广西南宁市天桃实验学校2021届九年级下学期数学开学试卷
1．（2021九下·南宁开学考）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．13
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是分数， 是循环小数 ，13是整数，都是有理数，
是开方开不尽的数，是无理数，
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含的数；③规律性的数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），从而即可一一判断得出答案.
2．（2021九下·南宁开学考）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，
故答案为：C
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察各选项中的几何体可得主视图为矩形的选项。
3．（2021九下·南宁开学考）2020年12月17日凌晨，嫦娥5号返回器携带月球样本成功着陆！已知地球到月球的平均距离约为380000千米.数据380000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380000＝3.8×105.
故答案为：C.
【分析】任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n等于原数的整数位数减1，1≤＜10，据此即可得出答案.
4．（2021九下·南宁开学考）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，
∴∠6＝65°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠4＝55°，
在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°，
∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°.
故答案为：C.
【分析】由两直线平行内错角相等可得6=2，由对顶角相等可得，再用三角形内角和等于180度可求解.
5．（2021九下·南宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3 a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a3）2＝a6，错误，不符合题意；
B、a3 a5＝a8，正确，符合题意；
C、a5与a2不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】A、幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（a3）2＝a6≠a5，错误，不符合题意；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，所以a3 a5＝a8，正确，符合题意；
C、整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，所以a5与a2不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，所以a6÷a2＝a4≠a3，错误，不符合题意。
6．（2021九下·南宁开学考）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ）
A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：
0，1，2，5，6，6，8，
位于中间位置的数为5，
故中位数为5，
数据6出现了2次，最多，
故这组数据的众数是6，中位数是5，
故选C．
【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．
7．（2021九下·南宁开学考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、AD为BC边的高；
B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB.
故答案为：D.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合各选项的作图方法可判断求解.
8．（2021九下·南宁开学考）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60m B．40 m C．30 m D．60 m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD tan30°＝30 10 （m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD tan60°＝30 30 （m），
∴BC＝BD+CD＝10 30 40 （m），
即这栋高楼高度是40 m.
故答案为：B.
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，在Rt△ABD中，由锐角三角函数tanBAD=可求得BD的值；在Rt△ACD中，由锐角三角函数tanCAD=可求得CD的值；然后根据线段的构成BC＝BD+CD可求解.
9．（2021九下·南宁开学考）小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率= .
故答案为：B.
【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，然后根据概率公式计算可求解.
10．（2021九下·南宁开学考）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（ ）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设井深为x尺，
依题意，得：3（x+4）＝4（x+1）.
故答案为：D.
【分析】根据题意“将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺”可得绳长=3（x+4)尺， 根据题意“将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺“可得绳长=4（x+3)尺，由绳长相等可列关于x的方程.
11．（2021九下·南宁开学考）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△ ，则点 的坐标是（ ）
A．（ ，4） B．（4， ）
C．（ ，3） D．（ +2， ）
【答案】A
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：令y＝0，则 ，
解得 ，
令x＝0，则y＝2，
∴点A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∵tan∠OAB＝ ，
∴∠OAB＝30°，
由勾股定理得 ，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x轴，
∴点B′（ ，4）.
故答案为：A.
【分析】由题意分别令x=0、y=0可求得直线与y轴、x轴的交点B、A的坐标，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数tan∠OAB＝可求得∠OAB＝30°，由勾股定理可求得AB的值，由角的构成∠OAB′＝∠BOA+∠BOB′并结合旋转角的度数可求得∠OAB′＝30°＋60°＝90°，于是可知点A与点B′的横坐标相等，B′的纵坐标等于AB的长.
12．（2021九下·南宁开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC= =5，∴OA= ，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴ ，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM= ，∴PM=PD+DM=1+ = ，∴△AOP的最大面积= OA PM= = ，故答案为：D．
【分析】 由题意易知，当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大。由矩形的性质用勾股定理可求得AC的长，则OA=AC；根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADM∽△ACD，于是可得比例式求得DM的长；则PM=PD+DM，∴△AOP的最大面积= OA PM可求解。
13．（2021九下·南宁开学考）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
14．（2021九下·南宁开学考）某校九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且甲班期末数学成绩的方差为S甲2＝0.02（分），乙班期末数学成绩的方差为S乙2＝1.2（分），则期末数学成绩 班更稳定.（填甲或乙）
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且 ，方差小的为甲，
所以期末数学成绩甲班更稳定.
故答案为：甲.
【分析】比较甲乙两个班的方差，根据”方差越大，成绩波动越大，越不稳定“可判断求解.
15．（2021九下·南宁开学考）若关于 的方程 的一个根为1，则 的值为 .
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝1代入 得1 5＋a＝3，
解得a＝7.
故答案为：7.
【分析】由题意把x=1代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可求解.
16．（2021九下·南宁开学考）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为 .
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，
∴DF=CD，∠EFD=∠C，
∴DF=BD，
∴∠BFD=∠B，
∵∠A=180°-∠C-∠B，∠AFE=180°-∠EFD-∠DFB，
∴∠A=∠AFE，
∵∠AEF=50°，
∴∠A= （180°-50°）=65°.
【分析】由点D为BC的中点，得BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得DF=BD，根据等腰三角形的性质得∠BFD=∠B，由三角形的内角和与平角的定义得∠A=∠AFE，于是求出∠A的度数.
17．（2021九下·南宁开学考）在 中， ， 厘米， 厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】设经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为 秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为 秒，
因此，分以下三种情况：（1）当点Q到达点C之前，即 时，则 厘米， 厘米，
厘米，
厘米，
则在 中， ，即 ，
整理得： ，
解得 或 （不符题设，舍去）；（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即 时，则 厘米，
由 得： ，
整理得： ，
解得 或 （均不符题设，舍去）；（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即 时，
则 厘米，不符题意；
综上，经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，
故答案为： ．
【分析】设经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，先根据运动路程和速度求出 的取值范围，再分 、 和 三种情况，然后分别在 中，利用勾股定理建立关于 的一元二次方程，解方程即可得出答案．
18．（2021九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝ （k＜0，x＜0）与 ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 .
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵双曲线 y＝ （k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），
∴k＝﹣60，
∴双曲线解析式为 y＝ .
∵ ABCD的顶点A的纵坐标为10，
∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝ 上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6.
∵△BOC和△BGC关于BC对称，
∴BG＝BO＝10，GC＝OC.
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，
∴EG＝ ＝8.
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，
∴∠GHC是直角，
在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，
则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m= ，
∴GC＝ ＝OC，
∴S△BOC= × ×10= ，
故答案为： .
【分析】延长EG交x轴于点H，将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝ ，由平行四边形的性质可得OB＝10，BE＝6，由勾股定理可求EG、CO的长，根据S△ BOC=OBOC可求解．
19．（2021九下·南宁开学考）计算：2－1＋ －（3－ ）0＋| － |.
【答案】解：原式＝ ＋4－1＋ －
＝3＋
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3-）0=1；根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得2-1=，根据绝对值的性质化简绝对值，进而再根据实数的加减运算法则计算即可求解.
20．（2021九下·南宁开学考）先化简 ，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值.
【答案】解：原式=
=
=
= ，
∵x≠±1且x≠2，
∴x=3，
则原式= =2.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，然后将除法转变为乘法，再将各分子和分母能分解因式的分别分解因式并约分即可将分式化简，最后选取一个使分母不为0的x的值代入化简后的分式计算即可求解.
21．（2021九下·南宁开学考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-3，1），B（-1，1），C（0，3）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△ ；
（2）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△ ，△ABC与△ 的位似比为1：2；
（3）求以 、 、 、 四个点为顶点构成的四边形的面积.
【答案】（1）解：∵A（-3，1），B（-1，1），C（0，3），确定关于y轴的对称点坐标分别为 （3，1）， （1，1）， （0，3），
∴△ABC关于y轴对称的△ 如图所示；
（2）解：∵A（-3，1），B（-1，1），C（0，3），点O为位似中心，
位似比为1：2
∴位似变化对应点的坐标为 （6，-2）， （2，-2）， （0，－6），
作图，如图所示
（3）解：根据题意，得
S =
=9.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标变化特征”横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变“可求得A、B、C三点的对称点A1、B1、C1的坐标，并在平面直角坐标系中描出各点，再顺次连接即可求解；
（2）连接AO并延长至点A2，是OA2=2OA，同理求出点B2、C2，再顺次连接即可画出图形；
（3）根据网格图的特征用B1、B2、A1、A2四个点为顶点的四边形所在的矩形的面积减去周围的直角三角形的面积即可求解.
22．（2021九下·南宁开学考）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论.为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数.
【答案】（1）50
（2）10；72°
（3）解： （人）；
（4）解： （人）.
答：该校最喜欢方式D的学生约有400人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷40％=50人；
故答案为：50；
（ 2 ）(50-20-15-10) ÷50×100％=10％，即m=10；
= ；
故答案为：10， ；
【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；（2）用B的人数除以样本容量即可；（3）求出B的人数补全统计图即可；（4）用2000乘以D的百分比即可.
23．（2021九下·南宁开学考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE.
（1）求证：OD⊥DE.
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接DB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，∴DE＝CE＝ ，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠ADO＋∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE.
（2）解：∵∠BAC=30°， ∠AOD=120°，
cm2，
∵AB＝8，AO=4， 勾股定理知AD=4 ，O到AD的距离是2，
，
∴
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1） 连接DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠CDB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝，结合等边对等角和直角三角形两锐角互余易证∠ADO＋∠EDC＝90°，由角的构成可求得∠ODE=90°，再根据垂直的定义可求解；
（2）根据S扇形=可求得扇形OAD的面积，由阴影部分面积的构成S阴影=S扇形OAD-S△OAD可求解.
24．（2021九下·南宁开学考）在我市“青出绿水”行动中，某村计划对面积为3600m2的山坡进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化.
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，该村要使这次绿化的总费用不超过40万元.则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【答案】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意，得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是100m2、50m2
（2）解：设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a＋50b＝3600，
解得a＝ b＋36，
根据题意，得1.2×（ b＋36）＋0.5b≤40，
解得b≥32，
∴至少应安排乙工程队绿化32天，
答：至少应安排乙工程队绿化32天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意” 甲队独立完成面积为400m2区域的绿化所用时间-乙队独立完成面积为400m2区域的绿化所用时间=4天 “可列出方程即可；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得100a＋50b＝3600，再根据题意” 这次绿化的总费用不超过40万元 “可列不等式，解不等式即可求解．
25．（2021九下·南宁开学考）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（－1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为D（﹣1，4），
∴设函数表达式为 ，
∵图象过点C（0，3），
∴当x=0时，y=3，
∴ ，
解得， ，
∴函数表达式为 ，
即
（2）解：由 ，
，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x=﹣1对称，点M在对称轴x=﹣1上，
如图1，连结AC，
∴MA=MB，
∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
∵点M的横坐标为 ，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：如图2，
当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）；
当 ∥AB， =AB=4时，四边形A ′B是平行四边形，
此时 点的横坐标为﹣3﹣2=﹣5，
∴ 的纵坐标为： ，
∴点 的坐标为（﹣5，﹣12）；
根据抛物线的对称性，点 的坐标为（3，﹣12）；
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点C的坐标代入即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算即可求解；
（3）分点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分、当P'Q'∥AB，P'Q'=AB=4时，四边形A P'Q'B是平行四边形及根据抛物线的对称性， 根据二次函数图象上点的坐标特征可求解．
26．（2021九下·南宁开学考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.
（1）判断△AFG的形状并说明理由.
（2）求证： .
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当 时，求 的值.
【答案】（1）解：如图1中， 是等腰三角形；
理由： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形.
（2）证明：如图2中，过点 作 交 于 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
（3）解：如图3中，过点 作 于 ，则 ，
，
，
，
， ，
又 ， ，
，
设 ， ，则 ，
.
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）如图1中，由题意用角边角可证，根据全等三角形的性质可求解；
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，首先证明OG＝OL，根据相似三角形的判定可证，于是可得比例式，可证BF＝2OL，即可求解；
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，首先证△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求解．
1 / 1广西南宁市天桃实验学校2021届九年级下学期数学开学试卷
1．（2021九下·南宁开学考）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．13
2．（2021九下·南宁开学考）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九下·南宁开学考）2020年12月17日凌晨，嫦娥5号返回器携带月球样本成功着陆！已知地球到月球的平均距离约为380000千米.数据380000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九下·南宁开学考）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2021九下·南宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3 a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
6．（2021九下·南宁开学考）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ）
A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8
7．（2021九下·南宁开学考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九下·南宁开学考）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60m B．40 m C．30 m D．60 m
9．（2021九下·南宁开学考）小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九下·南宁开学考）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（ ）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
11．（2021九下·南宁开学考）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△ ，则点 的坐标是（ ）
A．（ ，4） B．（4， ）
C．（ ，3） D．（ +2， ）
12．（2021九下·南宁开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
13．（2021九下·南宁开学考）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（2021九下·南宁开学考）某校九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且甲班期末数学成绩的方差为S甲2＝0.02（分），乙班期末数学成绩的方差为S乙2＝1.2（分），则期末数学成绩 班更稳定.（填甲或乙）
15．（2021九下·南宁开学考）若关于 的方程 的一个根为1，则 的值为 .
16．（2021九下·南宁开学考）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为 .
17．（2021九下·南宁开学考）在 中， ， 厘米， 厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米．
18．（2021九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝ （k＜0，x＜0）与 ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 .
19．（2021九下·南宁开学考）计算：2－1＋ －（3－ ）0＋| － |.
20．（2021九下·南宁开学考）先化简 ，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值.
21．（2021九下·南宁开学考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-3，1），B（-1，1），C（0，3）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△ ；
（2）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△ ，△ABC与△ 的位似比为1：2；
（3）求以 、 、 、 四个点为顶点构成的四边形的面积.
22．（2021九下·南宁开学考）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论.为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数.
23．（2021九下·南宁开学考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE.
（1）求证：OD⊥DE.
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积.
24．（2021九下·南宁开学考）在我市“青出绿水”行动中，某村计划对面积为3600m2的山坡进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化.
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，该村要使这次绿化的总费用不超过40万元.则至少应安排乙工程队绿化多少天？
25．（2021九下·南宁开学考）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（－1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（2021九下·南宁开学考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.
（1）判断△AFG的形状并说明理由.
（2）求证： .
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当 时，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是分数， 是循环小数 ，13是整数，都是有理数，
是开方开不尽的数，是无理数，
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含的数；③规律性的数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，
故答案为：C
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察各选项中的几何体可得主视图为矩形的选项。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380000＝3.8×105.
故答案为：C.
【分析】任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n等于原数的整数位数减1，1≤＜10，据此即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，
∴∠6＝65°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠4＝55°，
在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°，
∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°.
故答案为：C.
【分析】由两直线平行内错角相等可得6=2，由对顶角相等可得，再用三角形内角和等于180度可求解.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a3）2＝a6，错误，不符合题意；
B、a3 a5＝a8，正确，符合题意；
C、a5与a2不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】A、幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（a3）2＝a6≠a5，错误，不符合题意；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，所以a3 a5＝a8，正确，符合题意；
C、整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，所以a5与a2不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，所以a6÷a2＝a4≠a3，错误，不符合题意。
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：
0，1，2，5，6，6，8，
位于中间位置的数为5，
故中位数为5，
数据6出现了2次，最多，
故这组数据的众数是6，中位数是5，
故选C．
【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、AD为BC边的高；
B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB.
故答案为：D.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合各选项的作图方法可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD tan30°＝30 10 （m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD tan60°＝30 30 （m），
∴BC＝BD+CD＝10 30 40 （m），
即这栋高楼高度是40 m.
故答案为：B.
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，在Rt△ABD中，由锐角三角函数tanBAD=可求得BD的值；在Rt△ACD中，由锐角三角函数tanCAD=可求得CD的值；然后根据线段的构成BC＝BD+CD可求解.
9．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率= .
故答案为：B.
【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，然后根据概率公式计算可求解.
10．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设井深为x尺，
依题意，得：3（x+4）＝4（x+1）.
故答案为：D.
【分析】根据题意“将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺”可得绳长=3（x+4)尺， 根据题意“将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺“可得绳长=4（x+3)尺，由绳长相等可列关于x的方程.
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：令y＝0，则 ，
解得 ，
令x＝0，则y＝2，
∴点A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∵tan∠OAB＝ ，
∴∠OAB＝30°，
由勾股定理得 ，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x轴，
∴点B′（ ，4）.
故答案为：A.
【分析】由题意分别令x=0、y=0可求得直线与y轴、x轴的交点B、A的坐标，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数tan∠OAB＝可求得∠OAB＝30°，由勾股定理可求得AB的值，由角的构成∠OAB′＝∠BOA+∠BOB′并结合旋转角的度数可求得∠OAB′＝30°＋60°＝90°，于是可知点A与点B′的横坐标相等，B′的纵坐标等于AB的长.
12．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC= =5，∴OA= ，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴ ，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM= ，∴PM=PD+DM=1+ = ，∴△AOP的最大面积= OA PM= = ，故答案为：D．
【分析】 由题意易知，当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大。由矩形的性质用勾股定理可求得AC的长，则OA=AC；根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADM∽△ACD，于是可得比例式求得DM的长；则PM=PD+DM，∴△AOP的最大面积= OA PM可求解。
13．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为九年级甲、乙两个班的期末数学平均成绩都为89分，且 ，方差小的为甲，
所以期末数学成绩甲班更稳定.
故答案为：甲.
【分析】比较甲乙两个班的方差，根据”方差越大，成绩波动越大，越不稳定“可判断求解.
15．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝1代入 得1 5＋a＝3，
解得a＝7.
故答案为：7.
【分析】由题意把x=1代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可求解.
16．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，
∴DF=CD，∠EFD=∠C，
∴DF=BD，
∴∠BFD=∠B，
∵∠A=180°-∠C-∠B，∠AFE=180°-∠EFD-∠DFB，
∴∠A=∠AFE，
∵∠AEF=50°，
∴∠A= （180°-50°）=65°.
【分析】由点D为BC的中点，得BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得DF=BD，根据等腰三角形的性质得∠BFD=∠B，由三角形的内角和与平角的定义得∠A=∠AFE，于是求出∠A的度数.
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】设经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为 秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为 秒，
因此，分以下三种情况：（1）当点Q到达点C之前，即 时，则 厘米， 厘米，
厘米，
厘米，
则在 中， ，即 ，
整理得： ，
解得 或 （不符题设，舍去）；（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即 时，则 厘米，
由 得： ，
整理得： ，
解得 或 （均不符题设，舍去）；（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即 时，
则 厘米，不符题意；
综上，经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，
故答案为： ．
【分析】设经过 秒后，P，Q两点间距离为 厘米，先根据运动路程和速度求出 的取值范围，再分 、 和 三种情况，然后分别在 中，利用勾股定理建立关于 的一元二次方程，解方程即可得出答案．
18．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵双曲线 y＝ （k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），
∴k＝﹣60，
∴双曲线解析式为 y＝ .
∵ ABCD的顶点A的纵坐标为10，
∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝ 上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6.
∵△BOC和△BGC关于BC对称，
∴BG＝BO＝10，GC＝OC.
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，
∴EG＝ ＝8.
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，
∴∠GHC是直角，
在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，
则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m= ，
∴GC＝ ＝OC，
∴S△BOC= × ×10= ，
故答案为： .
【分析】延长EG交x轴于点H，将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝ ，由平行四边形的性质可得OB＝10，BE＝6，由勾股定理可求EG、CO的长，根据S△ BOC=OBOC可求解．
19．【答案】解：原式＝ ＋4－1＋ －
＝3＋
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3-）0=1；根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得2-1=，根据绝对值的性质化简绝对值，进而再根据实数的加减运算法则计算即可求解.
20．【答案】解：原式=
=
=
= ，
∵x≠±1且x≠2，
∴x=3，
则原式= =2.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，然后将除法转变为乘法，再将各分子和分母能分解因式的分别分解因式并约分即可将分式化简，最后选取一个使分母不为0的x的值代入化简后的分式计算即可求解.
21．【答案】（1）解：∵A（-3，1），B（-1，1），C（0，3），确定关于y轴的对称点坐标分别为 （3，1）， （1，1）， （0，3），
∴△ABC关于y轴对称的△ 如图所示；
（2）解：∵A（-3，1），B（-1，1），C（0，3），点O为位似中心，
位似比为1：2
∴位似变化对应点的坐标为 （6，-2）， （2，-2）， （0，－6），
作图，如图所示
（3）解：根据题意，得
S =
=9.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标变化特征”横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变“可求得A、B、C三点的对称点A1、B1、C1的坐标，并在平面直角坐标系中描出各点，再顺次连接即可求解；
（2）连接AO并延长至点A2，是OA2=2OA，同理求出点B2、C2，再顺次连接即可画出图形；
（3）根据网格图的特征用B1、B2、A1、A2四个点为顶点的四边形所在的矩形的面积减去周围的直角三角形的面积即可求解.
22．【答案】（1）50
（2）10；72°
（3）解： （人）；
（4）解： （人）.
答：该校最喜欢方式D的学生约有400人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷40％=50人；
故答案为：50；
（ 2 ）(50-20-15-10) ÷50×100％=10％，即m=10；
= ；
故答案为：10， ；
【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；（2）用B的人数除以样本容量即可；（3）求出B的人数补全统计图即可；（4）用2000乘以D的百分比即可.
23．【答案】（1）证明：连接DB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，∴DE＝CE＝ ，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠ADO＋∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE.
（2）解：∵∠BAC=30°， ∠AOD=120°，
cm2，
∵AB＝8，AO=4， 勾股定理知AD=4 ，O到AD的距离是2，
，
∴
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1） 连接DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠CDB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝，结合等边对等角和直角三角形两锐角互余易证∠ADO＋∠EDC＝90°，由角的构成可求得∠ODE=90°，再根据垂直的定义可求解；
（2）根据S扇形=可求得扇形OAD的面积，由阴影部分面积的构成S阴影=S扇形OAD-S△OAD可求解.
24．【答案】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意，得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是100m2、50m2
（2）解：设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a＋50b＝3600，
解得a＝ b＋36，
根据题意，得1.2×（ b＋36）＋0.5b≤40，
解得b≥32，
∴至少应安排乙工程队绿化32天，
答：至少应安排乙工程队绿化32天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意” 甲队独立完成面积为400m2区域的绿化所用时间-乙队独立完成面积为400m2区域的绿化所用时间=4天 “可列出方程即可；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得100a＋50b＝3600，再根据题意” 这次绿化的总费用不超过40万元 “可列不等式，解不等式即可求解．
25．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为D（﹣1，4），
∴设函数表达式为 ，
∵图象过点C（0，3），
∴当x=0时，y=3，
∴ ，
解得， ，
∴函数表达式为 ，
即
（2）解：由 ，
，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x=﹣1对称，点M在对称轴x=﹣1上，
如图1，连结AC，
∴MA=MB，
∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
∵点M的横坐标为 ，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：如图2，
当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）；
当 ∥AB， =AB=4时，四边形A ′B是平行四边形，
此时 点的横坐标为﹣3﹣2=﹣5，
∴ 的纵坐标为： ，
∴点 的坐标为（﹣5，﹣12）；
根据抛物线的对称性，点 的坐标为（3，﹣12）；
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点C的坐标代入即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算即可求解；
（3）分点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分、当P'Q'∥AB，P'Q'=AB=4时，四边形A P'Q'B是平行四边形及根据抛物线的对称性， 根据二次函数图象上点的坐标特征可求解．
26．【答案】（1）解：如图1中， 是等腰三角形；
理由： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形.
（2）证明：如图2中，过点 作 交 于 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
（3）解：如图3中，过点 作 于 ，则 ，
，
，
，
， ，
又 ， ，
，
设 ， ，则 ，
.
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）如图1中，由题意用角边角可证，根据全等三角形的性质可求解；
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，首先证明OG＝OL，根据相似三角形的判定可证，于是可得比例式，可证BF＝2OL，即可求解；
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，首先证△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求解．
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