两角差的余弦公式
图片预览
文档简介
(共13张PPT)
两角差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
如何用α、β的三角函数值来表示 cos(α－β)的值？
是否有cos(α－β)=cosα－cos β成立？
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
方法一：用单位圆中的三角函数线研究
问题1：怎么在单位圆中表示α、β、 α－β呢？
不妨设0° < β< α< 90 °
问题2：怎么用三角函数线或直角三角形的边表示cos(α－β)、 sinα、 cosα、 sinβ、cosβ呢？
方法二：用向量知识推导公式
问题1：如图，在平面直角坐标系中以原点为圆心，单位长度为 半径的圆上有两点A（ cosα、 sinα），B（ cosβ 、sinβ ），（注：α、β 为任意角）试用A、B两点的坐标表示θ的余弦值。
问题2： cos θ与cos（α-β）什么关系呢？
β的终边
x
y
α的终边
B
O
A
θ
(图1)
α的终边
β的终边
(图2)
x
y
B
O
A
θ
特点:
(1)任意角
(2)同名积
(3)符号反
例1：求cos15°的值。
例2、已知
的值。
例2也是运用差角公式的基础题。安排这个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。
思考：如果去掉条
件 ，对结果和求解过程会有什么影响？
在教学过程中，对例2进行了适当的延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。
体会拆分的思想方法
分析：
三角函数中一定要注意观察角度之间的关系，例如
例3：已知
且 , 求 的值.
例5、已知 ， 求
变式练习:已知 ， ,求
两角差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
如何用α、β的三角函数值来表示 cos(α－β)的值？
是否有cos(α－β)=cosα－cos β成立？
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
方法一：用单位圆中的三角函数线研究
问题1：怎么在单位圆中表示α、β、 α－β呢？
不妨设0° < β< α< 90 °
问题2：怎么用三角函数线或直角三角形的边表示cos(α－β)、 sinα、 cosα、 sinβ、cosβ呢？
方法二：用向量知识推导公式
问题1：如图，在平面直角坐标系中以原点为圆心，单位长度为 半径的圆上有两点A（ cosα、 sinα），B（ cosβ 、sinβ ），（注：α、β 为任意角）试用A、B两点的坐标表示θ的余弦值。
问题2： cos θ与cos（α-β）什么关系呢？
β的终边
x
y
α的终边
B
O
A
θ
(图1)
α的终边
β的终边
(图2)
x
y
B
O
A
θ
特点:
(1)任意角
(2)同名积
(3)符号反
例1：求cos15°的值。
例2、已知
的值。
例2也是运用差角公式的基础题。安排这个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。
思考：如果去掉条
件 ，对结果和求解过程会有什么影响？
在教学过程中，对例2进行了适当的延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。
体会拆分的思想方法
分析：
三角函数中一定要注意观察角度之间的关系，例如
例3：已知
且 , 求 的值.
例5、已知 ， 求
变式练习:已知 ， ,求