【精品解析】浙江省普通高中2021年数学1月学业水平考试试卷

浙江省普通高中2021年数学1月学业水平考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·台州期末）已知集合 ，则 （　　）
A． B．{5}
C． D．
2．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021·浙江会考） （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·浙江会考）以 A（2,0）、B（0,4） 为直径端点的圆方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江会考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．2 B．4 C． D．
6．（2020高一上·台州期末）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高一上·台州期末）若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．（2021·浙江会考）若直线 与 平行，则 与 间的距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·浙江会考）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （　　）
A． B． 或 C． D． 或
10．（2021·浙江会考）已知平面 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（2020高一上·台州期末）若 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2020高一上·台州期末）函数 的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
13．（2021·浙江会考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
14．（2021·浙江会考）如图，正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
15．（2021·浙江会考）某简谐运动的图象如图所示.若 两点经过 秒后分别运动到图象上 两点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2020高一上·台州期末）已知函数 ，则函数 的零点个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（2021·浙江会考）如图，椭圆 的右焦点为 分别为椭圆的上 下顶点， 是椭圆上一点， ，记椭圆的离心率为 ，则 （　　）
A． B． C． D．
18．（2021·浙江会考）如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱 的中点，记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（2021·浙江会考）设等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ，则 　 　， 　 　.
20．（2021·浙江会考）已知平面向量 满足 ，则 　 　.
21．（2021·浙江会考）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是　 　.
22．（2020高一上·台州期末）已知 ，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是　 　.
三、解答题
23．（2021·浙江会考）已知函数 ， .
（1）求 的值；
（2）求函数 的最小正周期；
（3）当 时，求函数 的值域.
24．（2021·浙江会考）如图，直线 与圆 相切于点 ，与抛物线 相交于不同的两点 ，与 轴相交于点 .
（1）若 是抛物线 的焦点，求直线 的方程；
（2）若 ，求 的值.
25．（2020高一上·台州期末）设 ，已知函数 .
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）设 ，若实数 满足 ，证明： .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】根据题意可得 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合分式函数求定义域的方法，从而结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域 。
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数的运算性质计算出结果即可。
4．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意得 的中点即为圆心坐标，为 ，
半径为 ，
所以以 A（2,0）、B（0,4）为直径端点的圆方程是 .
故答案为：D.
【分析】首先根据题意求出圆心的坐标以及半径，结合圆的标准方程计算出答案即可。
5．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为2，高为1，几何体的高为2，所以三棱柱的体积为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由三视图即可得出该几何体是一个平放的三棱柱，结合三棱柱的体积公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由指数函数 在 上单调递增， ，
所以 ，进而得 ，即 。
故答案为：A.
【分析】利用绝对值不等式求解方法结合指数函数的单调性和与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出不等式 的解集。
7．【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】由实数 满足约束条件 ，画出可行域如图所示阴影部分：
将 ，转化为 ，平移直线 ，
当直线经过点 时，直线在y轴上的截距最大，
此时线性目标函数取得最大值，最大值是5，
故答案为：C。
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域求出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值。
8．【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为 与 平行，所以 ，得 ，所以 ，所以 与 间的距离为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由平行线间的距离公式代入数值计算出结果即可，
9．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为在 中， ，
所以
因为 ，
所以 ，
因为则 ,
或
故答案为：D
【分析】结合题意由正弦定理整理已知条件，即可得出由此即可求出角B的大小。
10．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：对于A选项，若 ，则 或相交，A选项不正确；
对于B选项，若 ，则 或相交，B选项不正确；
对于C选项，若 ，则 ，为面面垂直的判定定理，C选项正确；
对于D选项，若 ，则 ，D选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意由直线与平面之间的关系对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当 ，由于 ， ，故充分性成立；
当 ，不妨设 ， 成立， 不成立，故必要性不成立；故“ ”是“ ”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
12．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，且 的定义域为 关于原点对称，所以 是奇函数，所以排除B、C，
又因为当 且 较小时，可取 ，所以 ，所以排除D，
故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，从而排除B,C，再利用特殊点法排除D，进而选出正确的函数大致图象。
13．【答案】D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ， ， ， ，……
所以数列 是以3为周期的周期数列，前三项和 ，
， ，所以 ，
， ，所以 .
故答案为：D
【分析】首先由数列的递推公式代入数值计算出各个项，由此即可求出数列的周期，结合数列的前n项和公式求出结果然后对选项逐一判断即可得出答案。
14．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】取 的中点 ，连接
由 分别为 的中点，则 且
在正方体中 且 ,所以 且
所以四边形 为平行四边形，所以
则 （或其补角）为异面直线DE与AF所成角.
设正方体的棱长为2，则在 中， ,
所以
故答案为：A
【分析】根据题意由正方体的几何性质即可得出线线平行，由此即可得出异面直线所成角再把数值代入到余弦定理计算出结果即可。
15．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】设 ，
由图知 ， ，解得 ，所以 ，
假设 ，则 即 ，
， ， ， ，
，
对于A： ， ，
所以 ，A成立；
对于B： ，
显然 最大值为 ， 不成立，B不成立；
对于C： ， ，所以 ，C成立；
对于D： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，D成立，
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合图象求出A以及周期公式由此即可求出，进而求出函数的解析式，设出点E的坐标由此得到点F的坐标，从而求出向量的坐标，由数量积的坐标公式结合三角函数的最值情况对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】令 ，①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ， ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；②当 时， ，由 ，解得 ， ，
作出函数 ，直线 、 、 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有且只有一个交点，
综上所述，函数 的零点个数为 。
故答案为：D.
【分析】令 ，①，当 时， ，则函数 在 上单调递增，再利用零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，②，当 时， ，由 ，解得 ， ，作出函数 ，直线 ， ， 的图象，由图象结合函数的零点与两函数图象交点的横坐标等价，从而求出数 的零点个数。
17．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ，则 ，所以直线 ，与椭圆方程联立 ，所以点 的横坐标是 ， ，即 ， ，整理为：
，两边同时除以 得： ，
， ，所以 ，得 ，或 （舍）.
故答案为：B
【分析】根据题意设出点的坐标，由此由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程，求解出方程的解由此得到点P的坐标，结合两点间的距离公式即可得到，由整体思想结合离心率公式计算出e的值即可。
18．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【解答】由 ， ，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，
O为ABCG对角线交点且 ，又 有 ， ，
∴ 面 ，而 面 ，故面 面 ，
若H为DG的中点，连接FH，又 为棱 的中点，则 且 ，
而 ， ，有 平行且相等，即 为平行四边形.
∴可将 平移至 ，直线 与平面 所成角为 ，且 中 ，
令 ， ，即 ，
∴△ 中， ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，解得 （ 舍去），
综上有 ，
故答案为：C
【分析】 根据题意不全正方体由正方体的几何性质即可得到面面垂直，从而得出 为平行四边形.由此得到为直线与平面BOD所成的角，结合余弦定理整理得到，由三棱锥的几何性质结合已知条件即可求出 的取值范围即可。
19．【答案】4；21
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 .
.
故答案为：4；21
【分析】首先由公比的定义计算出q的值，再结合等比数列的前n项公式代入数值计算出结果即可。
20．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
，
故答案为：
【分析】根据题意由向量模的运算性质结合数量积公式计算出结果即可。
21．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：以两焦点所在直线为 轴，两焦点所在线段的中垂线为 轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为 ，由题意得双曲线的渐近线方程为 ， ，
所以 ，进而得 .
故双曲线的实轴长为： .
故答案为：
【分析】结合已知条件建立直角坐标系由双曲线的定义以及渐近线的方程即可求出a、b、c的值，由此即可求出实轴长。
22．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，故不等式两边同除以b，得 ，令 ，即不等式 在 上有解，去绝对值即得 ，即 即 在 上有解，设 ， ， ，即 且 即可，
由 在 上， ， ，即 ，故 ；
由 ，利用基本不等式 ，当且仅当 即 时等号成立，故 ，即 ，故 ，
综上：t的取值范围是 ，即 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，故不等式两边同除以b，得 ，令 ，即不等式 在 上有解，去绝对值即得 ，即 即 在 上有解，设 ， ， ，即 且 即可，再利用分式函数图象求最值的方法结合均值不等式求最值的方法，从而求出和，进而求出实数t的取值范围，进而求出 的取值范围。
23．【答案】（1）解：
即
（2）解： ，
故 的最小正周期
（3）解：因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
故 在 上的值域为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据题意代入数值结合特殊角三角函数值的计算出结果即可。
(2)首先由两角和的正弦公式整理得出函数的解析式，结合正弦函数周期的公式计算出结果即可。
(3)根据题意由角的取值范围即可得到，结合正弦函数的性质即可求出函数的最值。
24．【答案】（1）解：因为 是抛物线 的焦点，所以 ，即 ，
设直线 的方程为 ，由直线 与圆 相切，得 ，即 ，
所以，直线 的方程为
（2）解：设直线 的方程为 ， ， ， ，
由 ，得 ， ， ，
∴ .
由直线 与圆 相切，得 ，即 .
由 ， ，得 .
所以 ，又 ，解得 .
由直线 与 互相垂直，得 ，
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【分析】 (1)由已知求得t，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线l的方程可求；
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式代入整理得到，再由点到直线的距离公式整理得到，从而得到求解出方程的解利用垂直的性质即可求出整理化简即可得出答案。
25．【答案】（1）解：由题意，对任意 ，都有 ，
即 ，亦即 ，因此 ；
（2）证明：因为 ， ，
.
所以， .
（3）解：设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
， ，
所以 .
由 得 ，即 .
①当 时， ， ，所以 ；
②当 时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知 .
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值。
（2）利用已知条件结合作差法，从而比较出 的大小，进而证出 。
（3） 设 ，则 ， 再利用分类讨论的方法结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数f(x)的最值，进而求出函数f(x)的取值范围， 由 得 ，即 ，再利用分类讨论的方法结合（2）证出 。
1 / 1浙江省普通高中2021年数学1月学业水平考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·台州期末）已知集合 ，则 （　　）
A． B．{5}
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。
2．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】根据题意可得 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合分式函数求定义域的方法，从而结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域 。
3．（2021·浙江会考） （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数的运算性质计算出结果即可。
4．（2021·浙江会考）以 A（2,0）、B（0,4） 为直径端点的圆方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意得 的中点即为圆心坐标，为 ，
半径为 ，
所以以 A（2,0）、B（0,4）为直径端点的圆方程是 .
故答案为：D.
【分析】首先根据题意求出圆心的坐标以及半径，结合圆的标准方程计算出答案即可。
5．（2021·浙江会考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为2，高为1，几何体的高为2，所以三棱柱的体积为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由三视图即可得出该几何体是一个平放的三棱柱，结合三棱柱的体积公式代入数值计算出结果即可。
6．（2020高一上·台州期末）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由指数函数 在 上单调递增， ，
所以 ，进而得 ，即 。
故答案为：A.
【分析】利用绝对值不等式求解方法结合指数函数的单调性和与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出不等式 的解集。
7．（2020高一上·台州期末）若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】由实数 满足约束条件 ，画出可行域如图所示阴影部分：
将 ，转化为 ，平移直线 ，
当直线经过点 时，直线在y轴上的截距最大，
此时线性目标函数取得最大值，最大值是5，
故答案为：C。
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域求出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值。
8．（2021·浙江会考）若直线 与 平行，则 与 间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为 与 平行，所以 ，得 ，所以 ，所以 与 间的距离为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由平行线间的距离公式代入数值计算出结果即可，
9．（2021·浙江会考）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （　　）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为在 中， ，
所以
因为 ，
所以 ，
因为则 ,
或
故答案为：D
【分析】结合题意由正弦定理整理已知条件，即可得出由此即可求出角B的大小。
10．（2021·浙江会考）已知平面 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：对于A选项，若 ，则 或相交，A选项不正确；
对于B选项，若 ，则 或相交，B选项不正确；
对于C选项，若 ，则 ，为面面垂直的判定定理，C选项正确；
对于D选项，若 ，则 ，D选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意由直线与平面之间的关系对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高一上·台州期末）若 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当 ，由于 ， ，故充分性成立；
当 ，不妨设 ， 成立， 不成立，故必要性不成立；故“ ”是“ ”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
12．（2020高一上·台州期末）函数 的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，且 的定义域为 关于原点对称，所以 是奇函数，所以排除B、C，
又因为当 且 较小时，可取 ，所以 ，所以排除D，
故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，从而排除B,C，再利用特殊点法排除D，进而选出正确的函数大致图象。
13．（2021·浙江会考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ， ， ， ，……
所以数列 是以3为周期的周期数列，前三项和 ，
， ，所以 ，
， ，所以 .
故答案为：D
【分析】首先由数列的递推公式代入数值计算出各个项，由此即可求出数列的周期，结合数列的前n项和公式求出结果然后对选项逐一判断即可得出答案。
14．（2021·浙江会考）如图，正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】取 的中点 ，连接
由 分别为 的中点，则 且
在正方体中 且 ,所以 且
所以四边形 为平行四边形，所以
则 （或其补角）为异面直线DE与AF所成角.
设正方体的棱长为2，则在 中， ,
所以
故答案为：A
【分析】根据题意由正方体的几何性质即可得出线线平行，由此即可得出异面直线所成角再把数值代入到余弦定理计算出结果即可。
15．（2021·浙江会考）某简谐运动的图象如图所示.若 两点经过 秒后分别运动到图象上 两点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】设 ，
由图知 ， ，解得 ，所以 ，
假设 ，则 即 ，
， ， ， ，
，
对于A： ， ，
所以 ，A成立；
对于B： ，
显然 最大值为 ， 不成立，B不成立；
对于C： ， ，所以 ，C成立；
对于D： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，D成立，
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合图象求出A以及周期公式由此即可求出，进而求出函数的解析式，设出点E的坐标由此得到点F的坐标，从而求出向量的坐标，由数量积的坐标公式结合三角函数的最值情况对选项逐一判断即可得出答案。
16．（2020高一上·台州期末）已知函数 ，则函数 的零点个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】令 ，①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ， ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；②当 时， ，由 ，解得 ， ，
作出函数 ，直线 、 、 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有且只有一个交点，
综上所述，函数 的零点个数为 。
故答案为：D.
【分析】令 ，①，当 时， ，则函数 在 上单调递增，再利用零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，②，当 时， ，由 ，解得 ， ，作出函数 ，直线 ， ， 的图象，由图象结合函数的零点与两函数图象交点的横坐标等价，从而求出数 的零点个数。
17．（2021·浙江会考）如图，椭圆 的右焦点为 分别为椭圆的上 下顶点， 是椭圆上一点， ，记椭圆的离心率为 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ，则 ，所以直线 ，与椭圆方程联立 ，所以点 的横坐标是 ， ，即 ， ，整理为：
，两边同时除以 得： ，
， ，所以 ，得 ，或 （舍）.
故答案为：B
【分析】根据题意设出点的坐标，由此由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程，求解出方程的解由此得到点P的坐标，结合两点间的距离公式即可得到，由整体思想结合离心率公式计算出e的值即可。
18．（2021·浙江会考）如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱 的中点，记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【解答】由 ， ，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，
O为ABCG对角线交点且 ，又 有 ， ，
∴ 面 ，而 面 ，故面 面 ，
若H为DG的中点，连接FH，又 为棱 的中点，则 且 ，
而 ， ，有 平行且相等，即 为平行四边形.
∴可将 平移至 ，直线 与平面 所成角为 ，且 中 ，
令 ， ，即 ，
∴△ 中， ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，解得 （ 舍去），
综上有 ，
故答案为：C
【分析】 根据题意不全正方体由正方体的几何性质即可得到面面垂直，从而得出 为平行四边形.由此得到为直线与平面BOD所成的角，结合余弦定理整理得到，由三棱锥的几何性质结合已知条件即可求出 的取值范围即可。
二、填空题
19．（2021·浙江会考）设等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ，则 　 　， 　 　.
【答案】4；21
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 .
.
故答案为：4；21
【分析】首先由公比的定义计算出q的值，再结合等比数列的前n项公式代入数值计算出结果即可。
20．（2021·浙江会考）已知平面向量 满足 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
，
故答案为：
【分析】根据题意由向量模的运算性质结合数量积公式计算出结果即可。
21．（2021·浙江会考）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：以两焦点所在直线为 轴，两焦点所在线段的中垂线为 轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为 ，由题意得双曲线的渐近线方程为 ， ，
所以 ，进而得 .
故双曲线的实轴长为： .
故答案为：
【分析】结合已知条件建立直角坐标系由双曲线的定义以及渐近线的方程即可求出a、b、c的值，由此即可求出实轴长。
22．（2020高一上·台州期末）已知 ，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，故不等式两边同除以b，得 ，令 ，即不等式 在 上有解，去绝对值即得 ，即 即 在 上有解，设 ， ， ，即 且 即可，
由 在 上， ， ，即 ，故 ；
由 ，利用基本不等式 ，当且仅当 即 时等号成立，故 ，即 ，故 ，
综上：t的取值范围是 ，即 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，故不等式两边同除以b，得 ，令 ，即不等式 在 上有解，去绝对值即得 ，即 即 在 上有解，设 ， ， ，即 且 即可，再利用分式函数图象求最值的方法结合均值不等式求最值的方法，从而求出和，进而求出实数t的取值范围，进而求出 的取值范围。
三、解答题
23．（2021·浙江会考）已知函数 ， .
（1）求 的值；
（2）求函数 的最小正周期；
（3）当 时，求函数 的值域.
【答案】（1）解：
即
（2）解： ，
故 的最小正周期
（3）解：因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
故 在 上的值域为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据题意代入数值结合特殊角三角函数值的计算出结果即可。
(2)首先由两角和的正弦公式整理得出函数的解析式，结合正弦函数周期的公式计算出结果即可。
(3)根据题意由角的取值范围即可得到，结合正弦函数的性质即可求出函数的最值。
24．（2021·浙江会考）如图，直线 与圆 相切于点 ，与抛物线 相交于不同的两点 ，与 轴相交于点 .
（1）若 是抛物线 的焦点，求直线 的方程；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：因为 是抛物线 的焦点，所以 ，即 ，
设直线 的方程为 ，由直线 与圆 相切，得 ，即 ，
所以，直线 的方程为
（2）解：设直线 的方程为 ， ， ， ，
由 ，得 ， ， ，
∴ .
由直线 与圆 相切，得 ，即 .
由 ， ，得 .
所以 ，又 ，解得 .
由直线 与 互相垂直，得 ，
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【分析】 (1)由已知求得t，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线l的方程可求；
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式代入整理得到，再由点到直线的距离公式整理得到，从而得到求解出方程的解利用垂直的性质即可求出整理化简即可得出答案。
25．（2020高一上·台州期末）设 ，已知函数 .
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）设 ，若实数 满足 ，证明： .
【答案】（1）解：由题意，对任意 ，都有 ，
即 ，亦即 ，因此 ；
（2）证明：因为 ， ，
.
所以， .
（3）解：设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
， ，
所以 .
由 得 ，即 .
①当 时， ， ，所以 ；
②当 时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知 .
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值。
（2）利用已知条件结合作差法，从而比较出 的大小，进而证出 。
（3） 设 ，则 ， 再利用分类讨论的方法结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数f(x)的最值，进而求出函数f(x)的取值范围， 由 得 ，即 ，再利用分类讨论的方法结合（2）证出 。
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