第三章
排列、组合与二项式定理
3．1 排列与组合
3．1.1 基本计数原理
第1课时 基本计数原理
最新课程标准
1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)
2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)
3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
[基础自测]
1．下列说法不正确的是( )
A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．
B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．
C．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．
D．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．
2．下列说法不正确的是( )
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．
(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．
(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．
A．(1)(3)
B．(1)(2)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7
B．12
C．64
D．81
4．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3
B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24
D．以上都不对
题型一 分类加法计数原理的应用
例1 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
(1)按所选组长来自不同班级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
方法归纳
1．应用分类加法计数原理解题的策略
(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．
(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．
(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．
2．利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 (1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．
题型二 分步乘法计数原理的应用
例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?
根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．
方法归纳
1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
题型三 两个计数原理的辨析
1.某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
[提示] “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．
2．在1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？
[提示] 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配成套餐”这件事．
3．在1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？
[提示] 5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.
利用分类加法计数原理求解：
以选用5种不同的素菜分类：
选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由分类加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3
＋3
＋3
＋3
＋3
＝15(种)不同的套餐．
利用分步乘法计数原理求解：
第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；
第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．
由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．
两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．
例3 有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
状元随笔 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
方法归纳
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．利用分步乘法计数原理应注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
跟踪训练3 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
教材反思
3．1 排列与组合
3．1.1 基本计数原理
第1课时 基本计数原理
新知初探·自主学习
知识点一
m1＋m2＋…＋mn
知识点二
m1×m2×…×mn
[基础自测]
1．解析：A错误，在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．B正确，在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．C正确，由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．D正确，根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有的8＋6＝14(种)．
答案：A
2．解析：(1)正确，因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
(2)错误，因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
(3)正确，因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，且对应x·y的值各不相同，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
(4)错误，因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
答案：C
3．解析：先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.
答案：B
4．解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
答案：B
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种)．
(2)方法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
方法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
跟踪训练1 解析：(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.
(2)有3类不同方案：
第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
答案：(1)C (2)15
例2 【解析】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10
000个四位数的号码．
跟踪训练2 解析：由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，得共有2×3＝6种不同的理财方式．
例3 【解析】 第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
跟踪训练3 解析：(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．
-
1
-第2课时 基本计数原理的应用
最新课程标准
1.熟练应用两个计数原理．(重点)
2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题．(难点)
知识点 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题
区别一
完成一件事共有n类办法，关键词是“________”
完成一件事共分n个步骤，关键词是“________”
区别二
每类办法都能完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法都是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互关联的、互相依存的
[基础自测]
1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________．
2．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．
3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．
4．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种
B．24种
C．120种
D．12种
题型一 抽取(分配)问题
例1 (1)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．
由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种
D．48种
方法归纳
求解抽取(分配)问题的方法
1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练1 (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )
A．53种
B．35种
C．8种
D．15种
(2)3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
题型二 组数问题
例2 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：
(1)银行存折的四位密码？
(2)四位整数？
(3)比2
000大的四位偶数？
(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解．
方法归纳
1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
跟踪训练2 由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
题型三 涂色问题
1.用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
A
B
C
D
[提示] 涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2
＝24(种)不同方案．
2．在1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
[提示] 恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1
＋3×2×1
＋3×2×1
＝18(种)不同的方案．
3．在1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？
[提示] 若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．
例3 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．
方法归纳
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
1．按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
2．以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
3．对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
跟踪训练3 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？
教材反思
第2课时 基本计数原理的应用
新知初探·自主学习
知识点
分类 分步
[基础自测]
1．解析：由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.
答案：24
2．解析：该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．
答案：36
3．解析：根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．
答案：18
4．解析：先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．
答案：A
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的报名方案．
(2)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.
【答案】 (1)64 (2)C
跟踪训练1 解析：(1)每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．
(2)方法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：
第一步：放第一个小球有5种选择；
第二步：放第二个小球有4种选择；
第三步：放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：
共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．
方法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：
第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；
第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；
第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；
分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．
答案：(1)B (2)见解析
例2 【解析】 (1)分步解决．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有
6×5×4×3＝360(个)．
(2)分步解决．
第一步：首位数字有5种选取方法；
第二步：百位数字有5种选取方法；
第三步：十位数字有4种选取方法；
第四步：个位数字有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有
5×5×4×3＝300(个)．
(3)方法一：按末位是0,2,4分为三类：
第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；
第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；
第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．
则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．
方法二：按千位是2,3,4,5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
方法三：间接法．
用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．
共有60＋96＝156(个)．
其中比2
000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．
跟踪训练2 解析：(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．
例3 【解析】 方法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
方法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．
跟踪训练3 解析：第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．
-
1
-3.1.2 排列与排列数
第1课时 排列与排列数
最新课程标准
1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)
2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)
知识点一 排列的概念
1．一般地，从n个不同对象中任取m(m≤n)个对象，按照____________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．
2．两个排列相同的含义为：____________________，并且____________________________．
知识点二 排列数与排列数公式
排列数定
义及表示
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有____________，叫做从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示
全排列的概念
n个不同对象__________的一个排列
阶乘的概念
把________________记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
A＝________________________
阶乘式A＝________(n，m∈N＋，m≤n)
特殊情况
A＝________，A＝____，0！＝____
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的对象相同，则这两个排列是相同的排列．( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )
2．A＝________，A＝________.
3.＝________.
4．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________．
题型一 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
判断是否为排列问题关键是选出的对象在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
方法归纳
1．解决本题的关键有两点：一是“取出对象不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
题型二 排列的列举问题
例2 写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个对象a，b，c，d中任取3个对象的所有排列．
(1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
方法归纳
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的对象在前面对象不变的情况下确定第二个对象，再按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．跟踪训练2 (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法．
题型三 排列数公式的推导及应用
1.两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
[提示] 从这4个数字中选出2个能构成A
＝4×3
＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A
＝4×3×2
＝24个无重复数字的三位数．
2．由1知A
＝4×3
＝12，A
＝4×3×2
＝24，你能否得出A的意义和A的值？
[提示] A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个对象a1，a2，…，an中任取2个对象去填空，一个空位填一个对象，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A
＝n(n－1)．
3．你能写出A的值吗？有什么特征？若m
＝n呢？
[提示] A
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n)．
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当n
＝m时，即n个不同对象全部取出的一个排列．
全排列数：A
＝n(n－1)(n－2)·…·2·1
＝n！(叫做n的阶乘)．
另外，我们规定0!
＝1.
所以A
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝
＝.
例3 (1)计算：；
(2)证明：A－A＝mA.
第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A＝进行变形推导．
方法归纳
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．跟踪训练3 求3A＝4A中的x.
教材反思
3．1.2 排列与排列数
第1课时 排列与排列数
新知初探·自主学习
知识点一
1．一定的顺序
2．组成排列的对象相同 对象的排列顺序也相同
知识点二
排列的个数 全部取出 n·(n－1)·…·2·1 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ 1 1
[基础自测]
1．解析：(1)× 因为相同的两个排列不仅对象相同，而且对象的排列顺序相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．
(4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．
(5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．解析：A＝4×3＝12；
A＝3×2×1＝6.
答案：12 6
3．解析：＝＝.
答案：
4．解析：用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．
答案：123,132,213,231,312,321
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
跟踪训练1 解析：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
例2 【解析】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
跟踪训练2 解析：(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．
(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．
答案：(1)12 (2)14
例3 【解析】 (1)方法一：＝＝＝.
方法二：＝＝＝＝.
(2)∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·
＝mA，
∴A－A＝mA.
跟踪训练3 解析：原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
-
1
-第2课时 排列数的应用
最新课程标准
1.掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
知识点
1．解简单的排列应用题的基本思想
2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．
[基础自测]
1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
4．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
题型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
方法归纳
1．没有限制的排列问题，即对所排列的对象或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清对象和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．跟踪训练1 (1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．
题型二 排队问题(“在”与“不在”“邻”与“不邻”“
定序”问题)
例2 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)2名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的对象影响另一个位子的对象个数时，应分类讨论．
方法归纳
解决排队问题时应注意的问题
1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的对象作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．
2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的对象，再将不相邻的对象以插空的方式排入．
3．对于顺序给定的对象的排列问题只需考虑其余对象的排列即可．
4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从对象入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．跟踪训练2 (1)3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
①甲不站中间，也不站两端；
②甲、乙两人必须站两端．
(2)6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36
B．120
C．720
D．240
(3)要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1
440种
B．960种
C．720种
D．480种
题型三 数字排列问题
1.偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．
2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?
[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从对象0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
3．如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？
[提示] 先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．
例3 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的．
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊对象或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
方法归纳
解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊对象优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：选排列问题按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．跟踪训练3 用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字且比1
325大的四位数？
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240
135是第几项？
教材反思
第2课时 排列数的应用
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．
答案：48
2．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．
答案：24
3．解析：翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．
答案：240
4．解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．
答案：144
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同对象中任取3个对象的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
跟踪训练1 解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．
答案：(1)720 (2)60
例2 【解析】 (1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2
160(种)．
(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一个对象与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1
440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
跟踪训练2 解析：(1)①分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2
880种不同站法．
②甲、乙为特殊对象，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．
(2)由于6人排两排，没有什么特殊要求的对象，故排法种数为A＝720.
(3)从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
答案：(1)见解析 (2)C (3)B
例3 【解析】 (1)方法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
方法二：从特殊对象入手(直接法)
0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的对象做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
方法三：排除法
6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．
(2)方法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
方法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．
故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．
跟踪训练3 解析：(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A·A个．故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．
(2)符合要求的比1
325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；
第二类，形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类，形如134□，135□，共有A·A个．
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1
325大的四位数共有：A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240
135的项数是A＋3A＋1＝193，即240
135是数列的第193项．
-
2
-3.1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及组合数性质
最新课程标准
1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)
2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)
知识点一 组合的概念
一般地，从n个不同对象中，任意取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中任取m个对象的一个组合．
知识点二 组合数的概念
从n个不同对象中，任意取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中，任意取出m个对象的组合数，用符号C表示．
知识点三 组合数公式及其性质
(1)公式：C＝________＝________.
(2)性质：C＝________，C＋C＝________.
(3)规定：C＝________.
[基础自测]
1．下列判断不正确的是( )
(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同．
(2)从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为C.
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．
A．(1)
B．(2)
C．(3)
D．(4)
2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3．C＝________，C＝________.
4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.
题型一 组合的概念
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
方法归纳
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
题型二 组合数公式的应用
根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．例2 (1)计算C－C·A；
(2)求证：C＝C.
方法归纳
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．跟踪训练2 求等式＝中的n值．
题型三 组合的性质
1.试用两种方法求：从a，b，c，d，e
5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
[提示] 方法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C
＝
＝10(种)选法．
方法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C
＝
＝10(种)不同选法．
经求解发现C
＝C.推广到一般结论有C
＝C.
2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
[提示] 共有C
＝
＝210(种)选法．
3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
[提示] 若队长必须参加，共C
＝126(种)选法．若队长不能参加，共C
＝84(种)选法．
由2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C
＝C＋C.
一般地：C
＝C＋C.
例3 (1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．C
B．C
C．C－1
D．C－1
恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(2)解方程C＝C的解为________．
(3)解不等式C＞C.
方法归纳
1．性质“C＝C”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练3 (1)化简：C－C＋C＝________；
(2)已知C－C＝C，求n的值．
教材反思
3．1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及组合数性质
新知初探·自主学习
知识点一
一组
知识点二
所有组合
知识点三
(1) (2)C C (3)1
[基础自测]
1．解析：(1)正确．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)正确．由组合数的定义可知正确．
(3)错误．因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)正确．因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
答案：C
2．解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.
答案：3
3．解析：C＝＝15，
C＝C＝18.
答案：15 18
4．解析：从四个数中任取两个数的取法为C＝6.
答案：6
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
跟踪训练1 解析：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
例2 【解析】 (1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明：∵右边＝C＝·＝＝C，
左边＝C，∴左边＝右边，故原式成立．
跟踪训练2 解析：原方程可变形为＋1＝，C＝C，
即
＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．
例3 【解析】 (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1.
(2)由题意知或
解得x＝4或6.
(3)由C＞C，得
?
?又n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
【答案】 (1)C (2)4或6 (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.
(2)根据题意，C－C＝C，
变形可得C＝C＋C，
由组合数的性质，可得
C＝C，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
答案：(1)0 (2)见解析
-
2
-第2课时 组合数的应用
最新课程标准
1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题．(重点)
2．能解决无限制条件的组合问题．
3．掌握解决组合问题的常见的方法．(难点)
知识点一 组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个________对象中取出m(m≤n)个对象．
不同点：排列与对象的________有关，组合与对象的________无关．
知识点二 应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．
(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4)结论：根据计算结果写出方案个数．
[基础自测]
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．
2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
题型一 无限制条件的组合问题
例1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．
方法归纳
解答简单的组合问题的思考方法
1．弄清要做的这件事是什么事．
2．选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．
3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．跟踪训练1 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
题型二 有限制条件的组合问题
例2 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
方法归纳
常见的限制条件及解题方法
1．特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．跟踪训练2 “抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
题型三 组合在几何中的应用
例3 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
方法归纳
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．跟踪训练3 四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
题型四 分组分配问题
例4 将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
方法归纳
一般地，n个不同的对象分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是，简言之，部分平均分组，有“几个”平均分就除以“几”的阶乘．跟踪训练4 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)甲2本，乙2本，丙2本；
(2)甲1本，乙2本，丙3本；
(3)甲4本，乙、丙每人1本；
(4)每人2本；
(5)一人1本，一人2本，一人3本；
(6)一人4本，其余两人每人1本．
题型五 排列、组合的综合应用
1.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？
[提示] 共有C
＝
＝6(个)不同结果．
完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象并相乘．
2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？
[提示] 共有A－2
＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象并相除．
3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同对象组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？
[提示] 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC
＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A＋CCC
＝30(种)不同的结果．
例5 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
(1)按选中女生的人数多少分类选取．
(2)采用先选后排的方法．
(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．
(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
方法归纳
解决排列、组合综合问题要采用先选后排的方法．
解决时通常从以下三个途径考虑：
1．以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要求，再考虑其他对象；
2．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
3．先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
跟踪训练5 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法________种．
教材反思
第2课时 组合数的应用
新知初探·自主学习
知识点一
不同 顺序 顺序
[基础自测]
1．解析：把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C＝＝120(种)．
答案：120
2．解析：甲选修2门，有C＝6(种)不同方案．
乙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．
丙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．
答案：96
3．解析：有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．
答案：36
4．解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案．
答案：112
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)从中任选5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
跟踪训练1 解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2
名是女教师有C种方法，即共有C＋C＝21(种)选法．
例2 【解析】 (1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的选法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C＝5
984(种)．
或者C－C＝C＝5
984种．
∴不同的选法有5
984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2
100(种)．
∴不同的选法有2
100种．
(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方法N＝CC＋C＝2
100＋455＝2
555(种)．
∴不同的选法有2
555种．
(5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C－C＝6
545－455＝6
090(种)．
∴不同的选法有6
090种．
跟踪训练2 解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
方法一：(直接法)
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法．
根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．
方法二：(间接法)
不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法．
例3 【解析】 方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216(个)．
方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为C－C＝216个．
跟踪训练3
解析：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C＋3＝33种．
例4 【解析】 (1)每组2本，均分为三组共有＝＝15(种)分配方法．
(2)一组1本，一组2本，一组3本共有CCC＝20×3＝60(种)分配方法．
(3)一组4本，另外两组各1本共有＝＝15(种)分配方法．
跟踪训练4 解析：(1)(2)(3)中，由于每人分得的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：
(1)共有CCC＝90(种)不同的分配方法；
(2)共有CCC＝60(种)不同的分配方法；
(3)共有CCC＝30(种)不同的分配方法．
(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，
属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙三人．因此，
(4)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法；
(5)共有CCC×A＝360(种)不同的分配方法；
(6)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法．
例5 【解析】 (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，
共(CC＋CC)·A＝5
400种．
(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3
360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．
跟踪训练5 解析：C·C·C·A＝1
080.
答案：1
080
-
9
-3．3 二项式定理与杨辉三角
最新课程标准
1.会证明二项式定理．(难点)
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)
3．了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)
4．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．(重点)
知识点一 二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝________________________________________称为二项式定理
二项式系数
各项系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
二项式通项
Can－kbk是展开式中的第________项，可记做Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)
二项展开式
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)
备注
在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N＋)
知识点二 二项式系数的性质
1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于____________________．即____________________.
2．每一行中，与首末两端“________”的两个数相等．即C＝C.
3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项____的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．
4．二项展开式的二项式系数的和等于________．
知识点三 杨辉三角的特点
1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即C＝C.
2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________，即________________．
[基础自测]
1．下列判断正确的( )
A．(a＋b)n展开式中共有n项．
B．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．
C．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．
D．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．
2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A．－27C
B．27C
C．－9C
D．9C
3．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
4．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．
题型一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)用二项式定理展开5；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
方法归纳
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
跟踪训练1 (1)求4的展开式；
(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
题型二 二项式系数与项的系数问题
例2 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
方法归纳
1．二项式系数都是组合数C(k＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
跟踪训练2 (1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
题型三 求展开式中的特定项
1.如何求4展开式中的常数项？
[提示] 利用二项展开式的通项Cx4－k·＝Cx4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？
[提示] (2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
例3 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
→
→→→
→→
→
方法归纳
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
题型四 求展开式的系数和
先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．例4 设(1－2x)2
019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2
019·x2
019(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2
019的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2
019的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2
019|的值．
方法归纳
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
跟踪训练4 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
题型五 二项式系数性质的应用
1.
根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为C＝C.
2．计算，并说明你得到的结论．
[提示] ＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
例5 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项．
求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
方法归纳
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练5 (1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
教材反思
3．3 二项式定理与杨辉三角
新知初探·自主学习
知识点一
Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) k＋1
知识点二
1．1 它“肩上”两个数的和 C＝C＋C
2．等距离
3．
4．2n
知识点三
(1)1 相等 (2)和 C＝C＋C
[基础自测]
1．解析：A错误，因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．B错误，因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．C错误，因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．D正确，因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
答案：D
2．解析：含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.
答案：D
3．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.
答案：8
4．解析：二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.
答案：5
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
跟踪训练1 解析：(1)方法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.
例2 【解析】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1
＝C(2)6－k·k
＝(－1)kC·26－k·，
∴T6＝－12·.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.
(2)Tk＋1＝Cx9－k·k＝(－1)k·C·x9－2k，
∴9－2k＝3，∴k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
跟踪训练2 解析：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，∴n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1
120x4.
例3 【解析】 通项公式为：
Tk＋1＝C
(－3)k
＝C(－3)k
.
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝m(m∈Z)，
则10－2k＝3m，即k＝5－m.
∵k∈Z，∴m应为偶数，
m＝2,0，－2，即k＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61
236,295
245x－2.
跟踪训练3 解析：(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
(2)6的展开式的通项是
Tk＋1＝Cx6－k·(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.
答案：(1)207 (2)4
例4 【解析】 (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2
019＝(－1)2
019＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2
019＝32
019.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2
019)＝－1－32
019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
019＝.
(3)∵Tk＋1＝C(－2x)k＝(－1)k·C·(2x)k，
∴a2m－1＜0(m∈N＋)，a2m＞0(m∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2
019|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2
019＝32
019.
跟踪训练4 解析：(1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8
256.
(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8
128.
例5 【解析】 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(
)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(
)2(3x2)3＝270
.
跟踪训练5 解析：该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
答案：C
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9
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