1//平面CDD1C1.
因为BE ?平面ABB1A1，
所以BE//平面CDD1C1. ………………10分
法二：
取CD中点H ,连接BH .
因为AB ?1,CD ?2，AB//CD，
所以AB//HD且AB ? HD.
所以ABHD是平行四边形.
所以BH //AD且BH ? AD.
在DD1上取点G，使DG ? AE ?1,连接EG.
所以AE//DG且AE ? DG.
所以ADGE 是平行四边形.
所以EG//AD且EG ? AD.
所以BH //EG且BH ? EG.
所以BEGH 是平行四边形.
所以BE//GH .
因为BE ?平面CDD1C1，GH ?平面CDD1C1，
所以BE//平面CDD1C1. ………………10分
（III）法一：
延长CB,DA交于点G ，连结GE,延长GE交DD1于点F ，连接CF .…12分
因为AB//CD,AB ?1,CD ?2，
所以A,B分别为GD,GC的中点.
因为AE//DF ,
所以E为GF 的中点.
所以DF ? 2AE ? 2. ……………14分
法二：
由（II）法二，在平面CDD1C1中作CF //GH ,交DD1于点F ,连接EF .
所以CF //BE.
所以点F 即为平面EBC 与棱DD1的交点. ………12
分
因为H 为CD中点，
所以G 为DF中点.
因为DG ? AE ?1,
所以DF ?2. ……………14分
（21）（本小题满分14分）
? ? ?
解：（Ⅰ）因为 x x 2 x 3
f(x)?sin cos ? 3cos ?
2 2 2 2
1 ?x ?x 1?cos?x 3
? ?2sin cos ? 3? ?
2 2 2 2 2
1 3
? sin?x? cos?x
2 2
π
?sin(?x? ) ……………2分
3
因为 f(x)的最小正周期为π，
所以??2. ……………3分
所以 π
f(x)?sin(2x? ).
3
因为函数 π π
y?sinx的单调递增区间为[2kπ? ,2kπ? ](k?Z)，
2 2
由 π π π
2kπ? ?2x? ?2kπ? ，
2 3 2
得 5π π
kπ? ?x?kπ? .
12 12
所以 5π π
f(x)的单调递增区间为[kπ? ,kπ? ](k?Z). ……………5分
12 12
?
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知， f(x)?sin(?x? ).
3
3 ? π? ? 3 ? π?
要使 f(x)? 在?0, 上恒成立，只需 ? ? ? 在 上恒成立
2 ? sin( x ) ?0, ? .
? 3? 3 2 ? 3?
……………6分
? π?
因为x??0, ，?? ，
? 0
? 3?
? ?? π? ??
所以?x? ?? , ? ……………7分
?.
3 ?3 3 3?
? ? ? 3
当?x? ? 时，即x?0时，sin(?x? ) ? ；
3 3 3 2
? ?? ? 3
当?x? ? 时，sin(?x? ) ? . ……………8分
3 3 3 2
3 ? π? ? π? ? ??
所以要使 f(x)? 在?0, 上恒成立，只需 ? ? ? ，
2 ?
? 3? 3 3 3 3
即0???1.
所以?的取值范围是(0,1]. ……………9分
（Ⅲ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)?0，就是要证明存在无穷
多个互不相同的正整数x0，使得 4
10sinx0 ?8?0，即sinx0 ? ．……………10分
5
由4 3
? 可知，存在 π 4
0??0 ? ，使得sin?0 ? ．
5 2 3 5
由正弦函数的性质可知，当 4
x?(?0,π??0)时，均有sinx? ． ……………11分
5
因为y ?sinx的周期为2π，
所以当 4
x?(2kπ??0,2kπ?π??0)(k?Z)时，均有sinx? ． ……………12分
5
因为对任意的整数k，(2kπ?π??0)?(2kπ??0)?π?2?0，
因为π ?π?2?0?π， ……………13分
3
所以对任意的正整数k ，都存在正整数xk?(2kπ??0,2kπ?π??0)(k?Z)，使得
4
sinxk ? ．
5
亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)?0． ……………14分