浙江省杭州市西湖区公益中学2020-2021学年九年级下学期数学开学试卷

浙江省杭州市西湖区公益中学2020-2021学年九年级下学期数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021九下·西湖开学考）若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2y﹣7x＝0，
∴2y＝7x，
∴x：y＝2：7，
故答案为：A.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此变形即可求出得出答案.
2．（2020·上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝ ，
∴sinB＝ ＝
故答案为：A．
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可
3．（2021九下·西湖开学考）下列说法正确的是（　　）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，某一事件发生的可能性非常大就是随机事件，故此选项错误；
B选项，概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
C选项，2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
D选项，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】 根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案．
4．（2021九下·西湖开学考）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（　　）
A．6 B．3 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3 ，
∴光盘的直径为6 ，
故答案为：A.
【分析】点C为光盘与直角三角板唯一的交点，连接OB，利用切线的性质得到OB⊥AB，OA平分∠BAC，则可计算出∠OAB=60°，然后在Rt△OAB中利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，从而得到光盘的直径．
5．（2021九下·西湖开学考）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣ x2﹣2x B．y＝﹣ x2+2x
C．y＝ x2﹣2x D．y＝ x2+2x
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝ x2+2x .
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数的性质可得A点为抛物线的顶点，于是把x=-3，y=-3分别代入x=-与y=，联立计算a，b的值即可得出答案．
6．（2021九下·西湖开学考）如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）
A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝ AB＝ 2a＝（ ﹣1）a.
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的定义：即把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是（-1）：2，根据定义列式求解即可.
7．（2019·岐山模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）
A．30° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°.
故答案为：C.
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案.
8．（2021九下·西湖开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ＝（ ）2＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】 根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，推出△DEF∽△BAF，结合DE：AB=2：5，求出 ＝ ， ＝ ＝ ，再根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出求出 ＝ = ，即可得出答案.
9．（2021九下·西湖开学考）已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣ ≤y≤1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1
C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+ ）2﹣ ，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣ 是，该函数取得最小值﹣ ，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣ ≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故答案为：B.
【分析】 先配方，求出抛物线的对称轴和函数的最小值，根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
10．（2021九下·西湖开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴ ＝ ＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM＝QM＝ CQ＝3，
∴EM＝3y，
∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，
故答案为：B.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出BD＝DE＝x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，再求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y， AQ=6y， 在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021九下·西湖开学考）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为　 　.
【答案】130°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D＝180°
∵∠D＝50°
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝130°.
故答案为：130°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补的性质列式即可求出∠ABC的度数.
12．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　 　.
【答案】﹣5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5.
【分析】对于二次函数y=a(x-h)2+k， 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最大值k.
13．（2021九下·西湖开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝ ，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE＝CE cot60°＝ × ＝1，OC＝2OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝ ﹣ OE×EC+ BE ED＝ ﹣ + ＝ .
故答案为： .
【分析】 根据垂径定理求得CE=ED=3，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后根据S阴影=S扇形OCB-S△COE+S△BED解答即可．
14．（2021九下·西湖开学考）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　 　.
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9.
【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1，设AE=3x，EG=2x，GC=x，根据AG=15得出方程3x+2x=15，求出x，再求出答案即可．
15．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　 　.
【答案】﹣1≤t＜8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解.
故答案为：﹣1≤t＜8.
【分析】 根据对称轴求出b的值，从而得到x=-1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-116．（2020九上·呼兰期末）在 中， ，点 在直线 上， ，点 为 边的中点，连接 ，射线 交 于点 ，则 的值为　 　.
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．
∵DH∥CE，
∴ ．
设BH=x，则HE=3x，
∴BE=4x．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=4x．
∵EM∥HD，
∴ ．
②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．
∵DC=3DB，
∴BC=2DB．
∵BH∥CE，
∴ ．
设DH=x，则HM=2x．
∵E是AB的中点，EM∥BH，
∴ ，
∴AM=MH=2x，
∴ ．
综上所述： 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（2021九下·西湖开学考）计算：2sin30°+cos30° tan60°.
【答案】解：原式＝2× + ×
＝1+
＝
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的乘法运算，最后进行有理数的加法运算即得结果.
18．（2017·乐清模拟）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．
（1）求任意摸出一球是白球的概率；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．
【答案】（1）解：任意摸出一球是白球的概率= ；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，
所以两次摸出都是红球的概率= = ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
19．（2021九下·西湖开学考）如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F.
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC＝2，求 的值.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD
（2）解：∵tan∠ABC＝2，
∴可设AC＝2k，则BC＝k.
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝5k2，
∴AB＝ .
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC＝∠CBD，∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴sin∠BAC＝sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，结合垂直定义得出两个角分别相等即可证明 △ABC∽△BCD ；
（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD，得出∠BAC＝∠CBD， 再结合对应边比值相等即可解题．
20．（2021九下·西湖开学考）如图所示，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　 　度；
（2）求山坡A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）.
【答案】（1）30
（2）解：由题意得，∠PBH＝60°，∠APB＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴△PBA是等腰直角三角形，
∴PB＝ ＝ ＝ ＝20 ，
∵AB＝PB＝20 ＝34.6，
答：山坡A、B两点间的距离是34.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
【分析】 （1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中根据等腰直角三角形的性质即可求解．
21．（2021九下·西湖开学考）如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC.
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果PD＝ ，求AP的长.
【答案】（1）证明：连接AO，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AO＝CO，AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠P＝∠ACP＝∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠PAC＝120°，
∴∠PAO＝90°，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝R，OP＝ +R，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，
∴OP＝2OA，即 +R＝2R，
解得R＝ ，
∴OA＝ ，OP＝2 ，
∴PA＝
根据勾股定理得，AP＝ ＝ ＝3
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∠PAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2） 设⊙O的半径为R， 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．
22．（2021九下·西湖开学考）已知二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点.
（1）请写出b、c的关系式；
（2）设直线y＝7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；
（3）若P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，
令y＝0得：x2﹣2bx+c＝0，
∵△＝（﹣2b）2﹣4c＝0，
∴b2＝c.
（2）解：设A（x1，0），B（x2，0），
∵直线y＝7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7＝0的两个根x1、x2.
∴AB＝|x1﹣x2|，
∵x1+x2＝2b，x1x2＝c﹣7，b2＝c.
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 .
（3）解：P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，
∴直线y＝﹣x与曲线y＝x2﹣2bx+c没有交点，
即方程﹣x＝x2﹣2bx+c没有实数根，
∴x2+（1﹣2b）x+c＝0的△＜0，
即（1﹣2b）2﹣4c＜0，
整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，
∵b2＝c.
∴1﹣4b＜0，
∴b .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点间的距离
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b2-4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；
（2）根据根与系数的关系x1+x2=2b，x1x2=c-7，结合b2=c，即可求得AB的长．
（3）由题意可知方程-x=x2-2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．
23．（2021九下·西湖开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F.
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝ ，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求 的值.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴ ，
∴OD⊥BE
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝ ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8
（3）解：∵ ，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝2CD，
∴
【知识点】三角形的面积；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 （1）连AD，由AB为 O的直径，根据圆周角定理的推论得到AD⊥BC，AE⊥BE，而AB=AC，根据等腰三角形的性质有BD=DC， ， 由垂径定理可得OD⊥BE；
（2）根据直角三角形的斜边中线的性质得出求出BC的长，然后证明 △CDE∽△CAB， 根据相似三角形的性质列比例式求出CE长，最后根据线段的和差关系求出AE长即可；
（3） 设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k， 先证明 △OBF∽△ABE， 得出 ，则得S△ABE＝24k，根据S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE，求得S△CAB＝34k，再根据△CDE∽△CAB， 由相似的性质列比例式求出CD和CA的比值，结合BC=2CD，即可求出.
1 / 1浙江省杭州市西湖区公益中学2020-2021学年九年级下学期数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021九下·西湖开学考）若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4
2．（2020·上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九下·西湖开学考）下列说法正确的是（　　）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
4．（2021九下·西湖开学考）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（　　）
A．6 B．3 C．6 D．3
5．（2021九下·西湖开学考）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣ x2﹣2x B．y＝﹣ x2+2x
C．y＝ x2﹣2x D．y＝ x2+2x
6．（2021九下·西湖开学考）如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）
A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a
7．（2019·岐山模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）
A．30° B．50° C．70° D．80°
8．（2021九下·西湖开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
9．（2021九下·西湖开学考）已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣ ≤y≤1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1
C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
10．（2021九下·西湖开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021九下·西湖开学考）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为　 　.
12．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　 　.
13．（2021九下·西湖开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为　 　.
14．（2021九下·西湖开学考）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　 　.
15．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　 　.
16．（2020九上·呼兰期末）在 中， ，点 在直线 上， ，点 为 边的中点，连接 ，射线 交 于点 ，则 的值为　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（2021九下·西湖开学考）计算：2sin30°+cos30° tan60°.
18．（2017·乐清模拟）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．
（1）求任意摸出一球是白球的概率；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．
19．（2021九下·西湖开学考）如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F.
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC＝2，求 的值.
20．（2021九下·西湖开学考）如图所示，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　 　度；
（2）求山坡A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）.
21．（2021九下·西湖开学考）如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC.
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果PD＝ ，求AP的长.
22．（2021九下·西湖开学考）已知二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点.
（1）请写出b、c的关系式；
（2）设直线y＝7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；
（3）若P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围.
23．（2021九下·西湖开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F.
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝ ，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2y﹣7x＝0，
∴2y＝7x，
∴x：y＝2：7，
故答案为：A.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此变形即可求出得出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝ ，
∴sinB＝ ＝
故答案为：A．
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可
3．【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，某一事件发生的可能性非常大就是随机事件，故此选项错误；
B选项，概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
C选项，2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
D选项，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】 根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3 ，
∴光盘的直径为6 ，
故答案为：A.
【分析】点C为光盘与直角三角板唯一的交点，连接OB，利用切线的性质得到OB⊥AB，OA平分∠BAC，则可计算出∠OAB=60°，然后在Rt△OAB中利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，从而得到光盘的直径．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝ x2+2x .
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数的性质可得A点为抛物线的顶点，于是把x=-3，y=-3分别代入x=-与y=，联立计算a，b的值即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝ AB＝ 2a＝（ ﹣1）a.
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的定义：即把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是（-1）：2，根据定义列式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°.
故答案为：C.
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ＝（ ）2＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】 根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，推出△DEF∽△BAF，结合DE：AB=2：5，求出 ＝ ， ＝ ＝ ，再根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出求出 ＝ = ，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+ ）2﹣ ，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣ 是，该函数取得最小值﹣ ，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣ ≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故答案为：B.
【分析】 先配方，求出抛物线的对称轴和函数的最小值，根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴ ＝ ＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM＝QM＝ CQ＝3，
∴EM＝3y，
∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，
故答案为：B.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出BD＝DE＝x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，再求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y， AQ=6y， 在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可.
11．【答案】130°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D＝180°
∵∠D＝50°
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝130°.
故答案为：130°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补的性质列式即可求出∠ABC的度数.
12．【答案】﹣5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5.
【分析】对于二次函数y=a(x-h)2+k， 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最大值k.
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝ ，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE＝CE cot60°＝ × ＝1，OC＝2OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝ ﹣ OE×EC+ BE ED＝ ﹣ + ＝ .
故答案为： .
【分析】 根据垂径定理求得CE=ED=3，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后根据S阴影=S扇形OCB-S△COE+S△BED解答即可．
14．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9.
【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1，设AE=3x，EG=2x，GC=x，根据AG=15得出方程3x+2x=15，求出x，再求出答案即可．
15．【答案】﹣1≤t＜8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解.
故答案为：﹣1≤t＜8.
【分析】 根据对称轴求出b的值，从而得到x=-1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-116．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．
∵DH∥CE，
∴ ．
设BH=x，则HE=3x，
∴BE=4x．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=4x．
∵EM∥HD，
∴ ．
②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．
∵DC=3DB，
∴BC=2DB．
∵BH∥CE，
∴ ．
设DH=x，则HM=2x．
∵E是AB的中点，EM∥BH，
∴ ，
∴AM=MH=2x，
∴ ．
综上所述： 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．
17．【答案】解：原式＝2× + ×
＝1+
＝
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的乘法运算，最后进行有理数的加法运算即得结果.
18．【答案】（1）解：任意摸出一球是白球的概率= ；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，
所以两次摸出都是红球的概率= = ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD
（2）解：∵tan∠ABC＝2，
∴可设AC＝2k，则BC＝k.
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝5k2，
∴AB＝ .
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC＝∠CBD，∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴sin∠BAC＝sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，结合垂直定义得出两个角分别相等即可证明 △ABC∽△BCD ；
（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD，得出∠BAC＝∠CBD， 再结合对应边比值相等即可解题．
20．【答案】（1）30
（2）解：由题意得，∠PBH＝60°，∠APB＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴△PBA是等腰直角三角形，
∴PB＝ ＝ ＝ ＝20 ，
∵AB＝PB＝20 ＝34.6，
答：山坡A、B两点间的距离是34.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
【分析】 （1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中根据等腰直角三角形的性质即可求解．
21．【答案】（1）证明：连接AO，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AO＝CO，AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠P＝∠ACP＝∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠PAC＝120°，
∴∠PAO＝90°，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝R，OP＝ +R，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，
∴OP＝2OA，即 +R＝2R，
解得R＝ ，
∴OA＝ ，OP＝2 ，
∴PA＝
根据勾股定理得，AP＝ ＝ ＝3
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∠PAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2） 设⊙O的半径为R， 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．
22．【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，
令y＝0得：x2﹣2bx+c＝0，
∵△＝（﹣2b）2﹣4c＝0，
∴b2＝c.
（2）解：设A（x1，0），B（x2，0），
∵直线y＝7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7＝0的两个根x1、x2.
∴AB＝|x1﹣x2|，
∵x1+x2＝2b，x1x2＝c﹣7，b2＝c.
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 .
（3）解：P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，
∴直线y＝﹣x与曲线y＝x2﹣2bx+c没有交点，
即方程﹣x＝x2﹣2bx+c没有实数根，
∴x2+（1﹣2b）x+c＝0的△＜0，
即（1﹣2b）2﹣4c＜0，
整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，
∵b2＝c.
∴1﹣4b＜0，
∴b .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点间的距离
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b2-4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；
（2）根据根与系数的关系x1+x2=2b，x1x2=c-7，结合b2=c，即可求得AB的长．
（3）由题意可知方程-x=x2-2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．
23．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴ ，
∴OD⊥BE
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝ ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8
（3）解：∵ ，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝2CD，
∴
【知识点】三角形的面积；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 （1）连AD，由AB为 O的直径，根据圆周角定理的推论得到AD⊥BC，AE⊥BE，而AB=AC，根据等腰三角形的性质有BD=DC， ， 由垂径定理可得OD⊥BE；
（2）根据直角三角形的斜边中线的性质得出求出BC的长，然后证明 △CDE∽△CAB， 根据相似三角形的性质列比例式求出CE长，最后根据线段的和差关系求出AE长即可；
（3） 设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k， 先证明 △OBF∽△ABE， 得出 ，则得S△ABE＝24k，根据S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE，求得S△CAB＝34k，再根据△CDE∽△CAB， 由相似的性质列比例式求出CD和CA的比值，结合BC=2CD，即可求出.
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